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一、引入
对于小学数学教学，人们更多的关注在于如何教，而对于学科知识本身，往往缺乏应有的重视。有研究表明，美国的数学教师，包括小学和中学教师，在理解数学的基础概念与联系能力方面，显得很薄弱和缺乏。那么，我国小学数学教师的学科知识状况又如何呢?下面是笔者在教学实践中遇到的几个案例。
二、案例反思
(一)画蛇添足：教学“6的乘法口诀”
教师采用独立探究乘法口诀的方法教授新知，反馈时，学生说：“2×6表示2个6相加。”“4×6表示4个6相加。”“3×6表示3个6相加。”“1×6表示1个6相加。”……
反思：精彩的教学设计以及学生精彩的反馈，听课教师都会认为这是一节成功的数学课。然而，一个细节却引起了大家的思考：“1×6表示1个6相加。”教师刚开始的时候为了提高速度板书时都没有“相加”二字，但是每个学生都说得很完整，反馈乘法的意义时总会说清楚几个6相加。这时，教师也为了使板书更加完美便加了“相加”二字，还说：“那我把‘相加’二字都加上去吧!”于是就在1個6后面也加上了“相加”二字，没想到起了画蛇添足之效。或许会有教师认为这纯粹是“口误”，是一种无意识的错误，根本不值一提。但作为睿智的教师都应该具有对课堂生成的应变和利用能力，在字、句上斟酌，因为这涉及的是教师(包括学生)对加法概念的理解。一年级的数学教参中说得非常明白，所谓加法就是把几个数合起来用加法计算，其中的“几”应该是大于等于2。否则1个6和谁合并，怎么合并呢?既然“几”要大于等于2，那就不能说1×6表示1个6相加。数学是一门严谨的学科，这个细节表面上看是表达缺乏严谨性，而在深层次上说明该教师可能对“加法”这个数学的基本概念缺乏深入的理解。
(二)多多少少：教学“整十数加整十数”
课件出示很多红花、黄花、紫花，然后让学生从中提出数学问题。这时，一个学生说：“黄花(30)比红花(10)多多少朵?”在探究计算方法时，教师让学生根据算式30-10=20(朵)说说是怎么计算的。学生说“从30里去掉10就是20了”，教师根据学生的回答板书算理。
反思：在这个案例中，如果只是根据问题来列式是正确的，如果只是根据列式计算来探究算理也是正确的，但如果把两者结合起来那是否一定正确呢?也就是说，从问题进行列式计算再讲解算理还正确吗?在这里，教师用“从30里去掉10就是20了”来解释30-10=20，难道就解释了“黄花(30)比红花(10)多多少朵”?如果从问题出发，我们理解：黄花比红花多了20朵应该是先把30朵黄花和10朵红花相比较，把黄花分成了两部分，一部分是和红花相同的10朵，另一部分是比红花多的20朵，从黄花这里去掉和红花同样多的朵数，剩下的就是黄花比红花多的了。也就是说，这个去掉的10不是红花的朵数，而是和红花同样多的黄花朵数，这点对于理解“一个数比另一个数多(少)多少”至关重要。但是教师在这里没有讲解，而是简单用“从30里去掉10就是20”来解决“黄花(30)比红花(10)多多少朵”这个问题。这对于学生理解数学加减法的性质非常关键，两个性质不一样的物体数量是不能随便相加减的。
(三)以偏概全：教学“找规律”
教师引出新课后提供材料，让学生根据各自的材料创造规律。反馈一：根据师提供的5句话，学生创造的“规律”是：我爱学校、我爱家乡、我爱老师、我爱一(2)班、我们都是好孩子。教师的评价是大力表扬：“这里也有规律，他们是一句一句地说的，是一句一句反复出现的。”反馈二：根据师提供的方块和圆柱体，学生摆出了一组图形：教师没有听学生的任何讲解，一口否决了其中存在的规律。
反思：何谓规律?在数学教学中，规律不只是简单、机械地重复，而是一种内在于事物变化中的固定不变的属性。“规律”一课教学的最根本目的是培养学生观察、探究和推理的能力。在数学学科中，“规律”教学是非常重要的。从某种角度讲，数学就是一门关于发现、寻找、推算、运用数字和空间规律的学科。因此，发现规律是培养学生思维能力的重要途径之一。在这个教学环节中，从教学理念上来看，让学生去发现规律，设计很好，但是从学生的反馈看，仍需仔细斟酌。反馈一中的这种重复出现是一种简单的规律，是让学生进一步理解规律并培养学生的观察推理能力。反馈二中，如通过认真推敲，会发现若把前面5个图形放在一起看，把后面3个图形放在一起看，这时可以看到另外一种比较复杂的规律。当然，这里面还包含其他规律，但教师评价这里没有规律则过于片面。教师如果不深究规律的实质。简单地把重复出现作为唯一的规律模式，否认其他形式的规律，可能会导致学生对规律的误解。这样既不利于学生数学思维的拓展，也挫伤了学生进一步学习数学规律的积极性。
(四)一字之差：教学“三角形的认识”
教师从一个角开始引入，让学生说说这个角由什么组成。学生回答：“一个顶点，两条边。”师：“我再添上一条线段，现在变成了什么图形，你知道吗?”生：“三角形。”进而引出新课教学。
反思：数学是一门严谨的科学，在概念表达上，会出现“一字之差，谬以千里”的现象。角，从学生的认知起点出发，从角和三角形的内在联系来引出三角形，这样的导入确实有新意。但回首细想，这里面却存在一个矛盾：角由一个顶点、两条边组成，但是这两条边到底属于什么?线段?直线?射线?我想你的回答是肯定的：射线。接着再来看看三角形的组成：三个角，三条线段。首先，角是由射线组成，那么它的另一个端点是无限延伸的。怎么能在“另一边添加线段”呢?其次，角中“射线”和三角形中的“线段”两者本身就属于两个不同的概念，无法通过添加线段的方式使两者画上等号。这位教师最主要的问题，就是无意中混淆了角中的射线和三角形中的线段这两个概念。
三、结语
教学是无止境的，每一堂课都有值得改进和完善的地方。上述案例是在青年教师的优质课评比中撷取的，这些教学内容经过教师的精心设计和准备，并由有经验的教师悉心指导。其中出现的问题，说明教师不能只是将一些日常的“数学知识”简单地展现给学生就可以了。那么，如何提高教师关于小学数学的学科知识呢?我认为至少有三点值得注意：
第一，为教学服务的数学学科知识和普通的数学知识并不完全等同。比如，作为一名数学研究者或者其他应用者来说，需要深入钻研某一个领域，但不一定要对数学知识的方方面面作全面了解。而小学数学教师则不尽然，尽管同样是学科知识，但教师的学科知识与普通学科知识相比具有特殊性。比如作为一个数学教师，他必须掌握“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”、“实践与综合应用”等每个领域的相关内容。但是作为一个数学专家就不一样了，他可能也比较全面地了解和掌握数学知识，但他更需要深入钻研其中的某一个领域。如上述案例中，对数学规律的理解、对三角形概念的解释，说明小学数学教学涉及较为全面的学科知识。
第二，数学学科知识的一个重要特征是系统性强，前后联系紧密，这就决定了在学习学科知识的时候需要系统地学。因此，教师要对自己所从事的学科知识有总体上的了解和把握。如上述案例(四)，教师若能关注学科知识的连续性，认真学习直线、线段和射线之间的关系，深入研究三角形的特性，则能避免类似教学误点的出现。
第三，注意数学学科知识的更新。随着社会的不断进步，每一门学科的体系、概念和结构都在不断发生新的变革。虽然这些变化不一定非常直接地影响着小学数学教学，但是却需要教师用不同的视角去看待这些问题。教师应密切关注本门学科的变革，及时了解相关信息，恰当地运用于课堂教学之中。特别是一些有教龄的教师，要及时更新自己的知识。如“克和千克”，在日常生活中，我们经常把一个物体有多重也就是这个物体的质量说成是重量，但是从严格的物理学角度讲，重量和质量是属于两个不同的概念。在新教材中很多地方已经纠正了这种说法，如“估计苹果的重量”已经改成“估计苹果的质量”等等。所以在教学中，教师要尽量使用标准的语言，以免给学生的学习造成障碍。
当然，每一堂课都会有缺陷存在，没有最好，只有更好。只要我们不断地善于反思，不断地学习，我相信每一位教师都会是非常出色的。
对于小学数学教学，人们更多的关注在于如何教，而对于学科知识本身，往往缺乏应有的重视。有研究表明，美国的数学教师，包括小学和中学教师，在理解数学的基础概念与联系能力方面，显得很薄弱和缺乏。那么，我国小学数学教师的学科知识状况又如何呢?下面是笔者在教学实践中遇到的几个案例。
二、案例反思
(一)画蛇添足：教学“6的乘法口诀”
教师采用独立探究乘法口诀的方法教授新知，反馈时，学生说：“2×6表示2个6相加。”“4×6表示4个6相加。”“3×6表示3个6相加。”“1×6表示1个6相加。”……
反思：精彩的教学设计以及学生精彩的反馈，听课教师都会认为这是一节成功的数学课。然而，一个细节却引起了大家的思考：“1×6表示1个6相加。”教师刚开始的时候为了提高速度板书时都没有“相加”二字，但是每个学生都说得很完整，反馈乘法的意义时总会说清楚几个6相加。这时，教师也为了使板书更加完美便加了“相加”二字，还说：“那我把‘相加’二字都加上去吧!”于是就在1個6后面也加上了“相加”二字，没想到起了画蛇添足之效。或许会有教师认为这纯粹是“口误”，是一种无意识的错误，根本不值一提。但作为睿智的教师都应该具有对课堂生成的应变和利用能力，在字、句上斟酌，因为这涉及的是教师(包括学生)对加法概念的理解。一年级的数学教参中说得非常明白，所谓加法就是把几个数合起来用加法计算，其中的“几”应该是大于等于2。否则1个6和谁合并，怎么合并呢?既然“几”要大于等于2，那就不能说1×6表示1个6相加。数学是一门严谨的学科，这个细节表面上看是表达缺乏严谨性，而在深层次上说明该教师可能对“加法”这个数学的基本概念缺乏深入的理解。
(二)多多少少：教学“整十数加整十数”
课件出示很多红花、黄花、紫花，然后让学生从中提出数学问题。这时，一个学生说：“黄花(30)比红花(10)多多少朵?”在探究计算方法时，教师让学生根据算式30-10=20(朵)说说是怎么计算的。学生说“从30里去掉10就是20了”，教师根据学生的回答板书算理。
反思：在这个案例中，如果只是根据问题来列式是正确的，如果只是根据列式计算来探究算理也是正确的，但如果把两者结合起来那是否一定正确呢?也就是说，从问题进行列式计算再讲解算理还正确吗?在这里，教师用“从30里去掉10就是20了”来解释30-10=20，难道就解释了“黄花(30)比红花(10)多多少朵”?如果从问题出发，我们理解：黄花比红花多了20朵应该是先把30朵黄花和10朵红花相比较，把黄花分成了两部分，一部分是和红花相同的10朵，另一部分是比红花多的20朵，从黄花这里去掉和红花同样多的朵数，剩下的就是黄花比红花多的了。也就是说，这个去掉的10不是红花的朵数，而是和红花同样多的黄花朵数，这点对于理解“一个数比另一个数多(少)多少”至关重要。但是教师在这里没有讲解，而是简单用“从30里去掉10就是20”来解决“黄花(30)比红花(10)多多少朵”这个问题。这对于学生理解数学加减法的性质非常关键，两个性质不一样的物体数量是不能随便相加减的。
(三)以偏概全：教学“找规律”
教师引出新课后提供材料，让学生根据各自的材料创造规律。反馈一：根据师提供的5句话，学生创造的“规律”是：我爱学校、我爱家乡、我爱老师、我爱一(2)班、我们都是好孩子。教师的评价是大力表扬：“这里也有规律，他们是一句一句地说的，是一句一句反复出现的。”反馈二：根据师提供的方块和圆柱体，学生摆出了一组图形：教师没有听学生的任何讲解，一口否决了其中存在的规律。
反思：何谓规律?在数学教学中，规律不只是简单、机械地重复，而是一种内在于事物变化中的固定不变的属性。“规律”一课教学的最根本目的是培养学生观察、探究和推理的能力。在数学学科中，“规律”教学是非常重要的。从某种角度讲，数学就是一门关于发现、寻找、推算、运用数字和空间规律的学科。因此，发现规律是培养学生思维能力的重要途径之一。在这个教学环节中，从教学理念上来看，让学生去发现规律，设计很好，但是从学生的反馈看，仍需仔细斟酌。反馈一中的这种重复出现是一种简单的规律，是让学生进一步理解规律并培养学生的观察推理能力。反馈二中，如通过认真推敲，会发现若把前面5个图形放在一起看，把后面3个图形放在一起看，这时可以看到另外一种比较复杂的规律。当然，这里面还包含其他规律，但教师评价这里没有规律则过于片面。教师如果不深究规律的实质。简单地把重复出现作为唯一的规律模式，否认其他形式的规律，可能会导致学生对规律的误解。这样既不利于学生数学思维的拓展，也挫伤了学生进一步学习数学规律的积极性。
(四)一字之差：教学“三角形的认识”
教师从一个角开始引入，让学生说说这个角由什么组成。学生回答：“一个顶点，两条边。”师：“我再添上一条线段，现在变成了什么图形，你知道吗?”生：“三角形。”进而引出新课教学。
反思：数学是一门严谨的科学，在概念表达上，会出现“一字之差，谬以千里”的现象。角，从学生的认知起点出发，从角和三角形的内在联系来引出三角形，这样的导入确实有新意。但回首细想，这里面却存在一个矛盾：角由一个顶点、两条边组成，但是这两条边到底属于什么?线段?直线?射线?我想你的回答是肯定的：射线。接着再来看看三角形的组成：三个角，三条线段。首先，角是由射线组成，那么它的另一个端点是无限延伸的。怎么能在“另一边添加线段”呢?其次，角中“射线”和三角形中的“线段”两者本身就属于两个不同的概念，无法通过添加线段的方式使两者画上等号。这位教师最主要的问题，就是无意中混淆了角中的射线和三角形中的线段这两个概念。
三、结语
教学是无止境的，每一堂课都有值得改进和完善的地方。上述案例是在青年教师的优质课评比中撷取的，这些教学内容经过教师的精心设计和准备，并由有经验的教师悉心指导。其中出现的问题，说明教师不能只是将一些日常的“数学知识”简单地展现给学生就可以了。那么，如何提高教师关于小学数学的学科知识呢?我认为至少有三点值得注意：
第一，为教学服务的数学学科知识和普通的数学知识并不完全等同。比如，作为一名数学研究者或者其他应用者来说，需要深入钻研某一个领域，但不一定要对数学知识的方方面面作全面了解。而小学数学教师则不尽然，尽管同样是学科知识，但教师的学科知识与普通学科知识相比具有特殊性。比如作为一个数学教师，他必须掌握“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”、“实践与综合应用”等每个领域的相关内容。但是作为一个数学专家就不一样了，他可能也比较全面地了解和掌握数学知识，但他更需要深入钻研其中的某一个领域。如上述案例中，对数学规律的理解、对三角形概念的解释，说明小学数学教学涉及较为全面的学科知识。
第二，数学学科知识的一个重要特征是系统性强，前后联系紧密，这就决定了在学习学科知识的时候需要系统地学。因此，教师要对自己所从事的学科知识有总体上的了解和把握。如上述案例(四)，教师若能关注学科知识的连续性，认真学习直线、线段和射线之间的关系，深入研究三角形的特性，则能避免类似教学误点的出现。
第三，注意数学学科知识的更新。随着社会的不断进步，每一门学科的体系、概念和结构都在不断发生新的变革。虽然这些变化不一定非常直接地影响着小学数学教学，但是却需要教师用不同的视角去看待这些问题。教师应密切关注本门学科的变革，及时了解相关信息，恰当地运用于课堂教学之中。特别是一些有教龄的教师，要及时更新自己的知识。如“克和千克”，在日常生活中，我们经常把一个物体有多重也就是这个物体的质量说成是重量，但是从严格的物理学角度讲，重量和质量是属于两个不同的概念。在新教材中很多地方已经纠正了这种说法，如“估计苹果的重量”已经改成“估计苹果的质量”等等。所以在教学中，教师要尽量使用标准的语言，以免给学生的学习造成障碍。
当然，每一堂课都会有缺陷存在，没有最好，只有更好。只要我们不断地善于反思，不断地学习，我相信每一位教师都会是非常出色的。