【中图分类号】G633.64 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2012）07-0135-01
　　我们一般求三角函数单调性的基本方法是：函数y=Asin(ωx+φ)单调区间的确定，首先要看A，ω是否为正，若ω为负，则先应用诱导公式化为正，然后将ωx+φ看作一个整体，化为最简式，再结合A 的正负，在2kπ-■≤x≤2kπ+■和2kπ+■≤x≤2kπ+■，k∈Z两个区间内分别确定函数的单调增减区间。这里不仅涉及到还原的数学思想，而且要用到不等式的性质，在教学中从学生掌握的情况来看，效果并不理想，那么是否有简单的一些方法呢？笔者在思考这个问题时突然想到了求二次函数的单调性关键是找到对称轴，然后结合函数图像的开口方向来确定单调区间。那么三角函数的单调性可否用对称轴入手解决呢？为了有个解法上的比较我们下面先用课本上的方法解决然后再用对称轴的方法进行解决。
　　题目：求函数y=sin(■-■x)在区间[-2π,2π]的单调增区间。
　　解法一：（1）利用诱导公式把函数转化为标准函数(y=Asin(ωx+φ)，A>0,ω>0)的形式：
　　y=sin■-■x=-sin■x-■。
　　（2）把标准函数转化为最简函数(y=Asinx)的形式，令z=■x-■，原函数变为y=-sinz。
　　（3）讨论函数y=-sinz的单调性，因为y=-sinz的单调性与函数y=sinz的单调性相反，所以函数y=-sinz的单调增区间是[2kπ+■,2kπ+■]，k∈Z，所以2kπ+■　　即2kπ+■<■x-■＜2kπ+■，所以4kπ+■≤x≤4kπ+■,k∈Z。
　　（4）计算k=0,k=±1时的单调增区间
　　k=0时，■≤x≤■；k=1时，■≤x≤■；k=-1时，-■≤x≤-■
　　（5）在要求的区间内[-2π,2π]确定函数y=sin■-■x最终的单调区间：[-2π≤x≤-■]，[■≤x≤2π]
　　解法二：因为y=sinx的对称轴方程为x=kπ+■，k∈Z所以令■-■x=kπ+■，k∈Z，即解得x=-2kπ-■，k∈Z。当k=0时，x=-■;k=-1，x=■，而-■，■∈[-2π,2π]，
　　由对称轴方程知， 当k=0时，函数取最大值；当k=-1时，函数取最小值。
　　故[-■,■]上函数是减函数，所以区间[-2π,-■]，[■,2π]是函数的增区间。
　　总结：解法一是教科书提供的范例，是一种基本的方法，涉及到还原的思想，不等式性质的应用。解法二是利用函数图像对称轴来解决问题，众所周知二次函数的单调区间由对称轴分界（取得最值的地方就是分界点），由此想到三角函数的最值也是在单调分界处取得，所以求三角函数的单调性，只要求出它的对称轴，然后根据取得最值的情况写出单调区间。
　　另外求函数的值域及最值问题可以由单调性来求，那么求三角函数的值域及最值问题都可以由对称轴来快速解决，特别是在考试时解决客观题的好方法，下面我们再看一题。
　　题目：已知函数f(x)=2sin(2x-■)，x∈[0,■]，求f(x)的值域。
　　解：令2x-■=kπ+■,k∈Z，解得x=kπ+■，当k=0时，函数取得最大值且对称轴x=■落在区间[0,■]内，所以函数的最大值为f(■)=2sin(2×■-■)=2sin■=2，函数的最小值为f(0)=-1，所以函数f(x)的值域为[-1,2]。若将条件x∈[0,■]改為x∈[0,■]，我们该如何做呢？
　　总结：首先求出函数的对称轴，正弦函数y=sinx、余弦函数y=cosx的对称轴方程都是x=kπ+■，k∈Z，当k取偶数时，此时函数取得最大值，当k取奇数时，此时函数取得最小值。然后判断对称轴是否落在了给定的范围内，若在范围内，如上题解决；若不在所给的范围内，那就说明函数在给定的区间上单调，此时只要将区间的端点值带入函数计算出数值后得到函数的值域或最值。
　　综上，利用三角函数的对称轴解决单调性、最值及值域时简单有效，特别适合客观题的解答；另外这种方法有效的杜绝了学生在解此类问题时，只代端点值求最值及值域的错误做法。