在数学中,从推理的结果来区分,有论证式推理和推测式推理。论证式推理通常叫做证明,所得的结论是可靠的;而推测式推理所得的结论是不能最终肯定的,还只是一种猜想。推测式推理也称为合情推理。由归纳、类比和联想产生的猜想是常用的合情推理,在数学教学中应奏好合情推理三部曲。
　　
　　一、以归纳促猜想
　　
　　归纳是由特殊和具体的认识推测出一般的、普遍的抽象认识现实的思维方法,是一种由特殊前提导出一般结论的认识方法。以归纳促猜想,引导学生进行合情推理,在小学数学中有着广泛的应用。小学数学教学所涉及的大部分概念、法则、公式、性质、定律、找规律解决问题等一般都是启发学生通过对具体事例的观察、比较、动手计算、测量,从中找出规律,分析其原因,进而总结、归纳出带有一般性的结论。例如,让学生解决:“一只青蛙在50分米深的井底。它沿井壁每跳一次能跳3分米高,当它休息时,又沿井壁滑下2分米。如果它每跳一次都休息—会儿,问:跳几次能跳到井口?”按常规思维分析:青蛙每跳一次上升3分米,下滑2分米,实际只上升3-2=1(分米),因为井深50分米,所以跳的次数是50次。这一结论正确吗?应引导学生用归纳的思维方法来进行合情推理:当井深3分米时,青蛙跳一次可跳到井口;当井深4分米时,青蛙跳2次可跳到井口;当井深5分米时,青蛙跳3次可跳到井口……由此可以推测得到一般的规律:井深2=青蛙跳到井口的次数。用这个规律解决问题:50-2=48(次),可知青蛙从50分米深的井底跳48次可以跳到井口。
　　
　　二、以类比促猜想
　　
　　类比是从事物的一种特殊属性推测出另一事物的特殊属性,是一个由特殊到特殊的思维过程。波利亚说:“解决问题时往往先选出一个类似的、较容易的问题,去解决它,改造它的解法,以便它可以用作一个模式。然后利用刚刚建立的模式,以达到原来问题的解决。”解决问题时,一时难以找到解题途径时,可以引导学生先寻找可以类比的问题,利用可以类比的问题来推测要解决的这一问题的思路和方法。如,解决这样一道题:“有一个正方形,在这个正方形里面画一个最大的圆,已知正方形的面积是20平方分米。求这个圆的面积。”因为20不是一个完全平方数,因此,小学生就无法利用开平方的知识来求得正方形的边长。而无法求出正方形的边长,也就无法求出圆的半径。但是,我们可以引导学生用类比迁移的思维方法来进行合情推理:
　　合情推理一:由于圆的直径与正方形的边长存在等量关系(d=a)。可以这样推测,求圆的面积可以用等量替换:3.14×r×r=3.14×d/2×d/2=3.14×a/2×a/2=3.14×(a×)/4=3.14×20/4=3.14×5=15.7(平方分米)。
　　合情推理二:由于圆的直径与正方形的边长存在等量关系(d=a),可以这样推测,圆的面积与正方形的面积成正比例关系,它们的比值一定:假设正方形的面积为1个单位平方,则其边长是一个单位,而此边长即为圆的直径,可以先求出圆的面积与正方形面积的比值:(3.14×1/2×1/2:(1×1)=3.14:157/200,因此,圆的面积是20×157/200=15.7(平方分米)。
　　
　　三、以联想促猜想
　　
　　　联想是联系已有的知识和经验,由一个事物想到与之相关联的另一个事物的思维过程,是一种由此及彼的思维方法。联想的关系在于认识事物之间的联系,它是在分析、综合、比较中展开的。联想是有规律可循的。以联想促猜想,引导学生进行合情推理。如,解决这样一道题:“某人上山每小时行2千米,下山每小时行3千米,共用5小时,问上山用了几小时?”用一般的算术方法解,不知道路程;用方程解,即使列出方程也难以求出未知数;用比例解,又很难确定对应关系。在教学时,教师可以鼓励学生大胆联想,有的学生说,上山用了3小时。有学生补充说,由于上山和下山走的是同一条路,可以联想到路程是2和3的公倍数,最小公倍数是6(千米),得到上山时间6÷2=3(小时)。也有的学生说,由于路程一定,可以联想到速度和时间成反比例,速度比是2:3,时间比是3:2。因为5小时正好是3小时与2小时的和,上山较慢,所以用的时间就是3小时。学生这些想法包含着联想、假设、推理和尝试。尽管学生说得不够完整,仍是他们合情推理的结果。
　　
　　作者单位
　　福建省上杭县教师进修学校
　　责任编辑:曹文