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现代教育强调“知识结构”与“学习过程”，目的在于发展学生的思维能力，而把知识作为思维过程的材料和媒介。只有把掌握知识、技能作为中介来发展学生的思维品质才符合素质教育的基本要求。数学知识可能在将来会遗忘，但思维品质的培养会影响学生的一生，思维品质的培养是数学教育的价值得以真正实现的理想途径。因此，开发高中学生的思维潜能，提高思维品质，具有十分重大的意义。特别是思维灵活性的培养显得尤为重要。学生思维的灵活性主要表现于：（1）思维起点的灵活：能从不同角度、不同层次、不同方法根据新的条件迅速确定思考问题的方向。（2）思维过程的灵活：能灵活运用各种法则、公理、定理、规律、公式等从一种解题途径转向另一种途径。（3）思维迁移的灵活：能举一反三，触类旁通。
如何培养学生的思维灵活性呢？我在教学实践中作了一些探索。
一、用一题多解来培养学生的思维灵活性
所谓一题多解是指多角度地考虑同一个问题，找出各方法之间的关系和优劣。在教学过程中，可用多种方法，从各个不同角度和不同途径去寻求问题的答案，用一题多解来培养学生思维过程的灵活性。
例1：已知x、y≥0且x+y=1，求x2+y2的取值范围。
解答此题的方法比较多，下面给出几种常见的思想方法，以作示例：
解法一：（函数思想）由x+y=1得y=1-x，则
x2+y2= x2+（1-x）2=2x2-2x+1=2（x-12）2+12
由于x∈[0，1]，根据二次函数的图像与性质知
当x=12时，x2+y2取最小值12；当x=0或1时，x2+y2取最大值1。
解法二：（三角换元思想）由于x+y=1，x、y≥0，则可设x=cos2θ，y=sin2θ其中θ∈[0，2π]
则x2+y2= cos4θ+sin4θ=（cos2θ+sin2θ）2-2 cos2θsin2θ
=1-12（2sinθcosθ）2=1-12sin22θ
=1-12×1-cos4θ2=34+14 cos4θ
于是，当cos4θ=-1时，x2+y2取最小值12；
当cos4θ=1时，x2+y2取最小值1。
解法三：（对称换元思想）由于x+y=1，x、y≥0，则可设x=12+t，y=12-t，其中t∈[-12，12]
于是，x2+y2= （12+t）2+（12-t）2=12+2t2 t2∈[0，14]
所以，当t2=0时，x2+y2取最小值12；当t2=14时，x2+y2取最大值1。
解法四：（运用基本不等式）由于x、y≥0且x+y=1
则xy≤（x+y）24=14，从而0≤xy≤14
于是，x2+y2=（x+y）2-2xy=1-2xy
所以，当xy=0时，x2+y2取最大值1；当xy=14时，x2+y2取最小值12。
解法五：（解析几何思想）设d=x2+y2，则d为动点C（x，y）到原点（0，0）的距离，于是只需求线段上的点到原点的最大和最小距离就可。
当点C与A或B重合时，dmax=1，则（x2+y2）max=1
当OC⊥AB时dmin=22，则（x2+y2）min=12
解法六：（数形结合思想）设x2+y2=r2（r>0），此二元方程表示以坐标原点为圆心、半径为r的动圆，记为⊙F。
于是，问题转化为⊙F与线段
有公共点，求r的变化范围。
当⊙F经过线段AB端点时rmax=1；当⊙F与线段AB相切时rmin=22
则12≤x2+y2≤1
二、用一题多变来培养学生的思维灵活性
所谓一题多变是指通过题目的引申、变化、发散，提供问题的背景，揭示问题间的逻辑关系。这样就可以让学生自己尽可能多地对问题进行探索研究，以培养提高学生的思维灵活性。
例2：过抛物线y2=2px 焦点的一条直线和这条抛物线相交，设两个交点纵坐标为y1，y2，求证：y1y2=-p2。（设线段AB为过抛物线焦点的弦）
变式一：求证：过抛物线焦点弦两端点的切线与抛物线的准线，三点共线。
变式二：求证：抛物线焦点弦中点与其端点切线的交点的连线，平行于抛物线的对称轴。
变式三：求证：抛物线焦点弦中点与其端点切线的交点连结线段，等于焦点弦长的一半，并且被这条抛物线平分。
变式四：求证：抛物线焦点弦两端点的切线互相垂直。
变式五：求证：抛物线的准线是其焦点弦两端点的切线的交点的轨迹。
变式六：求证：过抛物线焦点一端，作准线的垂线，那么垂足、原点以及弦的另一端点，三点共线。
当然一题多变也得循序渐进，步子要适宜，变得自然流畅，使学生的思维得到充分发散，而又不感到突然。
三、用开放型题目来培养学生的思维灵活性
所谓开放型题是指条件不充分、结论不确定，或解题策略多种多样的新题型。因此，解决开放型题是培养提高学生思维灵活性的最佳活动形式之一。
例3：已知α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同的直线，给出四个论断：① m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：。这就是一个非常开放的问题，学生可以根据自己原有的认知水平，得到不同的方案。①m⊥α，n⊥β，α⊥β. ②m⊥n，m⊥α，n⊥β这样的问题设计有助于培养学生的创新意识，发展创新能力。
开放型题目的引入，可以引导学生从不同角度来思考，不仅仅思考条件本身，而且要思考条件之间的关系。要根据条件运用各种综合变换手段来处理信息、探索结论，有利于思维起点灵活性的培养，也有利于孜孜不倦的钻研精神和创造力的培养。
总之，教师的教法常常影响到学生的学法。灵活多变的教学方法对学生思维灵活性的培养起着潜移默化的作用，而富有新意的学法指导能及时为学生注入灵活思维的活力。
如何培养学生的思维灵活性呢？我在教学实践中作了一些探索。
一、用一题多解来培养学生的思维灵活性
所谓一题多解是指多角度地考虑同一个问题，找出各方法之间的关系和优劣。在教学过程中，可用多种方法，从各个不同角度和不同途径去寻求问题的答案，用一题多解来培养学生思维过程的灵活性。
例1：已知x、y≥0且x+y=1，求x2+y2的取值范围。
解答此题的方法比较多，下面给出几种常见的思想方法，以作示例：
解法一：（函数思想）由x+y=1得y=1-x，则
x2+y2= x2+（1-x）2=2x2-2x+1=2（x-12）2+12
由于x∈[0，1]，根据二次函数的图像与性质知
当x=12时，x2+y2取最小值12；当x=0或1时，x2+y2取最大值1。
解法二：（三角换元思想）由于x+y=1，x、y≥0，则可设x=cos2θ，y=sin2θ其中θ∈[0，2π]
则x2+y2= cos4θ+sin4θ=（cos2θ+sin2θ）2-2 cos2θsin2θ
=1-12（2sinθcosθ）2=1-12sin22θ
=1-12×1-cos4θ2=34+14 cos4θ
于是，当cos4θ=-1时，x2+y2取最小值12；
当cos4θ=1时，x2+y2取最小值1。
解法三：（对称换元思想）由于x+y=1，x、y≥0，则可设x=12+t，y=12-t，其中t∈[-12，12]
于是，x2+y2= （12+t）2+（12-t）2=12+2t2 t2∈[0，14]
所以，当t2=0时，x2+y2取最小值12；当t2=14时，x2+y2取最大值1。
解法四：（运用基本不等式）由于x、y≥0且x+y=1
则xy≤（x+y）24=14，从而0≤xy≤14
于是，x2+y2=（x+y）2-2xy=1-2xy
所以，当xy=0时，x2+y2取最大值1；当xy=14时，x2+y2取最小值12。
解法五：（解析几何思想）设d=x2+y2，则d为动点C（x，y）到原点（0，0）的距离，于是只需求线段上的点到原点的最大和最小距离就可。
当点C与A或B重合时，dmax=1，则（x2+y2）max=1
当OC⊥AB时dmin=22，则（x2+y2）min=12
解法六：（数形结合思想）设x2+y2=r2（r>0），此二元方程表示以坐标原点为圆心、半径为r的动圆，记为⊙F。
于是，问题转化为⊙F与线段
有公共点，求r的变化范围。
当⊙F经过线段AB端点时rmax=1；当⊙F与线段AB相切时rmin=22
则12≤x2+y2≤1
二、用一题多变来培养学生的思维灵活性
所谓一题多变是指通过题目的引申、变化、发散，提供问题的背景，揭示问题间的逻辑关系。这样就可以让学生自己尽可能多地对问题进行探索研究，以培养提高学生的思维灵活性。
例2：过抛物线y2=2px 焦点的一条直线和这条抛物线相交，设两个交点纵坐标为y1，y2，求证：y1y2=-p2。（设线段AB为过抛物线焦点的弦）
变式一：求证：过抛物线焦点弦两端点的切线与抛物线的准线，三点共线。
变式二：求证：抛物线焦点弦中点与其端点切线的交点的连线，平行于抛物线的对称轴。
变式三：求证：抛物线焦点弦中点与其端点切线的交点连结线段，等于焦点弦长的一半，并且被这条抛物线平分。
变式四：求证：抛物线焦点弦两端点的切线互相垂直。
变式五：求证：抛物线的准线是其焦点弦两端点的切线的交点的轨迹。
变式六：求证：过抛物线焦点一端，作准线的垂线，那么垂足、原点以及弦的另一端点，三点共线。
当然一题多变也得循序渐进，步子要适宜，变得自然流畅，使学生的思维得到充分发散，而又不感到突然。
三、用开放型题目来培养学生的思维灵活性
所谓开放型题是指条件不充分、结论不确定，或解题策略多种多样的新题型。因此，解决开放型题是培养提高学生思维灵活性的最佳活动形式之一。
例3：已知α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同的直线，给出四个论断：① m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：。这就是一个非常开放的问题，学生可以根据自己原有的认知水平，得到不同的方案。①m⊥α，n⊥β，α⊥β. ②m⊥n，m⊥α，n⊥β这样的问题设计有助于培养学生的创新意识，发展创新能力。
开放型题目的引入，可以引导学生从不同角度来思考，不仅仅思考条件本身，而且要思考条件之间的关系。要根据条件运用各种综合变换手段来处理信息、探索结论，有利于思维起点灵活性的培养，也有利于孜孜不倦的钻研精神和创造力的培养。
总之，教师的教法常常影响到学生的学法。灵活多变的教学方法对学生思维灵活性的培养起着潜移默化的作用，而富有新意的学法指导能及时为学生注入灵活思维的活力。