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[摘要]以“植树问题”的教学为例，依据课程标准的要求和教材内容的安排，提出教学应从知识的内在联系、数学的规律、思想方法和模型建构等方面入手培养学生的数学素养，为广大小学数学教师的课堂教学探明了方向。
[关键词]学科本质;数学素养;植树问题
[中图分类号]
G623.5
[文献标识码] A
[文章编号] 1007-9068（ 2020） 20-0074-02
“植树问题”是人教版教材五年级上册第106页至第108页的内容。在公开课中，很多教师喜欢上“植树问题”，但在教学中又很纠结需不需要把教材例1中的“100米”像教材上那样从“20米可以栽几棵”人手来研究，需不需要构建“两端都栽”“只栽一端”和“两端都不栽”三种模型，需不需要在植树问题中设置更加真实的问题情境……这些问题，引发了笔者的思考。
一、研读课标教材，明确目标要求
关于“植树问题”，从人教版教材的编排体系上看，它与“搭配”“推理”“集合”“简单的排列组合”“优化——烧水问题”“鸡兔同笼”“抽屉原理”“找次品”“重叠问题”“烙饼问题”等内容一样，皆属于人教版教材中的“数学广角”;从课程内容划分上看，它属于“综合与实践”领域。对这部分知识，课程标准指出“是一类以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动”，即学生综合运用所学的“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”等知识和思想方法去解决的生活中的实际问题。“植树问题”属第二学段，课程标准对第二学段的具体要求是：学生要有目的、有计划、有步骤、有合作地实践;要结合问题情境，发现问题、提出问题、分析问题和解决问题;要进一步理解和运用所学的知识和方法，获得和积累必要的数学活动经验;经历问题解决的一般过程，进一步感受和运用问题解决的基本策略，进一步体会数学的价值作用。
经过以上的分析和认识，“植树问题”的四个学习目标就很清楚了。一是利用学生熟悉的问题情境——植树，让学生感知数学知识在解决生活问题中的应用价值;二是通过小组合作、交流，并借助图形理解间隔数与植树棵数之间的关系;三是经历和体验复杂问题简单化的解题策略和方法;四是经历建模的过程，并自觉运用模型解决问题。
二、抓住学科本质，培养学生素养
张奠宙教授对数学本质做了如下界定：数学知识的内在联系，数学规律的形成过程，数学思想方法的提炼，数学理性精神的体验。除此之外，数学的求真、求简之美，也是其本质内涵之一。
1.打通数学知识的内在联系，培养学生的认知素养
哲学上说，一切事物都处在普遍联系之中，整个世界就是一个普遍联系的有机整体。数学知识也不是孤立的，彼此之间是有联系的。那么，植树问题和什么数学知识存在联系呢？
【例1】在全长100米的小路一边植树，每隔5米栽一棵（两端要栽）。一共要栽多少棵树？
小路可以看成一条线段，在100米长的线段上每隔5米栽一棵，就是把100米长的线段平均每5米分一段，能分成多少段？（如图1）列式“100÷5=20（段）”，这实质上就是平均分，植树问题和除法产生了内在联系。
把握数学知识的内在联系，有利于学生把数学知识内化为自己的认识结构，发展思维并促进科学世界观的形成。
2.探索数学知识的本质规律，培养学生的抽象素养
《义务教育数学课程标准（2011年版）》在小学阶段提出了探索规律的要求，对第二学段的数与代数领域明确提出“探索给定情境中隐含的规律或变化趋势”。在探索规律的过程中，学生通过问题情境，经历“观察一比较一猜想一验证一总结”，培养了从变化中发现不变、发现规律的能力，这是创新的过程，也是培养学生抽象能力的重要途径。
【例2】在全长20米的小路一边植树，每隔（）米栽一棵（两端要栽），一共要栽（ ）棵树？
学生自主探索，完成下表：
在整个探索活动中，学生经历了观察、比较、猜测、计算、推理、验证、归纳的过程。学生通过对多组材料的观察和体验，归纳总结出“总长÷间距=段数”“段数 1=棵数”的结论。
3.提炼数学知识的思想方法，发展学生的思维素养
《义务教育数学课程标准（2011年版）》强调“课程内容要反映社会的需要、数学的特点，要符合学生的认知规律。它不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴涵的数学思想方法”。植树问题蕴涵了“数形结合”“化繁为简”和“合情推理”等数学思想方法。
首先是“数形结合”思想。100米的小路，每隔5米栽一棵，画成线段图（如图2）。这样就“直观”地把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于找出“100米中有多少个5米”这个数量关系，有助于探索出解决问题的思路、方法。正如我国著名数学家华罗庚所说：“数缺形时少直观，形少数时难人微;数形结合百般好，隔离分家万事非！”
其次是“化繁为简”思想。100米的小路，每隔5米栽一裸，一共要栽多少棵？“100米的小路，每隔5米栽一棵”跟“20米的小路，每隔5米栽一棵”的实质是一样的，而从20米的小路人手研究栽树问题相对简单，更便于研究。研究出来的规律（数量关系）“总长÷间距=段数”“段数 1=棵数”可应用到100米、1000米、10000米……的植树问题中，应用到“路灯问题”“锯木头问题”“桥墩问题”等问题中。
第三是合情推理思想。推理一般包括合情推理和演绎推理。合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果。根据小学生的认识基础，小学数学教学主要是发展学生的合情推理能力。植树问题以“20米的小路”为例，每隔l米、2米、4米、5米、10米栽一棵树，通过归纳推理得出“段数 l=棵数”。
日本著名教育学家米山国藏说：“不管他们（指学生）从事什么业务工作，唯有深深地铭刻于头脑中的数学的精神、数学的思维方法、研究方法、推理方法和着眼点，在随时随地发生作用，使他们终身受益。”米山国藏的话明确了数学精神、思想方法才是数学教学所要追求的。
4.经历数学模型的建构过程，提升学生的建模素养
模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。
建模的过程应该是这样的：“观察情境——提出问题——抽象模型——应用模型——修正模型——可用结果”，如图3所示。
植树问题是一个较典型的数学模型，它的教学体现了数学建模的全过程：（1）观察情境：100米的小路，每隔5米植一棵;（2）提出问题：两端都栽，一共栽多少棵？（3）抽象模型：把植树问题抽象成一条线段平均分成几段的问题;（4）修正得出模型：“总长÷间距=段数”“段数 1=棵数”;（5）应用模型：“路灯问题”“桥墩问题”……
这样的教学有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。
三、问题与反思
植树问题对培养小学生数学建模素养有极其重要的作用，然而教师仍心存疑虑：小学数学的建模需不需“真实的情境”？需不需構建“只栽一端”和“两端都不栽”的数学模型？
对于第一个问题，笔者的观点是不一定要创设“真实的情境”，因为任何教学设计都要遵循学生的认知基础和教学的实际情况，教材本身也只是虚拟了一个“植树情境”。当然，如果植树问题不是放在课堂上来解决，又另当别论了。
再来谈第二个问题，笔者的观点是不需要构建“只栽一端”和“两端都不栽”的数学模型，因为“只栽一端”和“两端都不栽”只是“两端都栽”的特殊情况，而植树问题的教学重点是培养学生用模型的思想方法解决生活中的实际问题。任何一种数学模型都不可能解尽所有数学问题，数学的精神、理性的思维和解决问题的思想方法才是数学教学永恒的追求。
（责编 罗艳）
[关键词]学科本质;数学素养;植树问题
[中图分类号]
G623.5
[文献标识码] A
[文章编号] 1007-9068（ 2020） 20-0074-02
“植树问题”是人教版教材五年级上册第106页至第108页的内容。在公开课中，很多教师喜欢上“植树问题”，但在教学中又很纠结需不需要把教材例1中的“100米”像教材上那样从“20米可以栽几棵”人手来研究，需不需要构建“两端都栽”“只栽一端”和“两端都不栽”三种模型，需不需要在植树问题中设置更加真实的问题情境……这些问题，引发了笔者的思考。
一、研读课标教材，明确目标要求
关于“植树问题”，从人教版教材的编排体系上看，它与“搭配”“推理”“集合”“简单的排列组合”“优化——烧水问题”“鸡兔同笼”“抽屉原理”“找次品”“重叠问题”“烙饼问题”等内容一样，皆属于人教版教材中的“数学广角”;从课程内容划分上看，它属于“综合与实践”领域。对这部分知识，课程标准指出“是一类以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动”，即学生综合运用所学的“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”等知识和思想方法去解决的生活中的实际问题。“植树问题”属第二学段，课程标准对第二学段的具体要求是：学生要有目的、有计划、有步骤、有合作地实践;要结合问题情境，发现问题、提出问题、分析问题和解决问题;要进一步理解和运用所学的知识和方法，获得和积累必要的数学活动经验;经历问题解决的一般过程，进一步感受和运用问题解决的基本策略，进一步体会数学的价值作用。
经过以上的分析和认识，“植树问题”的四个学习目标就很清楚了。一是利用学生熟悉的问题情境——植树，让学生感知数学知识在解决生活问题中的应用价值;二是通过小组合作、交流，并借助图形理解间隔数与植树棵数之间的关系;三是经历和体验复杂问题简单化的解题策略和方法;四是经历建模的过程，并自觉运用模型解决问题。
二、抓住学科本质，培养学生素养
张奠宙教授对数学本质做了如下界定：数学知识的内在联系，数学规律的形成过程，数学思想方法的提炼，数学理性精神的体验。除此之外，数学的求真、求简之美，也是其本质内涵之一。
1.打通数学知识的内在联系，培养学生的认知素养
哲学上说，一切事物都处在普遍联系之中，整个世界就是一个普遍联系的有机整体。数学知识也不是孤立的，彼此之间是有联系的。那么，植树问题和什么数学知识存在联系呢？
【例1】在全长100米的小路一边植树，每隔5米栽一棵（两端要栽）。一共要栽多少棵树？
小路可以看成一条线段，在100米长的线段上每隔5米栽一棵，就是把100米长的线段平均每5米分一段，能分成多少段？（如图1）列式“100÷5=20（段）”，这实质上就是平均分，植树问题和除法产生了内在联系。
把握数学知识的内在联系，有利于学生把数学知识内化为自己的认识结构，发展思维并促进科学世界观的形成。
2.探索数学知识的本质规律，培养学生的抽象素养
《义务教育数学课程标准（2011年版）》在小学阶段提出了探索规律的要求，对第二学段的数与代数领域明确提出“探索给定情境中隐含的规律或变化趋势”。在探索规律的过程中，学生通过问题情境，经历“观察一比较一猜想一验证一总结”，培养了从变化中发现不变、发现规律的能力，这是创新的过程，也是培养学生抽象能力的重要途径。
【例2】在全长20米的小路一边植树，每隔（）米栽一棵（两端要栽），一共要栽（ ）棵树？
学生自主探索，完成下表：
在整个探索活动中，学生经历了观察、比较、猜测、计算、推理、验证、归纳的过程。学生通过对多组材料的观察和体验，归纳总结出“总长÷间距=段数”“段数 1=棵数”的结论。
3.提炼数学知识的思想方法，发展学生的思维素养
《义务教育数学课程标准（2011年版）》强调“课程内容要反映社会的需要、数学的特点，要符合学生的认知规律。它不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴涵的数学思想方法”。植树问题蕴涵了“数形结合”“化繁为简”和“合情推理”等数学思想方法。
首先是“数形结合”思想。100米的小路，每隔5米栽一棵，画成线段图（如图2）。这样就“直观”地把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于找出“100米中有多少个5米”这个数量关系，有助于探索出解决问题的思路、方法。正如我国著名数学家华罗庚所说：“数缺形时少直观，形少数时难人微;数形结合百般好，隔离分家万事非！”
其次是“化繁为简”思想。100米的小路，每隔5米栽一裸，一共要栽多少棵？“100米的小路，每隔5米栽一棵”跟“20米的小路，每隔5米栽一棵”的实质是一样的，而从20米的小路人手研究栽树问题相对简单，更便于研究。研究出来的规律（数量关系）“总长÷间距=段数”“段数 1=棵数”可应用到100米、1000米、10000米……的植树问题中，应用到“路灯问题”“锯木头问题”“桥墩问题”等问题中。
第三是合情推理思想。推理一般包括合情推理和演绎推理。合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果。根据小学生的认识基础，小学数学教学主要是发展学生的合情推理能力。植树问题以“20米的小路”为例，每隔l米、2米、4米、5米、10米栽一棵树，通过归纳推理得出“段数 l=棵数”。
日本著名教育学家米山国藏说：“不管他们（指学生）从事什么业务工作，唯有深深地铭刻于头脑中的数学的精神、数学的思维方法、研究方法、推理方法和着眼点，在随时随地发生作用，使他们终身受益。”米山国藏的话明确了数学精神、思想方法才是数学教学所要追求的。
4.经历数学模型的建构过程，提升学生的建模素养
模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。
建模的过程应该是这样的：“观察情境——提出问题——抽象模型——应用模型——修正模型——可用结果”，如图3所示。
植树问题是一个较典型的数学模型，它的教学体现了数学建模的全过程：（1）观察情境：100米的小路，每隔5米植一棵;（2）提出问题：两端都栽，一共栽多少棵？（3）抽象模型：把植树问题抽象成一条线段平均分成几段的问题;（4）修正得出模型：“总长÷间距=段数”“段数 1=棵数”;（5）应用模型：“路灯问题”“桥墩问题”……
这样的教学有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。
三、问题与反思
植树问题对培养小学生数学建模素养有极其重要的作用，然而教师仍心存疑虑：小学数学的建模需不需“真实的情境”？需不需構建“只栽一端”和“两端都不栽”的数学模型？
对于第一个问题，笔者的观点是不一定要创设“真实的情境”，因为任何教学设计都要遵循学生的认知基础和教学的实际情况，教材本身也只是虚拟了一个“植树情境”。当然，如果植树问题不是放在课堂上来解决，又另当别论了。
再来谈第二个问题，笔者的观点是不需要构建“只栽一端”和“两端都不栽”的数学模型，因为“只栽一端”和“两端都不栽”只是“两端都栽”的特殊情况，而植树问题的教学重点是培养学生用模型的思想方法解决生活中的实际问题。任何一种数学模型都不可能解尽所有数学问题，数学的精神、理性的思维和解决问题的思想方法才是数学教学永恒的追求。
（责编 罗艳）