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【摘要】几何直观是运用图形去描述数学问题和分析数学问题的一种思维活动。从数学问题解决的角度看，几何直观表现为一种问题解决的方法，从学生学习角度看它是一种思维活动，从结果看它表现为运用图形描述和分析问题的能力。采用测量的方式研究了初中生几何直观能力的发展，结果发现：几何直观存在不同的水平，初三年级学生几何直观能力水平高于初二年级；同一年级达到掌握和推理水平的学生较少。
【关键词】问题解决 几何直观 水平差异
【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）46-0126-02
一、问题提出
几何直观是新数学课程标准提出的十个核心概念之一。几何直观不同于数感、符号意识、空间观念、数据分析观念等这些主要体现在数与代数、图形与几何、统计与概率具体领域的核心概念，它存在于数学学习的各个领域，贯穿于数学学习的整个过程。数学课程标准指出：借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果[1]。数学学习过程，本质而言是问题解决的过程。无论是数学家、教师还是学生，在数学教与学以及研究过程中，都认识到几何直观对应问题解决的重要性。数学家希尔伯特（Hilbert，1862—1943）在其名著《直观几何》一书中指出，图形可以帮助我们发现、描述研究的问题；可以帮助我们寻求解决问题的思路；可以帮助我们理解和记忆得到的结果。荷兰数学教育家弗莱登塔尔所说：“几何直观能告诉我们什么是可能重要、可能有意义和可接近的，并使我们在课题、概念与方法的荒漠之中免于陷入歧途之苦。”我国著名数学家华罗庚先生也曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”。这里的数形结合强调的也是几何直观，由此可以看出幾何直观对于数学学习的重要性。虽然大家都认识到几何直观对数学学习非常重要，但对几何直观是什么却并未形成统一认识，对学生几何直观能力发展研究相对较少。
二、几何直观的含义
数学教育界普及接受几何直观这一概念，但对其含义却有不同的认识和理解。数学家克莱因认为，数学不是依靠在逻辑上，而是依靠在正确的直观上，数学的直观就是对概念、证明的直接把握。在克莱因这里，数学的直观显然是比几何直观更广泛的概念，同时他认为数学直观是对概念和证明的直接把握，但究竟什么是直观的把握并未明确指出，但更多地，这里的几何直观是一种方法，理解概念和证明的方法。从心理学角度而言，直观是通过对客观事物的直接接触而获得的感性认识。但几何直观不仅仅是感性认识，徐本顺，商应钢认为，在科学创造的过程中，既有形象思维，又有抽象思维，另外还有间于二者间的中间环节，借助于几何直观进行思维就是属于这样一个中间环节。[2]徐利治认为，数学中的直观是借助于经验、观察、测试或类比联想，所产生的对事物关系直接的感知与认识，几何直观是借助于见到的或想到的几何图形的形象关系产生对数量关系的直接感知[3]。显然，在徐利治先生等人看来，几何直观既与直观感知相联系，又有区别，它是一种数学思维，因为必须对事物的关系有深刻的认识和理解，通过数学思维活动才能建立起对象与图形的联系。
2003年颁布的《普通高中数学课程标准（实验）》明确提出要培养和发展学生的几何直观能力。几何直观是一种能力的观点得到国内学者广泛的认同（杜佩璟，谢林，2007；史宁中，孔凡哲，2012；等）。2011年版义务教育数学课程标准指出：几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。[4]显然这是对几何直观的一个描述性解释，虽然它未明确说明几何直观的内涵是什么，但却告诉有关几何直观研究者和教师，如果给定数学问题，则可以从观察学生是运用图形、图表去描述问题和分析问题的结果，从而分析学生的几何直观能力。既然要用图表、图形去描述数学问题，研究数学问题的解决，那就一定离不开数学思维活动。
我们认为几何直观是运用图形去描述数学问题和分析数学问题的一种思维活动。几何直观这一定义数学方法、数学思维和思维活动的结果统一起来。该定义可以从以下不同层面去理解。首先，从数学问题解决的角度看，几何直观表现为一种问题解决的方法，即是运用图形去研究数学问题的方法；其次，从学生学习角度看，几何直观是一种思维活动，学生要能用图形和图表去描述所遇到的数学问题，必须在对数学问题有充分认识的基础上，通过想象、联想等思维活动，才能从几何角度建立其对象的数学关系和空间形式与图形的关系；第三，从结果看，几何直观表现为运用图形描述和分析问题的能力，也就是学生遇到数学问题，能否用实物直观、符号直观、图形直观去描述问题的能力。把几何直观定义为一种数学思维，就可以把它和范.西尔（Van Hiele）夫妇的几何思维模式联系起来。荷兰学者范·西尔夫妇研究了几何思维模式，认为几何思维有认识、分析、非正式演绎、正式演绎、严密5个水平构成，并指出这些水平是非连续的。后来，有研究者研究了范·西尔的几何思维水平，指出这些水平是动态的、连续的（Burger&Shaughnessy，1999），并通过测量，证实了几何思维水平1到水平4的存在和层次性（Gutierrez&Jaime（1986）。虽然范·西尔夫妇等人并未直接研究几何直观思维，但可以看出，思维存在水平差异，可以进行测量。
三、几何直观能力的测量
（一）几何直观分析框架
数学是研究数量关系和空间形式的科学。义务教育数学课程标准把结果性目标分为了解、理解、掌握和运用四个水平，并对每个水平进行了描述。从结果看，几何直观是一种能力，是借助于图形的形象关系对空间形式和数量关系进行感知、理解、把握和推理的能力。根据课程标准的层次划分，结合范·西尔几何思维水平的层次研究，我们建构了几何直观分析框架。[5]框架为测量义务教育阶段学生几何直观思维水平，分析几何直观能力的发展奠定了基础。
（二）测量工具 为测量初中生几何直观能力水平，组织了有经验的初中数学教师编制《初中生几何直观能力测试卷》，测试卷由6个问题组成，每个项目5分。根据我们对小学生几何直观能力的测试，几乎所有学生都能建立实物与学习对象的对应关系，达到几何直观的感知水平，大部分学生都达到第2水平，即理解水平，因此，测试卷没有水平1的项目。测试卷结构如下：第1题由两个问题组成，一是告诉不等式组，要求用数轴表示出不等式组的解集，二是让学生观察数轴表示出x的范围，考察学生能否建立数学对象和图像间的关系，属于理解层次；第2题和第3题一个是代数问题，一个是几何问题，属于把握层次；第4、5、6题都属于推理层次题目，其中第4题是运算题，第5题和第6题应用题，都要求学生运用图像描述问题、分析问题，以探求问题解决的思路。
（三）测量结果
测试对象来自重庆某区县初二、初三年级，学生人数分别是64人和60人。年级在各测试项目的平均得分统计结果见表一。
给定显著性水平a=0.05进行T检验，二年级和三年级在项目1，项目2、3，项目4、5、6都存在显著性差异，同一年级在项目1，项目2、3，项目4、5、6的平均分也存在显著性差异。
四、结论与思考
由于已有研究证实了几乎所有学生都能达到几何直观的感知水平，所以本研究只关注了几何直观其他水平。研究表明：作为一种数学思维，几何直观存在不同的水平，只是它们在本研究中用理解、把握、推理去表示；初二年级与初三年级几何直观能力存在显著性差异，初三年级学生几何直观能力水平高于初二年级；统计还发现，80%左右的学生能达到理解水平，50%左右学生达到了掌握水平，只有10%左右的学生达到了推理水平。测试项目是初中二年级学生能够解决的问题，但初三学生在每一个水平上的得分都高于初二，这说明几何直观思维水平受数学知识积累的影响，后续数学知识的学习和所掌握的数学方法，拓宽了学生的数学视野和思维，从而对先的数学问题解决获得了方法上的指导。就同一个年龄段而言，能达到掌握和推理直观水平上的人数较少，这启示教学过程中，要注重用图形、图表去描述数学问题，提高学生的几何直观水平。
参考文献：
[1][4]教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M]].北京：北京师范大学出版社，2012.
[2]徐本顺，商应刚.关于思维中的几何直观问题[J].西北大学学报.1984.43（2）：91-96.
[3]徐利治.谈谈我的一些数学治学经验[J].数学通报.2000（5）：1-4.
[5]唐平，付天贵.义务教育阶段几何直观分析框架[J]. 教学与管理.2016（30）.83-85.
作者简介：
唐平（1979-），女，重庆永川人，重庆文理学院讲师，研究领域：数学课程与教学论，义务教育数学课程改革。
付天貴（1969-），男，重庆酉阳人，重庆文理学院副教授，西南大学数学与统计学院博士生，研究领域：数学课程与教学论。
【关键词】问题解决 几何直观 水平差异
【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）46-0126-02
一、问题提出
几何直观是新数学课程标准提出的十个核心概念之一。几何直观不同于数感、符号意识、空间观念、数据分析观念等这些主要体现在数与代数、图形与几何、统计与概率具体领域的核心概念，它存在于数学学习的各个领域，贯穿于数学学习的整个过程。数学课程标准指出：借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果[1]。数学学习过程，本质而言是问题解决的过程。无论是数学家、教师还是学生，在数学教与学以及研究过程中，都认识到几何直观对应问题解决的重要性。数学家希尔伯特（Hilbert，1862—1943）在其名著《直观几何》一书中指出，图形可以帮助我们发现、描述研究的问题；可以帮助我们寻求解决问题的思路；可以帮助我们理解和记忆得到的结果。荷兰数学教育家弗莱登塔尔所说：“几何直观能告诉我们什么是可能重要、可能有意义和可接近的，并使我们在课题、概念与方法的荒漠之中免于陷入歧途之苦。”我国著名数学家华罗庚先生也曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”。这里的数形结合强调的也是几何直观，由此可以看出幾何直观对于数学学习的重要性。虽然大家都认识到几何直观对数学学习非常重要，但对几何直观是什么却并未形成统一认识，对学生几何直观能力发展研究相对较少。
二、几何直观的含义
数学教育界普及接受几何直观这一概念，但对其含义却有不同的认识和理解。数学家克莱因认为，数学不是依靠在逻辑上，而是依靠在正确的直观上，数学的直观就是对概念、证明的直接把握。在克莱因这里，数学的直观显然是比几何直观更广泛的概念，同时他认为数学直观是对概念和证明的直接把握，但究竟什么是直观的把握并未明确指出，但更多地，这里的几何直观是一种方法，理解概念和证明的方法。从心理学角度而言，直观是通过对客观事物的直接接触而获得的感性认识。但几何直观不仅仅是感性认识，徐本顺，商应钢认为，在科学创造的过程中，既有形象思维，又有抽象思维，另外还有间于二者间的中间环节，借助于几何直观进行思维就是属于这样一个中间环节。[2]徐利治认为，数学中的直观是借助于经验、观察、测试或类比联想，所产生的对事物关系直接的感知与认识，几何直观是借助于见到的或想到的几何图形的形象关系产生对数量关系的直接感知[3]。显然，在徐利治先生等人看来，几何直观既与直观感知相联系，又有区别，它是一种数学思维，因为必须对事物的关系有深刻的认识和理解，通过数学思维活动才能建立起对象与图形的联系。
2003年颁布的《普通高中数学课程标准（实验）》明确提出要培养和发展学生的几何直观能力。几何直观是一种能力的观点得到国内学者广泛的认同（杜佩璟，谢林，2007；史宁中，孔凡哲，2012；等）。2011年版义务教育数学课程标准指出：几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。[4]显然这是对几何直观的一个描述性解释，虽然它未明确说明几何直观的内涵是什么，但却告诉有关几何直观研究者和教师，如果给定数学问题，则可以从观察学生是运用图形、图表去描述问题和分析问题的结果，从而分析学生的几何直观能力。既然要用图表、图形去描述数学问题，研究数学问题的解决，那就一定离不开数学思维活动。
我们认为几何直观是运用图形去描述数学问题和分析数学问题的一种思维活动。几何直观这一定义数学方法、数学思维和思维活动的结果统一起来。该定义可以从以下不同层面去理解。首先，从数学问题解决的角度看，几何直观表现为一种问题解决的方法，即是运用图形去研究数学问题的方法；其次，从学生学习角度看，几何直观是一种思维活动，学生要能用图形和图表去描述所遇到的数学问题，必须在对数学问题有充分认识的基础上，通过想象、联想等思维活动，才能从几何角度建立其对象的数学关系和空间形式与图形的关系；第三，从结果看，几何直观表现为运用图形描述和分析问题的能力，也就是学生遇到数学问题，能否用实物直观、符号直观、图形直观去描述问题的能力。把几何直观定义为一种数学思维，就可以把它和范.西尔（Van Hiele）夫妇的几何思维模式联系起来。荷兰学者范·西尔夫妇研究了几何思维模式，认为几何思维有认识、分析、非正式演绎、正式演绎、严密5个水平构成，并指出这些水平是非连续的。后来，有研究者研究了范·西尔的几何思维水平，指出这些水平是动态的、连续的（Burger&Shaughnessy，1999），并通过测量，证实了几何思维水平1到水平4的存在和层次性（Gutierrez&Jaime（1986）。虽然范·西尔夫妇等人并未直接研究几何直观思维，但可以看出，思维存在水平差异，可以进行测量。
三、几何直观能力的测量
（一）几何直观分析框架
数学是研究数量关系和空间形式的科学。义务教育数学课程标准把结果性目标分为了解、理解、掌握和运用四个水平，并对每个水平进行了描述。从结果看，几何直观是一种能力，是借助于图形的形象关系对空间形式和数量关系进行感知、理解、把握和推理的能力。根据课程标准的层次划分，结合范·西尔几何思维水平的层次研究，我们建构了几何直观分析框架。[5]框架为测量义务教育阶段学生几何直观思维水平，分析几何直观能力的发展奠定了基础。
（二）测量工具 为测量初中生几何直观能力水平，组织了有经验的初中数学教师编制《初中生几何直观能力测试卷》，测试卷由6个问题组成，每个项目5分。根据我们对小学生几何直观能力的测试，几乎所有学生都能建立实物与学习对象的对应关系，达到几何直观的感知水平，大部分学生都达到第2水平，即理解水平，因此，测试卷没有水平1的项目。测试卷结构如下：第1题由两个问题组成，一是告诉不等式组，要求用数轴表示出不等式组的解集，二是让学生观察数轴表示出x的范围，考察学生能否建立数学对象和图像间的关系，属于理解层次；第2题和第3题一个是代数问题，一个是几何问题，属于把握层次；第4、5、6题都属于推理层次题目，其中第4题是运算题，第5题和第6题应用题，都要求学生运用图像描述问题、分析问题，以探求问题解决的思路。
（三）测量结果
测试对象来自重庆某区县初二、初三年级，学生人数分别是64人和60人。年级在各测试项目的平均得分统计结果见表一。
给定显著性水平a=0.05进行T检验，二年级和三年级在项目1，项目2、3，项目4、5、6都存在显著性差异，同一年级在项目1，项目2、3，项目4、5、6的平均分也存在显著性差异。
四、结论与思考
由于已有研究证实了几乎所有学生都能达到几何直观的感知水平，所以本研究只关注了几何直观其他水平。研究表明：作为一种数学思维，几何直观存在不同的水平，只是它们在本研究中用理解、把握、推理去表示；初二年级与初三年级几何直观能力存在显著性差异，初三年级学生几何直观能力水平高于初二年级；统计还发现，80%左右的学生能达到理解水平，50%左右学生达到了掌握水平，只有10%左右的学生达到了推理水平。测试项目是初中二年级学生能够解决的问题，但初三学生在每一个水平上的得分都高于初二，这说明几何直观思维水平受数学知识积累的影响，后续数学知识的学习和所掌握的数学方法，拓宽了学生的数学视野和思维，从而对先的数学问题解决获得了方法上的指导。就同一个年龄段而言，能达到掌握和推理直观水平上的人数较少，这启示教学过程中，要注重用图形、图表去描述数学问题，提高学生的几何直观水平。
参考文献：
[1][4]教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M]].北京：北京师范大学出版社，2012.
[2]徐本顺，商应刚.关于思维中的几何直观问题[J].西北大学学报.1984.43（2）：91-96.
[3]徐利治.谈谈我的一些数学治学经验[J].数学通报.2000（5）：1-4.
[5]唐平，付天贵.义务教育阶段几何直观分析框架[J]. 教学与管理.2016（30）.83-85.
作者简介：
唐平（1979-），女，重庆永川人，重庆文理学院讲师，研究领域：数学课程与教学论，义务教育数学课程改革。
付天貴（1969-），男，重庆酉阳人，重庆文理学院副教授，西南大学数学与统计学院博士生，研究领域：数学课程与教学论。