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一、填空题（本题共14题，每题5分，计70分）
1.已知R为实数集，M={x|x2-2x<0}，N={x|x≥1}，则M∩（CRN）= .
2.命题：“x∈（0，+∞），x2+x+1>0”的否定是 .
3.已知z=（a-i）（1+i）（a∈R，i为虚数单位），若复数z在复平面内对应的点在实轴上，则a= .
4.设不等式组0≤x≤2，
0≤y≤2，表示平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是 .
5.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的s值等于 .
6.椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的右焦点为F1，右准线为l1，若过点F1且垂直于x轴的弦的弦长等于点F1到l1的距离，则椭圆的离心率是 .
7.已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE·DC的最大值为 .
8.设a，b∈R，且a≠2，若定义在区间（-b，b）内的函数f（x）=lg1+ax1+2x是奇函数，则a+b的取值范围是 .
9.巳知函数f（x）=cosx（x∈（0，2π））有两个不同的零点x1，x2，且方程f（x）=m有两个不同的实根x3，x4.若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m的值为 .
10.关于x的不等式x2+25+|x3-5x2|≥ax在[1，12]上恒成立，则实数a的取值范围是 .
11.已知正数x，y满足（1+x）（1+2y）=2，则4xy+1xy的最小值是 .
12.已知函数f（x）=x4+ax3+2x2+b，其中a，b∈R.若函数f（x）仅在x=0处有极值，则a的取值范围是 .
13.已知a，b，c（a<b<c）成等差数列，将其中的两个数交换，得到的三个数依次成等比数列，则a2+c22b2的值为 .
14.如图，用一块形状为半椭圆x2+y24=1（y≥0）的铁皮截取一个以短轴BC为底的等腰梯形ABCD，记所得等腰梯形ABCD的面积为S，则1S的最小值是 .
二、解答题（本大题共6小题，共计90分）
15.（本小题满分14分）
在△ABC中，A，B，C为三个内角a，b，c为三条边，π3<C<π2，且ba-b=sin2CsinA-sin2C.
（1）判断△ABC的形状;
（2）若|BA+BC|=2，求BA·BC的取值范围.
16.（本小题满分14分）
如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，D、E分别是棱BC、AB的中点，点F在棱CC1上，已知AB=AC，AA1=3，BC=CF=2.
（1）求证：C1E∥平面ADF;
（2）设点M在棱BB1上，当BM为何值时，平面CAM⊥平面ADF？
17.（本小题满分15分）
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的离心率为12，且经过点P（1，32）.
（1）求椭圆C的方程;
（2）设F是椭圆C的右焦点，M为椭圆上一点，以M为圆心，MF为半径作圆M.问点M满足什么条件时，圆M与y轴有两个交点？
（3）设圆M与y轴交于D、E两点，求点D、E距离的最大值.
18.（本小题满分15分）
如图，AB是沿太湖南北方向道路，P为太湖中观光岛屿，Q为停车场，PQ=5.2km.某旅游团游览完岛屿后，乘游船回停车场Q，已知游船以13km/h的速度沿方位角θ的方向行驶，sinθ=513.游船离开观光岛屿3分钟后，因事耽搁没有来得及登上游船的游客甲为了及时赶到停车地点Q与旅游团会合，立即决定租用小船先到达湖滨大道M处，然后乘出租汽车到点Q（设游客甲到达湖滨大道后能立即乘到出租车）.假设游客甲乘小船行驶的方位角是α，出租汽车的速度为66km/h.
（1）设sinα=45，问小船的速度为多少km/h时，游客甲才能和游船同时到达点Q;
（2）设小船速度为10km/h，请你替该游客设计小船行驶的方位角α，当角α余弦值的大小是多少时，游客甲能按计划以最短时间到达Q.
19.（本小题满分16分）
已知各项均为正数的等差数列{an}的公差d不等于0，设a1，a3，ak是公比为q的等比数列{bn}的前三项，
（1）若k=7，a1=2
（i）求数列{anbn}的前n项和Tn;
（ii）将数列{an}和{bn}的相同的项去掉，剩下的项依次构成新的数列{cn}，设其前n项和为Sn，求S2n-n-1-22n-1+3·2n-1（n≥2，n∈N*）的值;
（2）若存在m>k，m∈N*使得a1，a3，ak，am成等比数列，求证k为奇数.
20.（本小题满分16分）
已知函数f（x）=-x3+x2+b，g（x）=alnx.
（1）若f（x）在x∈[-12，1）上的最大值为38，求实数b的值;
（2）若对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥-x2+（a+2）x恒成立，求实数a的取值范围;
（3）在（1）的条件下，设F（x）=f（x），x<1 g（x），x≥1，对任意给定的正实数a，曲线y=F（x）上是否存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形（O为坐标原点），且此三角形斜边中点在y轴上？请说明理由.
附加题
21.[选做题] 在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分
A.选修41：（几何证明选讲）
如图，从圆O外一点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，AB与OP交于点M，设CD为过点M且不过圆心O的一条弦，
求证：O、C、P、D四点共圆.
B.选修42：（矩阵与变换）
已知二阶矩阵M有特征值λ=3及对应的一个特征向量e1=1
1，并且矩阵M对应的变换将点（-1，2）变换成（9，15），求矩阵M.
C.选修44：（坐标系与参数方程）
在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=22sin（θ-π4），以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为
x=1+45t
y=-1-35t（t为参数），求直线l被曲线C所截得的弦长.
D.选修45（不等式选讲）
已知实数x，y，z满足x+y+z=2，求2x2+3y2+z2的最小值;
[必做题] 第22题、第23题，每小题10分，共计20分
22.袋中装着标有数字1，2，3，4的卡片各1张，甲从袋中任取2张卡片（每张卡片被取出的可能性都相等），并记下卡面数字和为X，然后把卡片放回，叫做一次操作.
（1）求在一次操作中随机变量X的概率分布和数学期望E（X）;
（2）甲进行四次操作，求至少有两次X不大于E（X）的概率.
23.（本小题满分10分）
对一个边长互不相等的凸n（n≥3）边形的边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边有相同的颜色.所有不同的染色方法记为P（n）.
（1）求P（3），P（4），P（5）;
（2）求P（n）.
参考答案
一、填空题
1. {x|0<x<1}
2. x∈（0，+∞），x2+x+1≤0
3. 1
4. 4-π4
5. -3
6. 12
7. 1
8. （-2，-32]
9. -32
10. （-∞，10]
11. 12
12. [-83，83]
13. 10
14. 239
二、解答题
15.（1）解：由ba-b=sin2CsinA-sin2C及正弦定理有：sinB=sin2C，
∴B=2C或B+2C=π，若B=2C，且π3<C<π2，∴23π<B<π，B+C>π（舍）;∴B+2C=π，则A=C，∴△ABC为等腰三角形.
（2）∵|BA+BC|=2，∴a2+c2+2ac·cosB=4，∴cosB=2-a2a2（∵a=c），而cosB=-cos2C，∴12<cosB<1，∴1<a2<43，∴BA·BC=accosB=a2cosB=2-a2∈（23，1）.
16.解：（1）连接CE交AD于O，连接OF.
因为CE，AD为△ABC中线，
所以O为△ABC的重心，CFCC1=COCE=23.
从而OF∥C1E.
OF面ADF，C1E平面ADF，
所以C1E∥平面ADF.
（2）当BM=1时，平面CAM⊥平面ADF.
在直三棱柱ABCA1B1C1中，
由于B1B⊥平面ABC，BB1平面B1BCC1，所以平面B1BCC1⊥平面ABC.
由于AB=AC，D是BC中点，所以AD⊥BC.又平面B1BCC1∩平面ABC=BC，
所以AD⊥平面B1BCC1.
而CM平面B1BCC1，于是AD⊥CM.
因为BM=CD=1，BC=CF=2，所以Rt△CBM≌Rt△FCD，所以CM⊥DF.
DF与AD相交，所以CM⊥平面ADF.
CM平面CAM，所以平面CAM⊥平面ADF.
当BM=1时，平面CAM⊥平面ADF.
17.解：（1）∵椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的离心率为12，且经过点P（1，32），
∴a2-b2a=12
1a2+94b2=1，即3a2-4b2=0
1a2+94b2=1，
解得a2=4
b2=3，
∴椭圆C的方程为x24+y23=1.
（2）易求得F（1，0）.设M（x0，y0），则x204+y203=1，
圆M的方程为（x-x0）2+（y-y0）2=（1-x0）2+y02，
令x=0，化简得y2-2y0y+2x0-1=0，Δ=4y20-4（2x0-1）>0……①.
将y20=3（1-x204）代入①，得3x20+8x0-16<0，解出-4 又∵-2≤x0≤2，∴-2≤x0<43.
（3）设D（0，y1），E（0，y2），其中y1 DE=y2-y1=4y20-4（2x0-1）
=-3x20-8x0+16=-3（x0+43）2+643，
当x0=-43时，DE的最大值为833.
18.解：（1）如图，作PN⊥AB，N为垂足.
sinθ=513，sinα=45，
在Rt△PNQ中，
PN=PQsinθ=5.2×513=2（km），
QN=PQcosθ=5.2×1213=4.8（km）.
在Rt△PNM中，
MN=PNtanα=243=1.5（km）.
设游船从P到Q所用时间为t1h，游客甲从P经M到Q所用时间为t2h，小船的速度为v1km/h，则
t1=PQ13=26513=25（h），
t2=PMv1+MQ66=2.5v1+3.366=52v1+120（h）.
由已知得：t2+120=t1，52v1+120+120=25，∴v1=253.
∴小船的速度为253km/h时，游客甲才能和游船同时到达Q.
（2）在Rt△PMN中，
PM=PNsinα=2sinα（km），
MN=PNtanα=2cosαsinα（km）.
∴QM=QN-MN=4.8-2cosαsinα（km）.
∴t=PM10+QM66=15sinα+455-cosα33sinα=1165×33-5cosαsinα+455.
∵t′=1165×5sin2α-（33-5cosα）cosαsin2α
=5-33cosα165sin2α，
∴令t′=0得：cosα=533.
当cosα<533时，t′>0;当cosα>533时，t′<0.
∵cosα在α∈（0，π2）上是减函数，
∴当方位角α满足cosα=533时，t最小，即游客甲能按计划以最短时间到达Q.
19.（1）因为k=7，所以a1，a3，a7成等比数列，又{an}是公差d≠0的等差数列，
所以（a1+2d）2=a1（a1+6d），整理得a1=2d，又a1=2，所以d=1，
b1=a1=2，q=b2b1=a3a1=a1+2da1=2，
所以an=a1+（n-1）d=n+1，bn=b1×qn-1=2n，
①用错位相减法或其它方法可求得{anbn}的前n项和为Tn=n×2n+1;
②因为新的数列{cn}的前2n-n-1项和为数列{an}的前2n-1项的和减去数列{bn}前n项的和，
所以S2n-n-1=（2n-1）（2+2n）2-2（2n-1）2-1=（2n-1）（2n-1-1）.
所以S2n-n-1-22n-1+3·2n-1=1（n≥2，n∈N*）.
（2）由（a1+2d）2=a1（a1+（k-1））d，整理得4d2=a1d（k-5），
因为d≠0，所以d=a1（k-5）4，所以q=a3a1=a1+2da1=k-32.
因为存在m>k，m∈N*使得a1，a3，ak，am成等比数列，
所以am=a1q3=a1（k-32）3，
又在正项等差数列{an}中，am=a1+（m-1）d=a1+a1（m-1）（k-5）4，
所以a1+a1（m-1）（k-5）4=a1（k-32）3，又因为a1>0，
所以有2[4+（m-1）（k-5）]=（k-3）3，
因为2[4+（m-1）（k-5）]是偶数，所以（k-3）3也是偶数，
即k-3为偶数，所以k为奇数.
20.解：（1）由f（x）=-x3+x2+b，得f′（x）=-3x2+2x=-x（3x-2），
令f′（x）=0，得x=0或23.
列表如下：
x-12（-12，0）0（0，23）23（23，1）
f′（x）-0+0-
f（x）f（-12）递减极小值递增极大值递减
由f（-12）=38+b，f（23）=427+b，∴f（-12）>f（23），即最大值为f（-12）=38+b=38，∴b=0.
（2）由g（x）≥-x2+（a+2）x，得（x-lnx）a≤x2-2x.
∵x∈[1，e]，∴lnx≤1≤x，且等号不能同时取，∴lnx<x，即x-lnx>0，
∴a≤x2-2xx-lnx恒成立，即a≤（x2-2xx-lnx）min.
令t（x）=x2-2xx-lnx，x∈[1，e]），求导得，
t′（x）=（x-1）（x+2-2lnx）（x-lnx）2，
当x∈[1，e]时，x-1≥0，lnx≤1，x+2-2lnx>0，从而t′（x）≥0，
∴t（x）在[1，e]上为增函数，
∴tmin（x）=t（1）=-1，∴a≤-1.
（3）由条件，F（x）=-x3+x2，x<1
alnx，x≥1，
假设曲线y=F（x）上存在两点P，Q满足题意，则P，Q只能在y轴两侧，
不妨设P（t，F（t））（t>0），则Q（-t，t3+t2），且t≠1.
∵△POQ是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，
∴OP·OQ=0，∴-t2+F（t）（t3+t2）=0…（*），
是否存在P，Q等价于方程（*）在t>0且t≠1时是否有解. ①若0<t<1时，方程（*）为-t2+（-t3+t2）（t3+t2）=0，化简得t4-t2+1=0，
此方程无解;
②若t>1时，（*）方程为-t2+alnt·（t3+t2）=0，即1a=（t+1）lnt，
设h（t）=（t+1）lnt（t>1），则h′（t）=lnt+1t+1，
显然，当t>1时，h′（t）>0，即h（t）在（1，+∞）上为增函数，
∴h（t）的值域为（h（1），+∞），即为（0，+∞），
∴当a>0时，方程（*）总有解.
∴对任意给定的正实数a，曲线y=F（x）上总存在两点P，Q，使得△POQ是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上.
附加题
21.A.选修41：（几何证明选讲）
证明：因为PA，PB为圆O的两条切线，所以OP垂直平分弦AB，
在Rt△OAP中，OM·MP=AM2，
在圆O中，AM·BM=CM·DM，
所以，OM·MP=CM·DM，
又弦CD不过圆心O，所以O，C，P，D四点共圆.
B.选修42：（矩阵与变换）
设M=ab
cd，则ab
cd1
1=31
1=3
3，故a+b=3，
c+d=3.
ab
cd-1
2=9
15，故-a+2b=9，
-c+2d=15.
联立以上两方程组解得a=-1，b=4，c=-3，d=6，故M=-14
-36.
C.选修44：（坐标系与参数方程）
解：将方程ρ=22sin（θ-π4），x=1+45t
y=-1-35t分别化为普通方程：
x2+y2+2x-2y=0，3x+4y+1=0，
由曲线C的圆心为C（-1，1），半径为2，所以圆心C到直线l的距离为25，
故所求弦长为22-（25）2=2465.
D.选修45（不等式选讲）
解：由柯西不等式可知：（x+y+z）2≤[（2x）2+（3y）2+z2]·[（12）2+（13）2+12]
故2x2+3y2+z2≥2411，当且仅当2x12=3y13=z1，即：x=611，y=411，z=1211时，
2x2+3y2+z2取得最小值为2411.
22.解：（1）由题设知，X可能的取值为：3，4，5，6，7.
随机变量X的概率分布为
X34567
P1616131616
因此X的数学期望E（X）=（3+4+6+7）×16+5×13=5.
（2）记“一次操作所计分数X不大于E（X）”的事件记为C，则
P（C）=P（“X=3”或“X=4”或“X=5”）=16+16+13=23.
设四次操作中事件C发生次数为Y，则Y～B（4，23），
则所求事件的概率为P（Y≥2）=1-C14×23×（13）3-C04×（13）4=89.
23.解：（1）P（3）=6，P（4）=18，P（5）=30.
（2）设不同的染色法有pn种.易知.
当n≥4时，首先，对于边a1，有3种不同的染法，由于边a2的颜色与边a1的颜色不同，所以，对边a2有2种不同的染法，类似地，对边a3，…，边an-1均有2种染法.对于边an，用与边an-1不同的2种颜色染色，但是，这样也包括了它与边a1颜色相同的情况，而边a1与边an颜色相同的不同染色方法数就是凸n-1边形的不同染色方法数的种数pn-1，于是可得
pn=3×2n-1-pn-1，pn-2n=-（pn-1-2n-1）.
于是pn-2n=（-1）n-3（p3-23）=（-1）n-2·2，
pn=2n+（-1）n·2，n≥3.
综上所述，不同的染色方法数为pn=2n+（-1）n·2.
1.已知R为实数集，M={x|x2-2x<0}，N={x|x≥1}，则M∩（CRN）= .
2.命题：“x∈（0，+∞），x2+x+1>0”的否定是 .
3.已知z=（a-i）（1+i）（a∈R，i为虚数单位），若复数z在复平面内对应的点在实轴上，则a= .
4.设不等式组0≤x≤2，
0≤y≤2，表示平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是 .
5.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的s值等于 .
6.椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的右焦点为F1，右准线为l1，若过点F1且垂直于x轴的弦的弦长等于点F1到l1的距离，则椭圆的离心率是 .
7.已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE·DC的最大值为 .
8.设a，b∈R，且a≠2，若定义在区间（-b，b）内的函数f（x）=lg1+ax1+2x是奇函数，则a+b的取值范围是 .
9.巳知函数f（x）=cosx（x∈（0，2π））有两个不同的零点x1，x2，且方程f（x）=m有两个不同的实根x3，x4.若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m的值为 .
10.关于x的不等式x2+25+|x3-5x2|≥ax在[1，12]上恒成立，则实数a的取值范围是 .
11.已知正数x，y满足（1+x）（1+2y）=2，则4xy+1xy的最小值是 .
12.已知函数f（x）=x4+ax3+2x2+b，其中a，b∈R.若函数f（x）仅在x=0处有极值，则a的取值范围是 .
13.已知a，b，c（a<b<c）成等差数列，将其中的两个数交换，得到的三个数依次成等比数列，则a2+c22b2的值为 .
14.如图，用一块形状为半椭圆x2+y24=1（y≥0）的铁皮截取一个以短轴BC为底的等腰梯形ABCD，记所得等腰梯形ABCD的面积为S，则1S的最小值是 .
二、解答题（本大题共6小题，共计90分）
15.（本小题满分14分）
在△ABC中，A，B，C为三个内角a，b，c为三条边，π3<C<π2，且ba-b=sin2CsinA-sin2C.
（1）判断△ABC的形状;
（2）若|BA+BC|=2，求BA·BC的取值范围.
16.（本小题满分14分）
如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，D、E分别是棱BC、AB的中点，点F在棱CC1上，已知AB=AC，AA1=3，BC=CF=2.
（1）求证：C1E∥平面ADF;
（2）设点M在棱BB1上，当BM为何值时，平面CAM⊥平面ADF？
17.（本小题满分15分）
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的离心率为12，且经过点P（1，32）.
（1）求椭圆C的方程;
（2）设F是椭圆C的右焦点，M为椭圆上一点，以M为圆心，MF为半径作圆M.问点M满足什么条件时，圆M与y轴有两个交点？
（3）设圆M与y轴交于D、E两点，求点D、E距离的最大值.
18.（本小题满分15分）
如图，AB是沿太湖南北方向道路，P为太湖中观光岛屿，Q为停车场，PQ=5.2km.某旅游团游览完岛屿后，乘游船回停车场Q，已知游船以13km/h的速度沿方位角θ的方向行驶，sinθ=513.游船离开观光岛屿3分钟后，因事耽搁没有来得及登上游船的游客甲为了及时赶到停车地点Q与旅游团会合，立即决定租用小船先到达湖滨大道M处，然后乘出租汽车到点Q（设游客甲到达湖滨大道后能立即乘到出租车）.假设游客甲乘小船行驶的方位角是α，出租汽车的速度为66km/h.
（1）设sinα=45，问小船的速度为多少km/h时，游客甲才能和游船同时到达点Q;
（2）设小船速度为10km/h，请你替该游客设计小船行驶的方位角α，当角α余弦值的大小是多少时，游客甲能按计划以最短时间到达Q.
19.（本小题满分16分）
已知各项均为正数的等差数列{an}的公差d不等于0，设a1，a3，ak是公比为q的等比数列{bn}的前三项，
（1）若k=7，a1=2
（i）求数列{anbn}的前n项和Tn;
（ii）将数列{an}和{bn}的相同的项去掉，剩下的项依次构成新的数列{cn}，设其前n项和为Sn，求S2n-n-1-22n-1+3·2n-1（n≥2，n∈N*）的值;
（2）若存在m>k，m∈N*使得a1，a3，ak，am成等比数列，求证k为奇数.
20.（本小题满分16分）
已知函数f（x）=-x3+x2+b，g（x）=alnx.
（1）若f（x）在x∈[-12，1）上的最大值为38，求实数b的值;
（2）若对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥-x2+（a+2）x恒成立，求实数a的取值范围;
（3）在（1）的条件下，设F（x）=f（x），x<1 g（x），x≥1，对任意给定的正实数a，曲线y=F（x）上是否存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形（O为坐标原点），且此三角形斜边中点在y轴上？请说明理由.
附加题
21.[选做题] 在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分
A.选修41：（几何证明选讲）
如图，从圆O外一点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，AB与OP交于点M，设CD为过点M且不过圆心O的一条弦，
求证：O、C、P、D四点共圆.
B.选修42：（矩阵与变换）
已知二阶矩阵M有特征值λ=3及对应的一个特征向量e1=1
1，并且矩阵M对应的变换将点（-1，2）变换成（9，15），求矩阵M.
C.选修44：（坐标系与参数方程）
在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=22sin（θ-π4），以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为
x=1+45t
y=-1-35t（t为参数），求直线l被曲线C所截得的弦长.
D.选修45（不等式选讲）
已知实数x，y，z满足x+y+z=2，求2x2+3y2+z2的最小值;
[必做题] 第22题、第23题，每小题10分，共计20分
22.袋中装着标有数字1，2，3，4的卡片各1张，甲从袋中任取2张卡片（每张卡片被取出的可能性都相等），并记下卡面数字和为X，然后把卡片放回，叫做一次操作.
（1）求在一次操作中随机变量X的概率分布和数学期望E（X）;
（2）甲进行四次操作，求至少有两次X不大于E（X）的概率.
23.（本小题满分10分）
对一个边长互不相等的凸n（n≥3）边形的边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边有相同的颜色.所有不同的染色方法记为P（n）.
（1）求P（3），P（4），P（5）;
（2）求P（n）.
参考答案
一、填空题
1. {x|0<x<1}
2. x∈（0，+∞），x2+x+1≤0
3. 1
4. 4-π4
5. -3
6. 12
7. 1
8. （-2，-32]
9. -32
10. （-∞，10]
11. 12
12. [-83，83]
13. 10
14. 239
二、解答题
15.（1）解：由ba-b=sin2CsinA-sin2C及正弦定理有：sinB=sin2C，
∴B=2C或B+2C=π，若B=2C，且π3<C<π2，∴23π<B<π，B+C>π（舍）;∴B+2C=π，则A=C，∴△ABC为等腰三角形.
（2）∵|BA+BC|=2，∴a2+c2+2ac·cosB=4，∴cosB=2-a2a2（∵a=c），而cosB=-cos2C，∴12<cosB<1，∴1<a2<43，∴BA·BC=accosB=a2cosB=2-a2∈（23，1）.
16.解：（1）连接CE交AD于O，连接OF.
因为CE，AD为△ABC中线，
所以O为△ABC的重心，CFCC1=COCE=23.
从而OF∥C1E.
OF面ADF，C1E平面ADF，
所以C1E∥平面ADF.
（2）当BM=1时，平面CAM⊥平面ADF.
在直三棱柱ABCA1B1C1中，
由于B1B⊥平面ABC，BB1平面B1BCC1，所以平面B1BCC1⊥平面ABC.
由于AB=AC，D是BC中点，所以AD⊥BC.又平面B1BCC1∩平面ABC=BC，
所以AD⊥平面B1BCC1.
而CM平面B1BCC1，于是AD⊥CM.
因为BM=CD=1，BC=CF=2，所以Rt△CBM≌Rt△FCD，所以CM⊥DF.
DF与AD相交，所以CM⊥平面ADF.
CM平面CAM，所以平面CAM⊥平面ADF.
当BM=1时，平面CAM⊥平面ADF.
17.解：（1）∵椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的离心率为12，且经过点P（1，32），
∴a2-b2a=12
1a2+94b2=1，即3a2-4b2=0
1a2+94b2=1，
解得a2=4
b2=3，
∴椭圆C的方程为x24+y23=1.
（2）易求得F（1，0）.设M（x0，y0），则x204+y203=1，
圆M的方程为（x-x0）2+（y-y0）2=（1-x0）2+y02，
令x=0，化简得y2-2y0y+2x0-1=0，Δ=4y20-4（2x0-1）>0……①.
将y20=3（1-x204）代入①，得3x20+8x0-16<0，解出-4
（3）设D（0，y1），E（0，y2），其中y1
当x0=-43时，DE的最大值为833.
18.解：（1）如图，作PN⊥AB，N为垂足.
sinθ=513，sinα=45，
在Rt△PNQ中，
PN=PQsinθ=5.2×513=2（km），
QN=PQcosθ=5.2×1213=4.8（km）.
在Rt△PNM中，
MN=PNtanα=243=1.5（km）.
设游船从P到Q所用时间为t1h，游客甲从P经M到Q所用时间为t2h，小船的速度为v1km/h，则
t1=PQ13=26513=25（h），
t2=PMv1+MQ66=2.5v1+3.366=52v1+120（h）.
由已知得：t2+120=t1，52v1+120+120=25，∴v1=253.
∴小船的速度为253km/h时，游客甲才能和游船同时到达Q.
（2）在Rt△PMN中，
PM=PNsinα=2sinα（km），
MN=PNtanα=2cosαsinα（km）.
∴QM=QN-MN=4.8-2cosαsinα（km）.
∴t=PM10+QM66=15sinα+455-cosα33sinα=1165×33-5cosαsinα+455.
∵t′=1165×5sin2α-（33-5cosα）cosαsin2α
=5-33cosα165sin2α，
∴令t′=0得：cosα=533.
当cosα<533时，t′>0;当cosα>533时，t′<0.
∵cosα在α∈（0，π2）上是减函数，
∴当方位角α满足cosα=533时，t最小，即游客甲能按计划以最短时间到达Q.
19.（1）因为k=7，所以a1，a3，a7成等比数列，又{an}是公差d≠0的等差数列，
所以（a1+2d）2=a1（a1+6d），整理得a1=2d，又a1=2，所以d=1，
b1=a1=2，q=b2b1=a3a1=a1+2da1=2，
所以an=a1+（n-1）d=n+1，bn=b1×qn-1=2n，
①用错位相减法或其它方法可求得{anbn}的前n项和为Tn=n×2n+1;
②因为新的数列{cn}的前2n-n-1项和为数列{an}的前2n-1项的和减去数列{bn}前n项的和，
所以S2n-n-1=（2n-1）（2+2n）2-2（2n-1）2-1=（2n-1）（2n-1-1）.
所以S2n-n-1-22n-1+3·2n-1=1（n≥2，n∈N*）.
（2）由（a1+2d）2=a1（a1+（k-1））d，整理得4d2=a1d（k-5），
因为d≠0，所以d=a1（k-5）4，所以q=a3a1=a1+2da1=k-32.
因为存在m>k，m∈N*使得a1，a3，ak，am成等比数列，
所以am=a1q3=a1（k-32）3，
又在正项等差数列{an}中，am=a1+（m-1）d=a1+a1（m-1）（k-5）4，
所以a1+a1（m-1）（k-5）4=a1（k-32）3，又因为a1>0，
所以有2[4+（m-1）（k-5）]=（k-3）3，
因为2[4+（m-1）（k-5）]是偶数，所以（k-3）3也是偶数，
即k-3为偶数，所以k为奇数.
20.解：（1）由f（x）=-x3+x2+b，得f′（x）=-3x2+2x=-x（3x-2），
令f′（x）=0，得x=0或23.
列表如下：
x-12（-12，0）0（0，23）23（23，1）
f′（x）-0+0-
f（x）f（-12）递减极小值递增极大值递减
由f（-12）=38+b，f（23）=427+b，∴f（-12）>f（23），即最大值为f（-12）=38+b=38，∴b=0.
（2）由g（x）≥-x2+（a+2）x，得（x-lnx）a≤x2-2x.
∵x∈[1，e]，∴lnx≤1≤x，且等号不能同时取，∴lnx<x，即x-lnx>0，
∴a≤x2-2xx-lnx恒成立，即a≤（x2-2xx-lnx）min.
令t（x）=x2-2xx-lnx，x∈[1，e]），求导得，
t′（x）=（x-1）（x+2-2lnx）（x-lnx）2，
当x∈[1，e]时，x-1≥0，lnx≤1，x+2-2lnx>0，从而t′（x）≥0，
∴t（x）在[1，e]上为增函数，
∴tmin（x）=t（1）=-1，∴a≤-1.
（3）由条件，F（x）=-x3+x2，x<1
alnx，x≥1，
假设曲线y=F（x）上存在两点P，Q满足题意，则P，Q只能在y轴两侧，
不妨设P（t，F（t））（t>0），则Q（-t，t3+t2），且t≠1.
∵△POQ是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，
∴OP·OQ=0，∴-t2+F（t）（t3+t2）=0…（*），
是否存在P，Q等价于方程（*）在t>0且t≠1时是否有解. ①若0<t<1时，方程（*）为-t2+（-t3+t2）（t3+t2）=0，化简得t4-t2+1=0，
此方程无解;
②若t>1时，（*）方程为-t2+alnt·（t3+t2）=0，即1a=（t+1）lnt，
设h（t）=（t+1）lnt（t>1），则h′（t）=lnt+1t+1，
显然，当t>1时，h′（t）>0，即h（t）在（1，+∞）上为增函数，
∴h（t）的值域为（h（1），+∞），即为（0，+∞），
∴当a>0时，方程（*）总有解.
∴对任意给定的正实数a，曲线y=F（x）上总存在两点P，Q，使得△POQ是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上.
附加题
21.A.选修41：（几何证明选讲）
证明：因为PA，PB为圆O的两条切线，所以OP垂直平分弦AB，
在Rt△OAP中，OM·MP=AM2，
在圆O中，AM·BM=CM·DM，
所以，OM·MP=CM·DM，
又弦CD不过圆心O，所以O，C，P，D四点共圆.
B.选修42：（矩阵与变换）
设M=ab
cd，则ab
cd1
1=31
1=3
3，故a+b=3，
c+d=3.
ab
cd-1
2=9
15，故-a+2b=9，
-c+2d=15.
联立以上两方程组解得a=-1，b=4，c=-3，d=6，故M=-14
-36.
C.选修44：（坐标系与参数方程）
解：将方程ρ=22sin（θ-π4），x=1+45t
y=-1-35t分别化为普通方程：
x2+y2+2x-2y=0，3x+4y+1=0，
由曲线C的圆心为C（-1，1），半径为2，所以圆心C到直线l的距离为25，
故所求弦长为22-（25）2=2465.
D.选修45（不等式选讲）
解：由柯西不等式可知：（x+y+z）2≤[（2x）2+（3y）2+z2]·[（12）2+（13）2+12]
故2x2+3y2+z2≥2411，当且仅当2x12=3y13=z1，即：x=611，y=411，z=1211时，
2x2+3y2+z2取得最小值为2411.
22.解：（1）由题设知，X可能的取值为：3，4，5，6，7.
随机变量X的概率分布为
X34567
P1616131616
因此X的数学期望E（X）=（3+4+6+7）×16+5×13=5.
（2）记“一次操作所计分数X不大于E（X）”的事件记为C，则
P（C）=P（“X=3”或“X=4”或“X=5”）=16+16+13=23.
设四次操作中事件C发生次数为Y，则Y～B（4，23），
则所求事件的概率为P（Y≥2）=1-C14×23×（13）3-C04×（13）4=89.
23.解：（1）P（3）=6，P（4）=18，P（5）=30.
（2）设不同的染色法有pn种.易知.
当n≥4时，首先，对于边a1，有3种不同的染法，由于边a2的颜色与边a1的颜色不同，所以，对边a2有2种不同的染法，类似地，对边a3，…，边an-1均有2种染法.对于边an，用与边an-1不同的2种颜色染色，但是，这样也包括了它与边a1颜色相同的情况，而边a1与边an颜色相同的不同染色方法数就是凸n-1边形的不同染色方法数的种数pn-1，于是可得
pn=3×2n-1-pn-1，pn-2n=-（pn-1-2n-1）.
于是pn-2n=（-1）n-3（p3-23）=（-1）n-2·2，
pn=2n+（-1）n·2，n≥3.
综上所述，不同的染色方法数为pn=2n+（-1）n·2.