论文部分内容阅读
用传统方法解立体几何题，需要有较强的空间想象能力、逻辑推理能力以及作图能力，同学们往往由于这些能力的不足而感觉解题困难. 空间向量的引入为处理某些立体几何问题提供了一种新的途径. 下面我们通过几道典型例题，讨论一下空间向量的夹角在立体几何中的应用.
一、利用夹角公式求异面直线所成的角
例1 已知[S]是边长为1的正三角形所在平面外一点，且[SA=SB=SC=1]，[M，N]分别是[AB，SC]的中点，求异面直线[SM与BN]所成角的余弦值.
分析 求异面直线[SM]与[BN]所成角的余弦值，可转化为求向量[MS]与[BN]的夹角的余弦值，因此需要先求[MS?BN]与[|MS||BN|]，然后再用向量夹角公式求解.
解 由题意，[△SAB，△SBC，△SAC]都是边长为1的正三角形. 设[SA=a]，[SB=b]，[SC=c]，
则[|a|=|b|=|c|=1]，[a?b=b?c=c?a=12].
∵[MS?BN][=-12]（[SA]+[SB]）·（[SN]-[SB]）
[=-12]（[a+b]）·（[12][c]-[b]）
[=-12]（[12][a?c]-[a?b]+[12][b?c]-[b2]）
[=-12]（[12]×[12]-[12]+[12]×[12]-1）
[=12]，
∴[cosMS，BN=MS?BN|MS||BN|]=[1232×32]=[23].
故异面直线[SM与BN]所成角的余弦值为[23].
点评 确定了空间的一个基底后，求数量积[MS]·[BN]时目标就更加明确了，只要将[MS]与[BN]都用基向量表示就可以了，这样就将求异面直线所成的角的问题转化为求向量夹角的问题. 此题也体现了空间向量基本定理的“归一”作用.
二、利用夹角公式求线面角
例2 在正方体[ABCD-A1B1C1D1]中，[E]为[A1B1]的中点，求直线[AE]与平面[ABC1D1]所成的角.
分析 直线与平面所成的角等于直线与其在该平面内的射影的夹角. 对于正方体，我们可以建立空间直角坐标系，先求出点[E]在平面[ABC1D1]内的射影的坐标，再利用夹角公式求解.
解 如图，设[E]在平面[ABC1D1]内的射影为[G]，则[EG]⊥平面[ABC1D1]，[AG]是[AE]在平面[ABC1D1]内的射影，故[∠EAG]即为[AE]与平面[ABC1D1]所成的角.
如图，以[D]为原点建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，易知[A]（1，0，0），[E]（1，[12]，1），[B]（1，1，0），[D1]（0，0，1），设[G（x，y，z）.]
则[AB]=（0，1，0）， [AD1]=（-1，0，1）， [AE]=（0，[12]，1），[EG]=[（x-1，y-12，z-1）]，[AG=（x-1，][y，z）.]
∴[AG?EG=（x-1）2+y（y-12）+z（z-1）=0，EG?AB=y-12=0，EG?AD1=1-x+z-1=0.]
∴[x=1]（舍去）或[x=12，y=12，z=12].
∴[G（12]，[12]，[12]）.
则[AG=（-12，12，12）]，
故[cos∠EAG=cosAE，AG=AE?AG|AE||AG|]
[=14+1214+1?32][=155].
所以直线[AE]与平面[ABC1D1]所成的角为[arccos155].
点评 利用向量法解题，用计算代替逻辑推理和空间想象，降低解题难度.
三、利用夹角公式求二面角大小
例3 如下图所示，空间四边形[PABC]中，[∠APC=90°]，[∠APB=60°]，[PB=BC=4，PC=3]，求二面角[B-PA-C]的大小.
分析 根据二面角的平面角的定义，分别在两个半平面内作公共棱的垂线，这两条垂线的夹角就是所求二面角的平面角.
解 过[B]作[BD]⊥[AP]于点[D].
[∵∠APC=90°]，
∴[PC⊥AP].
故[DB]与[PC]的夹角等于二面角[B-PA-C]的大小.
由[PC⊥AP，]知[DP⊥PC，] 故[DP?PC=0.]
∴[cosBD，PC=DB?PC|DB||PC|]=[（DP+PB）?PC|DB||PC|]
[=DP?PC+PB?PC|DB||PC|]
[=0+|PB||PC|?cos∠BPC|BP|?sin60??|PC|]
[=4×3×3244×3×32][=34].
故二面角[B-PA-C]的大小为[arccos34].
点评 将二面角转化为异面直线所成的角，再转化为求两向量夹角的方法，应引起同学们重视.
四、利用夹角公式解其它问题
例4 已知向量[a]，[b]，[c]两两夹角均为[60°]，且[|a|=|b|=|c|=1]，求[a+b+c]与[a]的夹角[θ].
分析 由条件知，[a]，[b]，[c]两两夹角为[60°]，且[|a|=|b|=|c|=1]，则[a]，[b]，[c]两两之间数量积可以求出. 向量加法的结果仍为向量，故[a+b+c]与[a]的夹角也可用夹角公式求得.
解 依题意知，[a]，[b]，[c]两两夹角为[60°]，且
[|a|=|b|=|c|=1]， ∴[a?b=b?c=c?a=12]，
[|a+b+c|=a2+b2+c2+2（a?b+b?c+a?c）=6.]
又[cosθ=cosa+b+c，a=（ a+b+c）?a |a+b+c|?|a|]
[=a2+a?b+a?c|a+b+c|?|a|]
[=1+12+126×1=63]，
且[θ∈[0，π]]，
∴[θ=arccos63].
点评 对夹角公式[cos=a?b|a||b|]，有的同学习惯于直接套用，题目略有变化，就不能灵活运用了. 其实，利用夹角公式求任何向量的夹角时，分子就是它们的数量积，分母就是它们模的乘积，万变不离其宗.
例5 已知[△ABC]的面积[S]满足[3≤S≤3]，且[AB?BC=-6]，求函数[y=sin2B+2sinB?cosB+][3cos2B]的最小值.
分析 可根据三角形面积公式和数量积的定义先求出[B]的范围，再把函数解析式写成标准结构[y=Asin（ωx+φ）+B]，结合定义域求最小值.
解 由题意知，
[AB?BC=ABBCcos（π-B）=-6]，
∴[ABBCcosB=6]，[ABBC=6cosB].
又[S=12ABBCsinB]，且[3≤S≤3]，
∴[3≤12?6cosB?sinB≤3]，
∴[33≤tanB≤1].
又[B∈（0，π）]，
[∴B∈[π6，π4]， 2B+π4∈[712π， 34π]].
[∵y=sin2B+2sinB?cosB+3cos2B]
[=1+sin2B+1+cos2B][=2+2sin（2B+π4）].
∴当[2B+π4=34π]，即[B=π4]时，[ymin=3].
即函数[y=sin2B+2sinB?cosB+3cos2B]的最小值为3.
点评 求向量夹角时，必须把两个向量平移到“同一起点”，向量[AB]与[BC]的夹角是[π-B]，不是[B]，这是同学们很容易忽视的地方.
1. 在[△ABC]中，[AB=3，BC=4，B=60°]，求[AB?BC].
2. 已知向量[a]，[b]，[c]两两夹角为[120°]，|[a]|=2，[|b|]=4，|[c]|=6，求[a-b-c]与[a+b]的夹角.
3. 在空间四边形[OABC]中，[OA=8，AB=6，][AC=4，BC=5，∠OAC=45°]，[∠OAB=60°]，求[OA与BC]的夹角的余弦值.
4. 在正方体[ABCD-A1B1C1D1]中，点[E1]，[F1]分别是[A1B1]与[C1D1]的一个四等分点.
（1）求[BD1]和[DF1]所成角的余弦值；
（2）求[BD1]和平面[ABCD]所成的角；
（3）求二面角[F1-AD-C]的大小.
1. -6 2. [arccos3926] 3. [3-225]
4. （1）[1517] （2）[arccos63] （3）[arccos1717]
一、利用夹角公式求异面直线所成的角
例1 已知[S]是边长为1的正三角形所在平面外一点，且[SA=SB=SC=1]，[M，N]分别是[AB，SC]的中点，求异面直线[SM与BN]所成角的余弦值.
分析 求异面直线[SM]与[BN]所成角的余弦值，可转化为求向量[MS]与[BN]的夹角的余弦值，因此需要先求[MS?BN]与[|MS||BN|]，然后再用向量夹角公式求解.
解 由题意，[△SAB，△SBC，△SAC]都是边长为1的正三角形. 设[SA=a]，[SB=b]，[SC=c]，
则[|a|=|b|=|c|=1]，[a?b=b?c=c?a=12].
∵[MS?BN][=-12]（[SA]+[SB]）·（[SN]-[SB]）
[=-12]（[a+b]）·（[12][c]-[b]）
[=-12]（[12][a?c]-[a?b]+[12][b?c]-[b2]）
[=-12]（[12]×[12]-[12]+[12]×[12]-1）
[=12]，
∴[cosMS，BN=MS?BN|MS||BN|]=[1232×32]=[23].
故异面直线[SM与BN]所成角的余弦值为[23].
点评 确定了空间的一个基底后，求数量积[MS]·[BN]时目标就更加明确了，只要将[MS]与[BN]都用基向量表示就可以了，这样就将求异面直线所成的角的问题转化为求向量夹角的问题. 此题也体现了空间向量基本定理的“归一”作用.
二、利用夹角公式求线面角
例2 在正方体[ABCD-A1B1C1D1]中，[E]为[A1B1]的中点，求直线[AE]与平面[ABC1D1]所成的角.
分析 直线与平面所成的角等于直线与其在该平面内的射影的夹角. 对于正方体，我们可以建立空间直角坐标系，先求出点[E]在平面[ABC1D1]内的射影的坐标，再利用夹角公式求解.
解 如图，设[E]在平面[ABC1D1]内的射影为[G]，则[EG]⊥平面[ABC1D1]，[AG]是[AE]在平面[ABC1D1]内的射影，故[∠EAG]即为[AE]与平面[ABC1D1]所成的角.
如图，以[D]为原点建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，易知[A]（1，0，0），[E]（1，[12]，1），[B]（1，1，0），[D1]（0，0，1），设[G（x，y，z）.]
则[AB]=（0，1，0）， [AD1]=（-1，0，1）， [AE]=（0，[12]，1），[EG]=[（x-1，y-12，z-1）]，[AG=（x-1，][y，z）.]
∴[AG?EG=（x-1）2+y（y-12）+z（z-1）=0，EG?AB=y-12=0，EG?AD1=1-x+z-1=0.]
∴[x=1]（舍去）或[x=12，y=12，z=12].
∴[G（12]，[12]，[12]）.
则[AG=（-12，12，12）]，
故[cos∠EAG=cosAE，AG=AE?AG|AE||AG|]
[=14+1214+1?32][=155].
所以直线[AE]与平面[ABC1D1]所成的角为[arccos155].
点评 利用向量法解题，用计算代替逻辑推理和空间想象，降低解题难度.
三、利用夹角公式求二面角大小
例3 如下图所示，空间四边形[PABC]中，[∠APC=90°]，[∠APB=60°]，[PB=BC=4，PC=3]，求二面角[B-PA-C]的大小.
分析 根据二面角的平面角的定义，分别在两个半平面内作公共棱的垂线，这两条垂线的夹角就是所求二面角的平面角.
解 过[B]作[BD]⊥[AP]于点[D].
[∵∠APC=90°]，
∴[PC⊥AP].
故[DB]与[PC]的夹角等于二面角[B-PA-C]的大小.
由[PC⊥AP，]知[DP⊥PC，] 故[DP?PC=0.]
∴[cosBD，PC=DB?PC|DB||PC|]=[（DP+PB）?PC|DB||PC|]
[=DP?PC+PB?PC|DB||PC|]
[=0+|PB||PC|?cos∠BPC|BP|?sin60??|PC|]
[=4×3×3244×3×32][=34].
故二面角[B-PA-C]的大小为[arccos34].
点评 将二面角转化为异面直线所成的角，再转化为求两向量夹角的方法，应引起同学们重视.
四、利用夹角公式解其它问题
例4 已知向量[a]，[b]，[c]两两夹角均为[60°]，且[|a|=|b|=|c|=1]，求[a+b+c]与[a]的夹角[θ].
分析 由条件知，[a]，[b]，[c]两两夹角为[60°]，且[|a|=|b|=|c|=1]，则[a]，[b]，[c]两两之间数量积可以求出. 向量加法的结果仍为向量，故[a+b+c]与[a]的夹角也可用夹角公式求得.
解 依题意知，[a]，[b]，[c]两两夹角为[60°]，且
[|a|=|b|=|c|=1]， ∴[a?b=b?c=c?a=12]，
[|a+b+c|=a2+b2+c2+2（a?b+b?c+a?c）=6.]
又[cosθ=cosa+b+c，a=（ a+b+c）?a |a+b+c|?|a|]
[=a2+a?b+a?c|a+b+c|?|a|]
[=1+12+126×1=63]，
且[θ∈[0，π]]，
∴[θ=arccos63].
点评 对夹角公式[cos
例5 已知[△ABC]的面积[S]满足[3≤S≤3]，且[AB?BC=-6]，求函数[y=sin2B+2sinB?cosB+][3cos2B]的最小值.
分析 可根据三角形面积公式和数量积的定义先求出[B]的范围，再把函数解析式写成标准结构[y=Asin（ωx+φ）+B]，结合定义域求最小值.
解 由题意知，
[AB?BC=ABBCcos（π-B）=-6]，
∴[ABBCcosB=6]，[ABBC=6cosB].
又[S=12ABBCsinB]，且[3≤S≤3]，
∴[3≤12?6cosB?sinB≤3]，
∴[33≤tanB≤1].
又[B∈（0，π）]，
[∴B∈[π6，π4]， 2B+π4∈[712π， 34π]].
[∵y=sin2B+2sinB?cosB+3cos2B]
[=1+sin2B+1+cos2B][=2+2sin（2B+π4）].
∴当[2B+π4=34π]，即[B=π4]时，[ymin=3].
即函数[y=sin2B+2sinB?cosB+3cos2B]的最小值为3.
点评 求向量夹角时，必须把两个向量平移到“同一起点”，向量[AB]与[BC]的夹角是[π-B]，不是[B]，这是同学们很容易忽视的地方.
1. 在[△ABC]中，[AB=3，BC=4，B=60°]，求[AB?BC].
2. 已知向量[a]，[b]，[c]两两夹角为[120°]，|[a]|=2，[|b|]=4，|[c]|=6，求[a-b-c]与[a+b]的夹角.
3. 在空间四边形[OABC]中，[OA=8，AB=6，][AC=4，BC=5，∠OAC=45°]，[∠OAB=60°]，求[OA与BC]的夹角的余弦值.
4. 在正方体[ABCD-A1B1C1D1]中，点[E1]，[F1]分别是[A1B1]与[C1D1]的一个四等分点.
（1）求[BD1]和[DF1]所成角的余弦值；
（2）求[BD1]和平面[ABCD]所成的角；
（3）求二面角[F1-AD-C]的大小.
1. -6 2. [arccos3926] 3. [3-225]
4. （1）[1517] （2）[arccos63] （3）[arccos1717]