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数学是一门基础学科，计算又是学习数学最重要的基础，而笔算则是进行复杂计算的一种重要方法。竖式既是笔算的外在形式，也是笔算的有效载体。深刻挖掘竖式的内涵，我们会发现竖式其实是一个“超级符号”。下面以人教版数学三年级下册“两位数乘两位数（不进位）”试论之。
一、“可怕的”竖式
从两位数乘两位数开始，竖式变得“可怕了”。很多学生在初学该内容的时候都会出现各式各样的奇葩错误（如图1～4）：
从学生的错误中不难看出，很多学生都依托多位数加减法或是多位数乘一位数的笔算方法进行“迁移”，但这些“迁移”都不灵了！这是怎么回事？
一时间，老师、学生仿佛都对竖式产生了深深的恐惧——竖式真可怕！
二、“简洁的”竖式
竖式如此恐惧，为什么还要学习竖式呢？我们先来对比教材中口算与笔算的异同（如图5）：
相同点：都是算出10个24的和与2个24的和，再相加。
不同点：一是口算一般从高位算起，笔算一般从低位算起；二是口算用了三道算式，而笔算只用了一道算式。
通过对比我们发现：竖式与口算过程的算理完全相同，但形式上更加简洁。而简洁美，正是数学的重要特征和需要追求的目标嘛？
因此，竖式虽然“可怕”，但还非学不可！
三、“复杂的”竖式
以往很简单的竖式，现在怎么变得这么难了？因为从两位数乘两位数（不进位）开始，进入小学阶段竖式的一次大“升级”。
很多老师可能都有同感：这节课的教学中，由口算过程过渡到理解竖式算理并不难，似乎都是水到渠成之事。但明白了算理，怎么学生还是算错了呢？原因就在于竖式的复杂性。具体体现在以下三个方面：
1.合并与拆分。
两位数乘两位数的竖式其实可以看作是由三个竖式合并而成（如图6）：
认识到这一点，在进行竖式计算的时候首先就要做好“拆分工作”，但这种拆分又不能真的写成两道乘法算式，最后再相加（其实分开也无不可，这里说的“不能”仅仅指竖式的形式要求而言）。所以就要把一道乘法算式当做两道乘法来做（如图7、图8）：
大家不难发现：其中第一个因数（被乘数）用到了两次，而第二个因数（乘数）被拆分成两个“一位数”分别用到一次。这一点与口算过程完全相同，但形式更加“隐蔽”了。正是这种隐蔽性增加了两位数乘两位数竖式的难度，让一些抽象思维能力弱的学生难以掌握。
2.计算与计数。
在进行两位数乘两位数笔算乘法第二步计算的时候，部分学生一开始会出现对位不正确的现象（如图3）。原因是学生在这个竖式中，计算与计数的关系没有理解好。在第二步计算的时候，口算过程中很明确是24×10=240，而竖式中多数时候我们却把它当作24×1了。而这个“1”代表的是1个十，所以得数是24个十，也就是240。当我们简写为“24”的时候，末位上的“4”要对齐十位。这种用比拟的方式来简化计算，又用真实的数值来计数，无疑是两位数乘两位数竖式的又一个难点。
3.迁移与变通。
明白了以上两点，就不难理解为什么利用旧知识进行“迁移”会不灵了。因为在迁移过程中，学生忽视了两个最重要的知识 “新接口”：一是竖式由“单式”升级为“复式”，需要三个“回合”才能完成一道两位数乘两位的计算；二是竖式中的计算与计数“真真假假”，在进行第二步计算的时候，为了简便把它当作两位数乘一位数，但在书写计算结果的时候又要还原为两位数乘整十数。这就是学习本节课在迁移过程中需要注意的两个变通之处。
至此，完全可以理解两位数乘两位数的竖式是一个“超级符号”了——它用简明的形式规定了复杂运算的程序、规则，使复杂的口算过程变得更加简洁。
四、“深刻的”竖式
明白了竖式是一个“超级符号”，我们就更容易深刻理解计算教学的某些特性了：
1.计算依托于计数。
计算其实就是计数方法的应用与简化，它必须依托于计数。因此，竖式其实是在一个隐形的数位顺序表中进行的（如图9～12）。
可见，在计算教学中，需要教师培养学生时刻在头脑中形成一个隐形数位顺序表的习惯和能力。这在后续学习小数的意义和小数加减乘除法的笔算中也显得格外重要。
2.算理外显为算法。
算理与算法互为表里。算理为计算的“内核”，它解决的是计算合理性的问题；而算法为计算的“外壳”，它解决的是计算程序性的问题。两位数乘两位数，在小学阶段采用的算理是应用乘法分配律（虽然三年级尚未学习，但结合具体的生活情境进行理解）将其拆分成两道两位数乘一位数的乘法进行计算，再求和。对应竖式计算，就是两个“回合”的乘法计算（如图7、8），再求和。
如果用初中整式相乘的形式，24×12可表示为（20+4）×（10+2）=20×10+20×2+4×10+4×2。这样的算理，则更利于对应“格子算法”（图13）。
利用矩形图，也能更好地理解四个单项式的计算结果（如图14）。
可见，不同的算法源自不同的算理。算法与算理相匹配，才能更有利于学生对计算知识和技能的理解掌握。
3.迁移需要变通。
迁移是学习的一种重要方法，但在迁移过程中很多时候需要加以变通。迁移解决的是新旧知识“衔接”的问题，变通则是解决新旧知识“分化”的问题。教会学生在迁移中变通，就能让旧知识生成更多新知识。再把诸多新知识同化到“原认知”结构中，就能把知识“串点成线”“织线成网”，把零散的知识碎片整合为结构合理的知识群，在解决实际问题中灵活应用。
综上所述，竖式是个“超级符号”。它蕴含着丰富而深刻的内涵，值得我们深入挖掘，在小学数学计算教学中谱写更美的华章。
◇責任编辑：徐新亮◇
[email protected]
一、“可怕的”竖式
从两位数乘两位数开始，竖式变得“可怕了”。很多学生在初学该内容的时候都会出现各式各样的奇葩错误（如图1～4）：
从学生的错误中不难看出，很多学生都依托多位数加减法或是多位数乘一位数的笔算方法进行“迁移”，但这些“迁移”都不灵了！这是怎么回事？
一时间，老师、学生仿佛都对竖式产生了深深的恐惧——竖式真可怕！
二、“简洁的”竖式
竖式如此恐惧，为什么还要学习竖式呢？我们先来对比教材中口算与笔算的异同（如图5）：
相同点：都是算出10个24的和与2个24的和，再相加。
不同点：一是口算一般从高位算起，笔算一般从低位算起；二是口算用了三道算式，而笔算只用了一道算式。
通过对比我们发现：竖式与口算过程的算理完全相同，但形式上更加简洁。而简洁美，正是数学的重要特征和需要追求的目标嘛？
因此，竖式虽然“可怕”，但还非学不可！
三、“复杂的”竖式
以往很简单的竖式，现在怎么变得这么难了？因为从两位数乘两位数（不进位）开始，进入小学阶段竖式的一次大“升级”。
很多老师可能都有同感：这节课的教学中，由口算过程过渡到理解竖式算理并不难，似乎都是水到渠成之事。但明白了算理，怎么学生还是算错了呢？原因就在于竖式的复杂性。具体体现在以下三个方面：
1.合并与拆分。
两位数乘两位数的竖式其实可以看作是由三个竖式合并而成（如图6）：
认识到这一点，在进行竖式计算的时候首先就要做好“拆分工作”，但这种拆分又不能真的写成两道乘法算式，最后再相加（其实分开也无不可，这里说的“不能”仅仅指竖式的形式要求而言）。所以就要把一道乘法算式当做两道乘法来做（如图7、图8）：
大家不难发现：其中第一个因数（被乘数）用到了两次，而第二个因数（乘数）被拆分成两个“一位数”分别用到一次。这一点与口算过程完全相同，但形式更加“隐蔽”了。正是这种隐蔽性增加了两位数乘两位数竖式的难度，让一些抽象思维能力弱的学生难以掌握。
2.计算与计数。
在进行两位数乘两位数笔算乘法第二步计算的时候，部分学生一开始会出现对位不正确的现象（如图3）。原因是学生在这个竖式中，计算与计数的关系没有理解好。在第二步计算的时候，口算过程中很明确是24×10=240，而竖式中多数时候我们却把它当作24×1了。而这个“1”代表的是1个十，所以得数是24个十，也就是240。当我们简写为“24”的时候，末位上的“4”要对齐十位。这种用比拟的方式来简化计算，又用真实的数值来计数，无疑是两位数乘两位数竖式的又一个难点。
3.迁移与变通。
明白了以上两点，就不难理解为什么利用旧知识进行“迁移”会不灵了。因为在迁移过程中，学生忽视了两个最重要的知识 “新接口”：一是竖式由“单式”升级为“复式”，需要三个“回合”才能完成一道两位数乘两位的计算；二是竖式中的计算与计数“真真假假”，在进行第二步计算的时候，为了简便把它当作两位数乘一位数，但在书写计算结果的时候又要还原为两位数乘整十数。这就是学习本节课在迁移过程中需要注意的两个变通之处。
至此，完全可以理解两位数乘两位数的竖式是一个“超级符号”了——它用简明的形式规定了复杂运算的程序、规则，使复杂的口算过程变得更加简洁。
四、“深刻的”竖式
明白了竖式是一个“超级符号”，我们就更容易深刻理解计算教学的某些特性了：
1.计算依托于计数。
计算其实就是计数方法的应用与简化，它必须依托于计数。因此，竖式其实是在一个隐形的数位顺序表中进行的（如图9～12）。
可见，在计算教学中，需要教师培养学生时刻在头脑中形成一个隐形数位顺序表的习惯和能力。这在后续学习小数的意义和小数加减乘除法的笔算中也显得格外重要。
2.算理外显为算法。
算理与算法互为表里。算理为计算的“内核”，它解决的是计算合理性的问题；而算法为计算的“外壳”，它解决的是计算程序性的问题。两位数乘两位数，在小学阶段采用的算理是应用乘法分配律（虽然三年级尚未学习，但结合具体的生活情境进行理解）将其拆分成两道两位数乘一位数的乘法进行计算，再求和。对应竖式计算，就是两个“回合”的乘法计算（如图7、8），再求和。
如果用初中整式相乘的形式，24×12可表示为（20+4）×（10+2）=20×10+20×2+4×10+4×2。这样的算理，则更利于对应“格子算法”（图13）。
利用矩形图，也能更好地理解四个单项式的计算结果（如图14）。
可见，不同的算法源自不同的算理。算法与算理相匹配，才能更有利于学生对计算知识和技能的理解掌握。
3.迁移需要变通。
迁移是学习的一种重要方法，但在迁移过程中很多时候需要加以变通。迁移解决的是新旧知识“衔接”的问题，变通则是解决新旧知识“分化”的问题。教会学生在迁移中变通，就能让旧知识生成更多新知识。再把诸多新知识同化到“原认知”结构中，就能把知识“串点成线”“织线成网”，把零散的知识碎片整合为结构合理的知识群，在解决实际问题中灵活应用。
综上所述，竖式是个“超级符号”。它蕴含着丰富而深刻的内涵，值得我们深入挖掘，在小学数学计算教学中谱写更美的华章。
◇責任编辑：徐新亮◇
[email protected]