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有效的数学教学过程是引导学生经历数学化的过程，横向数学化与纵向数学化在课堂教学中兼容并俱、辨证统一是现实主义教学的特点。孙晓天教授曾说：“没有数学化的数学教学、没有给学生提供自己探究和思维空间的教学不是真正有效的教学。”数学化的教学必须关注学生的兴趣、从学生的成长水平入手、使数学知识更富现实感，有助于学生把握数学的本质、有助于学生学以致用，这样才能使我们的学生在数学能力、数学素养方面更有“后劲”，才能提高课堂教学的有效率
一、教案例
（一）《平均数》教学片断
上课伊始，给出前一天开展小组间口算比赛的两组数据信息：第1组4人，算对的数量分别是6、8、9、5道；第二组5人，分别算对待数量分别是5、10、7、4、4道 。
师：哪个小组的口算水平高？
生1：比一比两个组做对题目的总数就可以了，一组共做对28道，二组共做对30道，所以应该2组获胜。
生2：两组人数是不相等的，一组4人，二组5人，人数不相等比总数是不公平的！
（众生附和）
师：在人数不相等的情况下，有没有办法比出哪个小组做口算的整体水平高呢？
生：求出平均数就能比了。
……
（二）《加法交换律》教学片断
上课伊始，师讲成语故事“朝三暮四”，提出：听了这则故事，你有什么想法？
生1：我觉得猴子很傻，他无论是上午吃3个下午吃4个，还是上午吃4个下午吃3个，总数都是7个。
师：那能从数学的角度思考，用一个式子表达出故事中反映的问题吗？
生1：可以用3+4=4+3
师：仿照这个例子，你还能再写出多少个等式？
指名板演，其他学生写在自己的本子上。
师：在写的过程中，你有没有发现什么？
生：（等号两边的）两个加数（分别）相同。
生：它们的和相同。
师：同学们的观察都很好，能不能把大家的这些发现用一句话概括出来？（给学生独立思考的时间与空间）
师：在小组中交流，概括出你们组的意见。（在独立思考的基础上，进行交流，取长补短，初步完善自己的想法。）
汇报：
生：在加法算式中，等号两边的加数相同，当它们交换了位置后，结果是相等的。
师：能再简练一些吗？
生：等号两边的加数相同，和不变。
师：概括性很高，但是还有一个很关键的特征没表述出来，其他小组的意见呢？
生：在加法算式中，交换了加数的位置，它们的和不变。
师：这次的总结就很到位了，哪个小组还愿意说一说？
师：我们是怎样获得加法交换律的？
生：看，列举，总结。（对学习方法进行总结。观察、列举、归纳）
师：我们刚才用文字表达出了加法交换律，想一想，还能用什么形式来表达这条规律？
生1：可以用一个算式，如38+15=15+38
生2：可以画线段，如：___+___=___+___
生3：可以用字母，如：a+b=b+a
生4：可以画图形，如：△+□ = □+△
……
二、过程分析
学生的数学学习不是为了占有知识，而是为了生长知识。教学中，要给学生创设有价值的数学化学习情境，设计有价值的经历数学化的教学活动，让学生去观察、思考、探索、研究，真正经历数学知识的形成过程，从而提高学生的数学素养。
（一）创设数学化情境
弗赖登塔尔认为：数学化的对象是学生熟悉的现实，不是成人的现实。在学生当前的现实中选择学习情境，使其适合于横向的数学化是指导学生进行数学化活动的基本原则之一。因此在数学课堂教学中首先要创设适合于学生进行数学化活动的情境，这是有效地指导学生参与到数学化的各个方面中去的基础。
《平均数》这一教学片断，从学生熟悉的生活情境引入，激发问题，使学生发现当两组人数不相等时，用以前学过的比总数的方法比较哪组整体水平高不公平，引发矛盾冲突；《加法交换律》则呈现故事情境，引发数学思考，这两个情境的创设都关注了学生的兴趣点、围绕着知识点和能力训练点、立足于学生的知识经验和生活经验，激发学生在已有生活经验和知识基础上用自己的数学水平观察、分析这一事实进而激起学生探究的欲望，顺利进入后续的学习。
（二）引导数学建模，促进形式化
在数学化情境建立起来后，教师要有效地指导学生参与到数学化的各个方面中去亲历数学建模。数学教育本身是个过程，它不仅是传授知识，更重要的是在教学过程中，让学生自己亲身实践。学习《加法交换律》时，让学生从数学的角度思考，用一个式子表达出故事中反映的问题，之后再照样子列举，使学生在思想中形成一个具体而鲜明的知识原型，在这个基础上，进行概括，抽象成数学问题的模型“两个数相加，交换它们的位置，和不变”，形成掌握数学化思想的扎实基础。
形式化是数学化的另一个重要方面。所谓形式化，是指对语言的整理、修正和转化的过程。《加法交换律》中让学生用个性化的语言来描述自己的发现，在描述刚开始时，也曾出现不完整，不简练的情形，有学生说“两个加数相同”；有学生说“在加法算式中，等号两边的加数相同，当它们交换了位置后，结果是相等的”等等。但通过交流、个体反思加上教师的引导，学生最终达到形成正确的语言描述的目的。之后，再尝试用其它形式表达加法交换律，多种符号的对比中，得出字母表达式“a+b=b+a”，这些过程属于横向数学化即“是把生活世界引向符号世界”，学生运用类推、不完全归纳等方法进行学习，不断完善和修正自己的思维、表达，一步步经历了形式化的过程，并从中学会抽象化、形式化等各种学习方法。
三、结论
让学生亲历数学知识的形成过程，这不仅是为了让学生通过多种活动去探究和获取数学知识，以达到对知识的深层理解，更主要的是使学生掌握、发现、认识并理解数学的一般方法，学会在生活中发现并创造数学，提高学生数学素养。亲历数学知识的形成过程，不仅是一种获取知识的教学手段，也是教学的重要目的，更是我们提高课堂教学效率的有效途径。
一、教案例
（一）《平均数》教学片断
上课伊始，给出前一天开展小组间口算比赛的两组数据信息：第1组4人，算对的数量分别是6、8、9、5道；第二组5人，分别算对待数量分别是5、10、7、4、4道 。
师：哪个小组的口算水平高？
生1：比一比两个组做对题目的总数就可以了，一组共做对28道，二组共做对30道，所以应该2组获胜。
生2：两组人数是不相等的，一组4人，二组5人，人数不相等比总数是不公平的！
（众生附和）
师：在人数不相等的情况下，有没有办法比出哪个小组做口算的整体水平高呢？
生：求出平均数就能比了。
……
（二）《加法交换律》教学片断
上课伊始，师讲成语故事“朝三暮四”，提出：听了这则故事，你有什么想法？
生1：我觉得猴子很傻，他无论是上午吃3个下午吃4个，还是上午吃4个下午吃3个，总数都是7个。
师：那能从数学的角度思考，用一个式子表达出故事中反映的问题吗？
生1：可以用3+4=4+3
师：仿照这个例子，你还能再写出多少个等式？
指名板演，其他学生写在自己的本子上。
师：在写的过程中，你有没有发现什么？
生：（等号两边的）两个加数（分别）相同。
生：它们的和相同。
师：同学们的观察都很好，能不能把大家的这些发现用一句话概括出来？（给学生独立思考的时间与空间）
师：在小组中交流，概括出你们组的意见。（在独立思考的基础上，进行交流，取长补短，初步完善自己的想法。）
汇报：
生：在加法算式中，等号两边的加数相同，当它们交换了位置后，结果是相等的。
师：能再简练一些吗？
生：等号两边的加数相同，和不变。
师：概括性很高，但是还有一个很关键的特征没表述出来，其他小组的意见呢？
生：在加法算式中，交换了加数的位置，它们的和不变。
师：这次的总结就很到位了，哪个小组还愿意说一说？
师：我们是怎样获得加法交换律的？
生：看，列举，总结。（对学习方法进行总结。观察、列举、归纳）
师：我们刚才用文字表达出了加法交换律，想一想，还能用什么形式来表达这条规律？
生1：可以用一个算式，如38+15=15+38
生2：可以画线段，如：___+___=___+___
生3：可以用字母，如：a+b=b+a
生4：可以画图形，如：△+□ = □+△
……
二、过程分析
学生的数学学习不是为了占有知识，而是为了生长知识。教学中，要给学生创设有价值的数学化学习情境，设计有价值的经历数学化的教学活动，让学生去观察、思考、探索、研究，真正经历数学知识的形成过程，从而提高学生的数学素养。
（一）创设数学化情境
弗赖登塔尔认为：数学化的对象是学生熟悉的现实，不是成人的现实。在学生当前的现实中选择学习情境，使其适合于横向的数学化是指导学生进行数学化活动的基本原则之一。因此在数学课堂教学中首先要创设适合于学生进行数学化活动的情境，这是有效地指导学生参与到数学化的各个方面中去的基础。
《平均数》这一教学片断，从学生熟悉的生活情境引入，激发问题，使学生发现当两组人数不相等时，用以前学过的比总数的方法比较哪组整体水平高不公平，引发矛盾冲突；《加法交换律》则呈现故事情境，引发数学思考，这两个情境的创设都关注了学生的兴趣点、围绕着知识点和能力训练点、立足于学生的知识经验和生活经验，激发学生在已有生活经验和知识基础上用自己的数学水平观察、分析这一事实进而激起学生探究的欲望，顺利进入后续的学习。
（二）引导数学建模，促进形式化
在数学化情境建立起来后，教师要有效地指导学生参与到数学化的各个方面中去亲历数学建模。数学教育本身是个过程，它不仅是传授知识，更重要的是在教学过程中，让学生自己亲身实践。学习《加法交换律》时，让学生从数学的角度思考，用一个式子表达出故事中反映的问题，之后再照样子列举，使学生在思想中形成一个具体而鲜明的知识原型，在这个基础上，进行概括，抽象成数学问题的模型“两个数相加，交换它们的位置，和不变”，形成掌握数学化思想的扎实基础。
形式化是数学化的另一个重要方面。所谓形式化，是指对语言的整理、修正和转化的过程。《加法交换律》中让学生用个性化的语言来描述自己的发现，在描述刚开始时，也曾出现不完整，不简练的情形，有学生说“两个加数相同”；有学生说“在加法算式中，等号两边的加数相同，当它们交换了位置后，结果是相等的”等等。但通过交流、个体反思加上教师的引导，学生最终达到形成正确的语言描述的目的。之后，再尝试用其它形式表达加法交换律，多种符号的对比中，得出字母表达式“a+b=b+a”，这些过程属于横向数学化即“是把生活世界引向符号世界”，学生运用类推、不完全归纳等方法进行学习，不断完善和修正自己的思维、表达，一步步经历了形式化的过程，并从中学会抽象化、形式化等各种学习方法。
三、结论
让学生亲历数学知识的形成过程，这不仅是为了让学生通过多种活动去探究和获取数学知识，以达到对知识的深层理解，更主要的是使学生掌握、发现、认识并理解数学的一般方法，学会在生活中发现并创造数学，提高学生数学素养。亲历数学知识的形成过程，不仅是一种获取知识的教学手段，也是教学的重要目的，更是我们提高课堂教学效率的有效途径。