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[摘 要]数学学习是从感性认识开始的：操作，激发学生的思维；实验，促进学生的思维；观察，发散学生的思维。
[关键词]直观 操作 实验 观察 思维 发散 促进 激发
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2016）05-022
数学学习是从感性认识开始的，所以在数学课堂中，教师应加强直观演示的教学，引导学生对学习素材进行多层面、多角度、多维度的观察、比较、选择与归纳。下面，以“圆柱与圆锥”单元教学为例，谈谈如何通过直观教学，培养学生的数学思维。
一、操作，激发学生的思维
“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。”课堂教学中，教师可通过动手操作，激活学生的思维，引导他们深入探究，真正理解所学知识。
师：圆柱的体积计算公式是什么？
生1：圆柱的体积=底面积×高。
师：我们是怎样推导圆柱的体积计算公式的？
生2：我们把圆柱转化成等底等高的长方体，通过长方体的体积计算公式推导出圆柱的体积计算公式。
师：今天，我们探究圆锥的体积计算方法。猜一猜，圆锥的体积可以怎样求？它与哪些条件有关？
生3：只要把圆柱上面的一个圆缩成点就变成了圆锥，说明圆锥的体积和圆柱是有联系的。
生4：可以把圆锥转化成已经学过的立体图形——圆柱，由于圆柱体积=底面积×高，那么圆锥的体积计算可能与它的底面积和高有关系。
……
我国数学家徐利治曾说过：“直观就是借助于经验观察、测试或类比联想，所产生的对事物关系直接的感知与认识。”教学“圆柱的体积”时，把圆柱的体积转化成已学过的长方体体积，这样能有效唤醒学生的学习潜能，使学生去观察、反思、梳理，为后续推导圆锥的体积计算埋下伏笔。由圆柱体积的推导过程，学生能想到圆锥的体积是不是能转化成已学过的立体图形进行计算，这样就会产生一种学习新知识的需求。学生由于生活经验和认知水平的局限，更易于接受直观的事物。因此，直观演示更利于学生进行观察、比较、分析和想象，并在此基础上展开更加丰富多彩的直观推理，进而洞察相关联物体之间的联系与区别，获得必要的结论。
二、实验，促进学生的思维
学生的感悟因经历而丰富，视野因思维更拓展。因此，课堂教学中，教师应以实验为媒介，促进学生的数学学习与数学活动有机融合。
师（出示许多大小不等的圆柱和圆锥形容器）：你打算将圆柱与圆锥如何转化？如果让你在这么多的圆柱与圆锥中选择两个来探究，你打算选择什么样的圆柱和圆锥？说说你选择的理由。
生1：刚才把圆柱的一个底面缩成点就变成了圆锥，其中圆锥与圆柱的底面积相等，高也相等，所以应选择底面积相等、高相等的圆柱和圆锥进行探究。
师：为了便于我们研究圆锥体积，每个组都准备了一个圆柱和一个圆锥，比一比，它们有什么相同的地方？（生操作演示，如下图）
师：你发现了什么？底面积相等，高也相等，用数学语言来说就叫等底等高。既然圆锥与圆柱等底等高，能不能直接用圆柱的体积计算公式求出圆锥的体积呢？
生2：不行，把圆锥放入圆柱形容器中，发现圆锥比圆柱的体积小。
师：这位同学真了不起。请你再猜一猜，圆锥与它等底等高的圆柱体积有什么样的关系呢？
生3：圆锥体积可能是它等底等高圆柱体积的1/2。
师：还有其他的猜想吗？
生4：圆锥体积可能是它等底等高圆柱体积的1/3。
师：有什么好办法验证自己的猜想是正确的呢？先在小组里交流，再做实验验证你的猜想。（生动手操作）
师：谁来汇报一下？
生5：我选择等底等高的圆锥和圆柱，发现把圆锥装满水倒入圆柱里，倒满了三次，说明圆锥体积是它等底等高圆柱体积的1/3。
师：其他组实验的情况也和他们一样吗？
生：一样。
师（出示两组大小不同的圆柱和圆锥，如下图）：这两组圆柱和圆锥，圆锥的体积还是圆柱体积的1/3吗？为什么？
生6：这里的圆锥体积不是圆柱体积的1/3，因为它们不是等底等高。
师：这说明了什么？
生7：不是任何一个圆锥的体积都是圆柱体积的1/3。
师：什么样的圆锥与圆柱体积才有1/3的关系呢？
生8：等底等高的圆锥和圆柱。
……
数学抽象地反映了客观世界。在数学学习过程中，学生由于受知识经验和思维水平的限制，经常会遇到一些很难用语言解释清楚的数学问题，这时候直观图形或者直观模型就能够给学生提供形象的思考和表达的机会，帮助学生把头脑里的数学事实外显化。学生通过操作、实验去验证自己的想法是否正确，不知不觉中，学生的认识变得更丰富了，理解变得更深刻了，思维变得更灵活了，体验变得更强烈了。这样教学，顺应了学生的思维发展，使他们真正掌握了解决问题的策略。
三、观察，发散学生的思维
系统的发散训练，能适当降低思维的难度，给学生的自主学习搭建一个“脚手架”，有利于学生内化数学思想方法，提升思维能力。
例1 如右图，正方形OABC的面积是10平方厘米，O是圆心，求圆的面积。
由图可知，正方形的面积就是r 2，圆的面积就是πr 2=3.14×10=31.4（平方厘米）。
例2 如右图，正方形ABCD的面积是40平方厘米，求圆的面积。
由于有了例1的铺垫，学生能把例2转化为例1——画两条与正方形邻边互相垂直的直径（如右图），这样就把大正方形平均分成了四个小正方形，可以先求出每个小正方形的面积，也就是求出r 2的值，再用r 2的值求出圆的面积，所以圆的面积πr 2=3.14×（40÷4）=31.4（平方厘米）。
例3 如右图，求大正方形、圆、小正方形的面积比。
由图可知，先求出大正方形与小正方形的面积比是多少，再求大正方形、圆、小正方形的面积比。有了上面的坡度练习和推理，学生很快能得出结论：大正方形、圆、小正方形的面积比为4∶π∶2。
通过系统的层层训练，学生的思维经历了知识发生、发展的过程，并通过反思、梳理，形成思维链。
从儿童思维的特点看，小学生的思维以形象思维为主，实物、图像、图形既是他们沟通生活世界和数学世界的最好桥梁，又是逐步深入认识数学、理解数学、运用数学的载体。因此，人们在认识和理解数学概念的过程中往往使用视觉形象来表征数学问题，从而更加直观、清晰地了解知识的本质和关键，最后达到理解和接受抽象的数学内容与方法的目的。
（责编 蓝 天）
[关键词]直观 操作 实验 观察 思维 发散 促进 激发
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2016）05-022
数学学习是从感性认识开始的，所以在数学课堂中，教师应加强直观演示的教学，引导学生对学习素材进行多层面、多角度、多维度的观察、比较、选择与归纳。下面，以“圆柱与圆锥”单元教学为例，谈谈如何通过直观教学，培养学生的数学思维。
一、操作，激发学生的思维
“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。”课堂教学中，教师可通过动手操作，激活学生的思维，引导他们深入探究，真正理解所学知识。
师：圆柱的体积计算公式是什么？
生1：圆柱的体积=底面积×高。
师：我们是怎样推导圆柱的体积计算公式的？
生2：我们把圆柱转化成等底等高的长方体，通过长方体的体积计算公式推导出圆柱的体积计算公式。
师：今天，我们探究圆锥的体积计算方法。猜一猜，圆锥的体积可以怎样求？它与哪些条件有关？
生3：只要把圆柱上面的一个圆缩成点就变成了圆锥，说明圆锥的体积和圆柱是有联系的。
生4：可以把圆锥转化成已经学过的立体图形——圆柱，由于圆柱体积=底面积×高，那么圆锥的体积计算可能与它的底面积和高有关系。
……
我国数学家徐利治曾说过：“直观就是借助于经验观察、测试或类比联想，所产生的对事物关系直接的感知与认识。”教学“圆柱的体积”时，把圆柱的体积转化成已学过的长方体体积，这样能有效唤醒学生的学习潜能，使学生去观察、反思、梳理，为后续推导圆锥的体积计算埋下伏笔。由圆柱体积的推导过程，学生能想到圆锥的体积是不是能转化成已学过的立体图形进行计算，这样就会产生一种学习新知识的需求。学生由于生活经验和认知水平的局限，更易于接受直观的事物。因此，直观演示更利于学生进行观察、比较、分析和想象，并在此基础上展开更加丰富多彩的直观推理，进而洞察相关联物体之间的联系与区别，获得必要的结论。
二、实验，促进学生的思维
学生的感悟因经历而丰富，视野因思维更拓展。因此，课堂教学中，教师应以实验为媒介，促进学生的数学学习与数学活动有机融合。
师（出示许多大小不等的圆柱和圆锥形容器）：你打算将圆柱与圆锥如何转化？如果让你在这么多的圆柱与圆锥中选择两个来探究，你打算选择什么样的圆柱和圆锥？说说你选择的理由。
生1：刚才把圆柱的一个底面缩成点就变成了圆锥，其中圆锥与圆柱的底面积相等，高也相等，所以应选择底面积相等、高相等的圆柱和圆锥进行探究。
师：为了便于我们研究圆锥体积，每个组都准备了一个圆柱和一个圆锥，比一比，它们有什么相同的地方？（生操作演示，如下图）
师：你发现了什么？底面积相等，高也相等，用数学语言来说就叫等底等高。既然圆锥与圆柱等底等高，能不能直接用圆柱的体积计算公式求出圆锥的体积呢？
生2：不行，把圆锥放入圆柱形容器中，发现圆锥比圆柱的体积小。
师：这位同学真了不起。请你再猜一猜，圆锥与它等底等高的圆柱体积有什么样的关系呢？
生3：圆锥体积可能是它等底等高圆柱体积的1/2。
师：还有其他的猜想吗？
生4：圆锥体积可能是它等底等高圆柱体积的1/3。
师：有什么好办法验证自己的猜想是正确的呢？先在小组里交流，再做实验验证你的猜想。（生动手操作）
师：谁来汇报一下？
生5：我选择等底等高的圆锥和圆柱，发现把圆锥装满水倒入圆柱里，倒满了三次，说明圆锥体积是它等底等高圆柱体积的1/3。
师：其他组实验的情况也和他们一样吗？
生：一样。
师（出示两组大小不同的圆柱和圆锥，如下图）：这两组圆柱和圆锥，圆锥的体积还是圆柱体积的1/3吗？为什么？
生6：这里的圆锥体积不是圆柱体积的1/3，因为它们不是等底等高。
师：这说明了什么？
生7：不是任何一个圆锥的体积都是圆柱体积的1/3。
师：什么样的圆锥与圆柱体积才有1/3的关系呢？
生8：等底等高的圆锥和圆柱。
……
数学抽象地反映了客观世界。在数学学习过程中，学生由于受知识经验和思维水平的限制，经常会遇到一些很难用语言解释清楚的数学问题，这时候直观图形或者直观模型就能够给学生提供形象的思考和表达的机会，帮助学生把头脑里的数学事实外显化。学生通过操作、实验去验证自己的想法是否正确，不知不觉中，学生的认识变得更丰富了，理解变得更深刻了，思维变得更灵活了，体验变得更强烈了。这样教学，顺应了学生的思维发展，使他们真正掌握了解决问题的策略。
三、观察，发散学生的思维
系统的发散训练，能适当降低思维的难度，给学生的自主学习搭建一个“脚手架”，有利于学生内化数学思想方法，提升思维能力。
例1 如右图，正方形OABC的面积是10平方厘米，O是圆心，求圆的面积。
由图可知，正方形的面积就是r 2，圆的面积就是πr 2=3.14×10=31.4（平方厘米）。
例2 如右图，正方形ABCD的面积是40平方厘米，求圆的面积。
由于有了例1的铺垫，学生能把例2转化为例1——画两条与正方形邻边互相垂直的直径（如右图），这样就把大正方形平均分成了四个小正方形，可以先求出每个小正方形的面积，也就是求出r 2的值，再用r 2的值求出圆的面积，所以圆的面积πr 2=3.14×（40÷4）=31.4（平方厘米）。
例3 如右图，求大正方形、圆、小正方形的面积比。
由图可知，先求出大正方形与小正方形的面积比是多少，再求大正方形、圆、小正方形的面积比。有了上面的坡度练习和推理，学生很快能得出结论：大正方形、圆、小正方形的面积比为4∶π∶2。
通过系统的层层训练，学生的思维经历了知识发生、发展的过程，并通过反思、梳理，形成思维链。
从儿童思维的特点看，小学生的思维以形象思维为主，实物、图像、图形既是他们沟通生活世界和数学世界的最好桥梁，又是逐步深入认识数学、理解数学、运用数学的载体。因此，人们在认识和理解数学概念的过程中往往使用视觉形象来表征数学问题，从而更加直观、清晰地了解知识的本质和关键，最后达到理解和接受抽象的数学内容与方法的目的。
（责编 蓝 天）