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【摘要】本文论述“空间与图形”的教学要贴近学生生活实际，激活学生的认知储备和经验积累，通过唤醒经验，促进连接；挖掘图形，提升思维两方面进行分析，促进学生空间意识的发展。
【关键词】《圆柱的体积》 空间意识 观察 比较 思考
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2017）12A-0087-02
“空间与图形”是小学数学学习的四大领域之一，其目的是通过观察、实践、探究等一系列活动，让学生理解并掌握客观物体的几何属性，感受图形变换所产生的理性解读，从而形成具体的方向、距离、大小和形状等感知，逐步形成学生的意识和能力。本文结合苏教版六年级下册《圆柱的体积》教学片段的分析思考，谈谈如何利用生活资源以及学生的经验积累，开展有效的操作、反思等学习活动，激发学生探究几何形体的意义，帮助学生构建几何认知，进而发展学生的空间意识。
【片段一】唤醒经验，促进链接
师：下面我们将研究圆柱的体积，你能根据刚才的复习与整理来谈谈你的猜想吗？
生：圆柱的底面是圆，是不是也可以采用探讨圆的面积公式的方法来思考圆柱的体积呢？
师：这是一个很有价值的猜想。请大家分小组讨论它的价值在哪里？你认为我们应该怎样才能做到这种变化？
生：我认为可以，如果我们把底面变成近似的长方形，那么圆柱体就变成了近似的长方体。
生：我想到了圆柱形状的橡皮泥，发现不管我们怎么揉捏它，虽然它的形状发生了变化，但体积是永远不变的。
师：这个案例非常好。那我们就用橡皮泥来实验一番，看看有什么收获。注意把握隐藏其中的重要因素。
生：要实现转变，必须保证圆柱的高与长方体的高相等。
师：他的解读，你能知道原理吗？
生：是的。如果没有这个条件的约束，那我们就可以随意地改变橡皮泥的形状。现在要求高一样，变化的只有底面。当我们把圆形变成长方形时，圆柱体也就变成了长方体，而长方体的体积就好计算了（即圆柱的体积）。
生：通过分析这两者的关系，我们就可以计算圆柱的面积了，就是底面积乘高。
师：这真是个大胆的猜想，你们同意吗？
生：同意。
师：猜想是需要实践来检验的，你能用学具盒中的材料来证明吗？
【学生小组合作，利用圆柱模型（底面已经平均分成16等份）进行操作，研究变化的过程，讨论其中变化和没有变化的因素】
生：把圆柱的底面平均分成16份，再拼成一个近似的长方体，由于高相等，底面积也相等，所以体积没有变化。
生：体积是相等的。因为没有拿走，也没有增加橡皮泥。底面的圆变成了近似的长方形，高相等，因为长方体的体积等于底面积乘高，所以圆柱的体积也等于底面积乘高。
……
“圆柱的体积”教学本来就不是一节很轻松的课，但如果教师能把握准学生的认知储备，激活学生的经验，调动学生的创新思维，学习就会变成一种有趣的活动，一种富有智慧的探索。案例中，首先让学生猜想，促使学生有机地链接已有的认知之上，使学习具有厚实的根基；其次，利用橡皮泥让学生试做，在做中找到问题的本质，使学生明白做的方式，在高不变的情况下，底面由圆变方，给学生熟悉的感触，促使学生联想到长方体，诱使学生从这个角度去思考、去拓展，从而为后续的实践提供内在需求，让学习变成一种探寻与追求；再次，引导小组合作实验来验证自己的猜想，学生会很自觉地运用圆的面积转化方式去探究圆柱的变化，找寻其中不变和变化的因素，从而凸显知识的本质。整个学习过程，以观察为先导，以猜想为媒介，以实践为基石，以思考为灵魂，让学习变成体验，变成自我探寻快乐的寻觅之旅。
【片段二】挖掘图形，提升思维
师：通过研究体积公式的推导，我们深知形体之间的联系。还有没有其他的发现啊？
生：有！圆柱变成近似的长方体，多出了2个面。
师：是吗？能指出来吗？
（生指着变形后的长方体说：前面和后面有点弯曲的是圆柱的侧面，上面和下面就是圆柱的底面，而左右两个长方形就是多出来的）
生：这两个长方形的长是圆柱的高，宽是圆柱底面的半径。
……
师：非常棒！这是一组很了不起的发现。这里有相关的一组习题，请大家认真分析，仔细思考。
投影出示：（1）把一个高10厘米的圆柱状萝卜，切拼成一样高的长方体，发现表面积比原来大了60平方厘米。圆柱的体积是多少立方厘米？
（2）如图，长方体的上底面周长是41.4厘米。请计算圆柱的体积是多少立方厘米？
……
知识的学习不能只停留在基本的层面和表象中，要真正地内化为技能和素养，还需要有充足的思维支撑。“学而不思则罔，思而不学则殆”就是最经典的论述。为此，教师引导学生结合实践，结合图例展开想象，一方面可以巩固认知，促进表象的深化；另一方面还能促进认知的有机连接，在开拓视野的同时，也丰富了学生的感知，丰厚了学生的储备，使学生的思维得以活化。案例中，利用学生对实践操作的反思、对图例深层次地解剖，使底面周长的变化、表面积的变化都能凸显出来，让学生的学习走出了惟知识的桎梏，走向善思、善问的理想境地。同时，为了克服纸上談兵的教学行为，教师设计了一组习题让学生尝试、分析、交流，从而凸显知识的本质，为思维的提升注入鲜活的力量，也为学生有效地观察、想象提供最扎实的训练。
【教学思考】
一、通过生活积累促进空间意识的增强
每一件生活中的物品都是一个真实的三维实体，学生对其有一定的亲切感。充分利用好这些资源，不仅能促进几何体特征以表象的形式保留在学生的记忆中，而且能让学生感知到空间的存在。把生活的积累作为学习的资源，是一种便利之举，也是理想之举。一方面，小学涉及的所有几何形体和几何现象都能在生活中找到原型，在经验中找到缩影；另一方面，学生所知道、理解和掌握的几何图形的性质，基本上都是以生活为源泉，从观察其所熟悉的具体对象开始的。因此，教师应提供实物、模型或图片等详尽的感性学习资源引导学生观察，让学生在观察中开始新知的探究。 观察是感知世界的利器。但是，观察对象的抽象过程和抽象程度决定着观察的广度和深度，也直接影响着观察的实效，影响着学习的成效。为此，教师要紧紧依托生活资源，提供的观察实体既要是学生所熟悉的，也要充分体现几何形体的基本特征。同时，教师还要指导学生学会观察，掌握一定的分析研究方法，能够敏锐地把握生活实体与几何图形之间的联系，进而快速地透过现象发现本质，使学习变得顺畅，变得富有情趣。
二、通过实践感悟提升空间意识的发展
小学几何又称作实验几何，这意味着小学生的几何学习是做出来的，是手脑并用创造出来的。因此，用实践刺激学生的多重感官，能促进学生全身心地参与到探索研究之中。这些活动既贴近学生的实际，又符合学生的心理需求，还能激发学生的好奇心，让学习变得更具活力。
案例中的两个片段，我们都能看到学生实践探索的身影，如橡皮泥的变形，在实践中学生找尋到比较的根源：“高是一样的。”只要找到这一根本的条件，观察才有方向，比较才有价值。学具的组拼，不仅契合了学生的猜想——将圆柱体拼成了近似的长方体，还让学生在看、比、想、议等活动中找寻到内在的联系，吃透现象与本质之间所蕴藏的奥秘。特别是片段二中学生对图例的解读，既建立在例题的研究学习之上，又超越了例题，实现了有效的拓展。
小学阶段的“空间与图形”学习至始至终都离不开学生的操作以及学生与生活之间的联系。但我们也清楚小学生的认知与经验储备的现状，为此，在课堂教学中既要重视教师的演示性实验，也要重视学生的动手操作，给学生验证性操作的引领，也要给学生探索性实践的空间，让学生真正成为学习的体验者、反思者，让课堂充满探索、研究的气息，进而有效促进学生空间意识的发展。
三、通过交流促进空间意识的构建
几何语言的学习不是只有单纯的概念传递和个人的独立学习来达成的， 而是要在智慧的交流互动中不断深刻、不断提炼、不断升华来实现的。为此，引领合作探究，将成为小学几何学习的重要策略，也是取得学习突破的有力举措。
一节高效的课堂，一次有效的学习，交流活动应是多维的。一方面是教师对学生的观察、操作、讨论等探究性学习活动予以清晰、生动的指导语引导，让各项活动有序地开展，从而克服学生的随意、萌动等行为，让学习的指向具有极强的靶向性，促进学习效率的大幅度提升。另一方面，营造适宜的环境，让学生能够站起来、说得出来，并能够运用自己思考的结果去反驳、去验证，使数学学习变成一种充满质疑、充满挑战的历练场。师生的合作交流、生生的辨析交流，让课堂充满活力，让学习充满竞争力。
片段二中学生对基本图形转化的解读，就是一种智慧的碰撞，也是思维迸发的结晶。学生的很多见解，不仅超乎了我们的教学预设，让我们能够欣赏到学生的智慧，感受到学生的观察犀利。因为学生的质疑、辨析，让学习变得富有挑战性，也让我们的数学课堂洋溢着自由的气息，流淌着智慧的灵光。同样，在学习《轴对称图形》时，引导学生观察并思考学具盒中的材料（印有瓶子的一半或衣服的一半轮廓图），引发学生积极地猜想，然后再让学生自己动手去做一做。课堂中因为教师有意识地预留了一个陷阱（没有指导先折、后剪），而是让学生先动起来。我们看到，有的学生认真地画出另一半，然后沿着轮廓剪下来，但总体不是十分像。有的学生先把纸对折，再沿着瓶子或衣服的一半轮廓来剪，打开后就是一个瓶子或一件衣服的图形。最后，学生展示作品，比较优劣。学生在交流和质疑中，展示了自己的思考，说出了自己的困惑、想法和操作方法，让知识点更加凸显出来，让学习更加理性起来。学生知道，画出另一半是可以的，但是确实无法达到真正地重合。而先折再剪开来，就是利用了轴对称图形的特性，瓶子和衣服都是轴对称图形，折痕就是对称轴。学生之间的积极交流互动，能够深化学生“空间观念”的领悟，超越具体物的存在，使数学学习摆脱物的限制，而是以反映“特征”为主的概括化、抽象化的“图”，多维的交流，实现了学习的突破，促进了学生的空间观念的增厚。
总之，教师应贴近学生的实际，激活学生的认知储备和经验积累，采用多种有效的方法和策略，引导学生积极观察、认真实践、深度思考，吃透几何形体的基本概况，积累丰富的感知，促使学生对几何形体有更深刻的认识，利于学生的空间意识的发展。
（责编 林 剑）
【关键词】《圆柱的体积》 空间意识 观察 比较 思考
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2017）12A-0087-02
“空间与图形”是小学数学学习的四大领域之一，其目的是通过观察、实践、探究等一系列活动，让学生理解并掌握客观物体的几何属性，感受图形变换所产生的理性解读，从而形成具体的方向、距离、大小和形状等感知，逐步形成学生的意识和能力。本文结合苏教版六年级下册《圆柱的体积》教学片段的分析思考，谈谈如何利用生活资源以及学生的经验积累，开展有效的操作、反思等学习活动，激发学生探究几何形体的意义，帮助学生构建几何认知，进而发展学生的空间意识。
【片段一】唤醒经验，促进链接
师：下面我们将研究圆柱的体积，你能根据刚才的复习与整理来谈谈你的猜想吗？
生：圆柱的底面是圆，是不是也可以采用探讨圆的面积公式的方法来思考圆柱的体积呢？
师：这是一个很有价值的猜想。请大家分小组讨论它的价值在哪里？你认为我们应该怎样才能做到这种变化？
生：我认为可以，如果我们把底面变成近似的长方形，那么圆柱体就变成了近似的长方体。
生：我想到了圆柱形状的橡皮泥，发现不管我们怎么揉捏它，虽然它的形状发生了变化，但体积是永远不变的。
师：这个案例非常好。那我们就用橡皮泥来实验一番，看看有什么收获。注意把握隐藏其中的重要因素。
生：要实现转变，必须保证圆柱的高与长方体的高相等。
师：他的解读，你能知道原理吗？
生：是的。如果没有这个条件的约束，那我们就可以随意地改变橡皮泥的形状。现在要求高一样，变化的只有底面。当我们把圆形变成长方形时，圆柱体也就变成了长方体，而长方体的体积就好计算了（即圆柱的体积）。
生：通过分析这两者的关系，我们就可以计算圆柱的面积了，就是底面积乘高。
师：这真是个大胆的猜想，你们同意吗？
生：同意。
师：猜想是需要实践来检验的，你能用学具盒中的材料来证明吗？
【学生小组合作，利用圆柱模型（底面已经平均分成16等份）进行操作，研究变化的过程，讨论其中变化和没有变化的因素】
生：把圆柱的底面平均分成16份，再拼成一个近似的长方体，由于高相等，底面积也相等，所以体积没有变化。
生：体积是相等的。因为没有拿走，也没有增加橡皮泥。底面的圆变成了近似的长方形，高相等，因为长方体的体积等于底面积乘高，所以圆柱的体积也等于底面积乘高。
……
“圆柱的体积”教学本来就不是一节很轻松的课，但如果教师能把握准学生的认知储备，激活学生的经验，调动学生的创新思维，学习就会变成一种有趣的活动，一种富有智慧的探索。案例中，首先让学生猜想，促使学生有机地链接已有的认知之上，使学习具有厚实的根基；其次，利用橡皮泥让学生试做，在做中找到问题的本质，使学生明白做的方式，在高不变的情况下，底面由圆变方，给学生熟悉的感触，促使学生联想到长方体，诱使学生从这个角度去思考、去拓展，从而为后续的实践提供内在需求，让学习变成一种探寻与追求；再次，引导小组合作实验来验证自己的猜想，学生会很自觉地运用圆的面积转化方式去探究圆柱的变化，找寻其中不变和变化的因素，从而凸显知识的本质。整个学习过程，以观察为先导，以猜想为媒介，以实践为基石，以思考为灵魂，让学习变成体验，变成自我探寻快乐的寻觅之旅。
【片段二】挖掘图形，提升思维
师：通过研究体积公式的推导，我们深知形体之间的联系。还有没有其他的发现啊？
生：有！圆柱变成近似的长方体，多出了2个面。
师：是吗？能指出来吗？
（生指着变形后的长方体说：前面和后面有点弯曲的是圆柱的侧面，上面和下面就是圆柱的底面，而左右两个长方形就是多出来的）
生：这两个长方形的长是圆柱的高，宽是圆柱底面的半径。
……
师：非常棒！这是一组很了不起的发现。这里有相关的一组习题，请大家认真分析，仔细思考。
投影出示：（1）把一个高10厘米的圆柱状萝卜，切拼成一样高的长方体，发现表面积比原来大了60平方厘米。圆柱的体积是多少立方厘米？
（2）如图，长方体的上底面周长是41.4厘米。请计算圆柱的体积是多少立方厘米？
……
知识的学习不能只停留在基本的层面和表象中，要真正地内化为技能和素养，还需要有充足的思维支撑。“学而不思则罔，思而不学则殆”就是最经典的论述。为此，教师引导学生结合实践，结合图例展开想象，一方面可以巩固认知，促进表象的深化；另一方面还能促进认知的有机连接，在开拓视野的同时，也丰富了学生的感知，丰厚了学生的储备，使学生的思维得以活化。案例中，利用学生对实践操作的反思、对图例深层次地解剖，使底面周长的变化、表面积的变化都能凸显出来，让学生的学习走出了惟知识的桎梏，走向善思、善问的理想境地。同时，为了克服纸上談兵的教学行为，教师设计了一组习题让学生尝试、分析、交流，从而凸显知识的本质，为思维的提升注入鲜活的力量，也为学生有效地观察、想象提供最扎实的训练。
【教学思考】
一、通过生活积累促进空间意识的增强
每一件生活中的物品都是一个真实的三维实体，学生对其有一定的亲切感。充分利用好这些资源，不仅能促进几何体特征以表象的形式保留在学生的记忆中，而且能让学生感知到空间的存在。把生活的积累作为学习的资源，是一种便利之举，也是理想之举。一方面，小学涉及的所有几何形体和几何现象都能在生活中找到原型，在经验中找到缩影；另一方面，学生所知道、理解和掌握的几何图形的性质，基本上都是以生活为源泉，从观察其所熟悉的具体对象开始的。因此，教师应提供实物、模型或图片等详尽的感性学习资源引导学生观察，让学生在观察中开始新知的探究。 观察是感知世界的利器。但是，观察对象的抽象过程和抽象程度决定着观察的广度和深度，也直接影响着观察的实效，影响着学习的成效。为此，教师要紧紧依托生活资源，提供的观察实体既要是学生所熟悉的，也要充分体现几何形体的基本特征。同时，教师还要指导学生学会观察，掌握一定的分析研究方法，能够敏锐地把握生活实体与几何图形之间的联系，进而快速地透过现象发现本质，使学习变得顺畅，变得富有情趣。
二、通过实践感悟提升空间意识的发展
小学几何又称作实验几何，这意味着小学生的几何学习是做出来的，是手脑并用创造出来的。因此，用实践刺激学生的多重感官，能促进学生全身心地参与到探索研究之中。这些活动既贴近学生的实际，又符合学生的心理需求，还能激发学生的好奇心，让学习变得更具活力。
案例中的两个片段，我们都能看到学生实践探索的身影，如橡皮泥的变形，在实践中学生找尋到比较的根源：“高是一样的。”只要找到这一根本的条件，观察才有方向，比较才有价值。学具的组拼，不仅契合了学生的猜想——将圆柱体拼成了近似的长方体，还让学生在看、比、想、议等活动中找寻到内在的联系，吃透现象与本质之间所蕴藏的奥秘。特别是片段二中学生对图例的解读，既建立在例题的研究学习之上，又超越了例题，实现了有效的拓展。
小学阶段的“空间与图形”学习至始至终都离不开学生的操作以及学生与生活之间的联系。但我们也清楚小学生的认知与经验储备的现状，为此，在课堂教学中既要重视教师的演示性实验，也要重视学生的动手操作，给学生验证性操作的引领，也要给学生探索性实践的空间，让学生真正成为学习的体验者、反思者，让课堂充满探索、研究的气息，进而有效促进学生空间意识的发展。
三、通过交流促进空间意识的构建
几何语言的学习不是只有单纯的概念传递和个人的独立学习来达成的， 而是要在智慧的交流互动中不断深刻、不断提炼、不断升华来实现的。为此，引领合作探究，将成为小学几何学习的重要策略，也是取得学习突破的有力举措。
一节高效的课堂，一次有效的学习，交流活动应是多维的。一方面是教师对学生的观察、操作、讨论等探究性学习活动予以清晰、生动的指导语引导，让各项活动有序地开展，从而克服学生的随意、萌动等行为，让学习的指向具有极强的靶向性，促进学习效率的大幅度提升。另一方面，营造适宜的环境，让学生能够站起来、说得出来，并能够运用自己思考的结果去反驳、去验证，使数学学习变成一种充满质疑、充满挑战的历练场。师生的合作交流、生生的辨析交流，让课堂充满活力，让学习充满竞争力。
片段二中学生对基本图形转化的解读，就是一种智慧的碰撞，也是思维迸发的结晶。学生的很多见解，不仅超乎了我们的教学预设，让我们能够欣赏到学生的智慧，感受到学生的观察犀利。因为学生的质疑、辨析，让学习变得富有挑战性，也让我们的数学课堂洋溢着自由的气息，流淌着智慧的灵光。同样，在学习《轴对称图形》时，引导学生观察并思考学具盒中的材料（印有瓶子的一半或衣服的一半轮廓图），引发学生积极地猜想，然后再让学生自己动手去做一做。课堂中因为教师有意识地预留了一个陷阱（没有指导先折、后剪），而是让学生先动起来。我们看到，有的学生认真地画出另一半，然后沿着轮廓剪下来，但总体不是十分像。有的学生先把纸对折，再沿着瓶子或衣服的一半轮廓来剪，打开后就是一个瓶子或一件衣服的图形。最后，学生展示作品，比较优劣。学生在交流和质疑中，展示了自己的思考，说出了自己的困惑、想法和操作方法，让知识点更加凸显出来，让学习更加理性起来。学生知道，画出另一半是可以的，但是确实无法达到真正地重合。而先折再剪开来，就是利用了轴对称图形的特性，瓶子和衣服都是轴对称图形，折痕就是对称轴。学生之间的积极交流互动，能够深化学生“空间观念”的领悟，超越具体物的存在，使数学学习摆脱物的限制，而是以反映“特征”为主的概括化、抽象化的“图”，多维的交流，实现了学习的突破，促进了学生的空间观念的增厚。
总之，教师应贴近学生的实际，激活学生的认知储备和经验积累，采用多种有效的方法和策略，引导学生积极观察、认真实践、深度思考，吃透几何形体的基本概况，积累丰富的感知，促使学生对几何形体有更深刻的认识，利于学生的空间意识的发展。
（责编 林 剑）