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一题多解是对同一个问题从不同的思考角度出发，去解答同一个问题。一题多解能快速地整合所学过的基本知识，重要的是能培养学生细致的观察力、有条理的推理能力和创造性的思维能力。本文通过一道几何证明题的多种思路方法，提炼出证明多道同一题型的方法，提高推理能力，起到举一反三、触类旁通的效果，真正地发展初中学生解决数学问题的能力。
一、学生的现有认知水平与目标
《三角形内角和定理》是北师大版八年级上册第七章《平行线的证明》最后一节内容，是在学生学习了证明的必要性和平行线的性质与判定的基础上进行学习的。学生现有的知识技能基础和认知水平特点是：七年级下册已经初步学习过三角形内角和定理，对定理的直观验证认识比较深刻。在本章中又学习了证明的必要性、平行线的判定定理、性质定理及其证明等，掌握了检验数学结论的常用方法，具有初步的几何意识、一定的逻辑思维能力和推理能力。
二、问题提出
探究活动一：三角形内角和定理 三角形内角和等于180°
你还记得这个结论的探索过程吗？（1）如果我们只把∠A移到∠1的位置，你能说明这个结论吗？如果不移动∠A，那么你还有什么方法可以达到同样的效果？（2）根据前面给出的基本事实和定理，你能用自己的语言说说这一结论的证明思路吗？并用比较简洁的语言写出这一证明过程与同伴进行交流。
三、问题解决
已知：△ABC.
求证：∠A+∠B+∠C=180°.
对于三角形内角和定理这些学生已经探究过的结论，可以先引导学生回顾原来的探究和验证过程。
下面一一介绍三角形内角和定理的几种证法。
证法一分析：延长BC到D，过C做射线CE∥AB，这样相当于把∠A移到∠1的位置，∠B移到∠2的位置.
证明：如图，延长BC至D，过C点作CE∥AB.
∵ CE∥AB，
∴ ∠1=∠B（两直线平行，同位角相等），
∠2=∠A（两直线平行，内错角相等）.
∵ ∠ACB+∠2+∠1=180°（平角的定义），
∴ ∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代换）.
师问：你还能用其他方法证明三角形内角和定理吗？
学生王小明答：把三个角“凑”到A处，他过点A作直线EF∥BC.
证法二：如图，过点A作EF∥BC，则∠1=∠B，∠2=∠C.
∵ ∠1+∠BAC+∠2=180°（平角的定义），
∠1=∠B，∠2=∠C（已知）.
∴ ∠BAC+∠B+∠C=180°（等量代换）.
证法三：如图，在BC边上任取一点D，过D作DE∥AB交AC于E，作DF∥AC交AB于F.
∵ DE∥AB（已知），
∴ ∠1=∠B，∠2=∠4（两直线平行，同位角相等），
（两直线平行，内错角相等）.
∵ DF∥AC（已知），
∴ ∠3=∠C，∠A=∠4（两直线平行，同位角相等），
（两直线平行，内错角相等）.
∴ ∠2=∠A（等量代换）.
又∵∠1+∠2+∠3=180°（已知），
∴ ∠A+∠B+∠C=180°（等量代换）.
证法四：过点A作AD∥BC（如图）
∵ AD∥BC（已知），
∴ ∠1=∠C，∠DAB+∠ABC=180°（两直线平行，同位角相等），（两直线平行，同旁内角互补）.
∴ ∠BAC+∠B+∠C=∠DAB+∠ABC=180°（等量代换）.
证法五：如图，过点A任作一条射线AD，再作BE∥AD，CF∥AD.
∵ BE∥AD∥CF（已知），
∴ ∠1=∠3，∠2=∠4（两直线平行，内错角相等），
∠EBC+∠BCF=180°（两直线平行，同旁内角互补）.
∴ ∠BAC+∠ABC+∠ACB=∠EBC+∠BCF=180°（等量代换）.
小结：大部分学生根据以前的学习经验，将三角形三个内角转化成一个平角或一对同旁内角，容易找到其中的一种或两种证明方法。此时组织学生说出推理过程，补充完善证明方法，归纳出证明三角形内角和定理的基本数学思想是转化，具体方法是借助平行線转化角，积累活动经验。最后以三种解法中添加辅助线位置的特殊性，激发学生质疑，为探究二的进行埋下伏笔。
四、联系拓广
探究活动二：（经过三角形边上任意一点做平行线）
教师活动：激发质疑，个别指导，组织学生展讲和反思。一定要经过三角形的顶点做平行线吗？
学生活动：
1. 探寻辅助线经过的点的位置有几种可能;
2. 独立思考，完成经过三角形边上任意一点做平行线的证明定理;
3. 借助投影仪，进行班级展讲;
4. 反思此法与探究一的异同。
设计意图：通过问题，激发质疑，引领学生进行有条理的思考。在学生展讲的过程中进行适时点拨，在复杂图形中分解基本图形，培养学生的识图能力。充分认识探究二与探究一的异同，增强学生的辨析能力。
探究活动三：（经过三角形内或外任意一点做平行线）
教师活动：组织学生思考、小组交流、操作演示、班级展讲。
学生活动：
1. 先独立思考理，然后组内交流;
2. 借助纸片操作，演示三个内角拼成平角的过程;
3. 对三次探究进行系统反思。
设计意图：探究三重在让学生体会，不论图形怎样变化，解决问题的基本思想和方法不变，不同的是拼成平角的位置不同而已。让学生在不断辨析中增强识图能力，认识证明该定理的本质所在，提高学生的逻辑推理能力。
五、几点思考
1. 抓住证明方法的共性
通过以上几个问题，我们力图在更为丰富多样的证明中，让学生感受到这些证明方法的共性：通过添加辅助线，将角“搬”“凑”到一起;同时，也给学生一个学习方法的引导，使学生对本节课的探究形成整体认识，尽可能寻求多样的解决问题的方法。
2. 兼顾证明与探索思考，发展学生的推理能力
添加辅助线是教学中的一个难点，如何添加辅助线则应允许学生展开思考并争论，展示学生的思维过程，然后在老师的引导下达成共识。
3. 关注学生的过程，给予评价和肯定
我们要注重考查学生证明意识的建立，考查他们是否积极地独立思考，解决问题的过程中能否主动寻求多样的方法。在证明思路的发现、证明格式的规范和以及推理的严密性中培养学生的观察能力、语言表达能力和分析归纳能力，发展学生的抽象逻辑思维等方面需要关注并且通过激励性的评价，促进学生运用数学知识解决数学问题的能力，从而发展数学学习的能力。
一、学生的现有认知水平与目标
《三角形内角和定理》是北师大版八年级上册第七章《平行线的证明》最后一节内容，是在学生学习了证明的必要性和平行线的性质与判定的基础上进行学习的。学生现有的知识技能基础和认知水平特点是：七年级下册已经初步学习过三角形内角和定理，对定理的直观验证认识比较深刻。在本章中又学习了证明的必要性、平行线的判定定理、性质定理及其证明等，掌握了检验数学结论的常用方法，具有初步的几何意识、一定的逻辑思维能力和推理能力。
二、问题提出
探究活动一：三角形内角和定理 三角形内角和等于180°
你还记得这个结论的探索过程吗？（1）如果我们只把∠A移到∠1的位置，你能说明这个结论吗？如果不移动∠A，那么你还有什么方法可以达到同样的效果？（2）根据前面给出的基本事实和定理，你能用自己的语言说说这一结论的证明思路吗？并用比较简洁的语言写出这一证明过程与同伴进行交流。
三、问题解决
已知：△ABC.
求证：∠A+∠B+∠C=180°.
对于三角形内角和定理这些学生已经探究过的结论，可以先引导学生回顾原来的探究和验证过程。
下面一一介绍三角形内角和定理的几种证法。
证法一分析：延长BC到D，过C做射线CE∥AB，这样相当于把∠A移到∠1的位置，∠B移到∠2的位置.
证明：如图，延长BC至D，过C点作CE∥AB.
∵ CE∥AB，
∴ ∠1=∠B（两直线平行，同位角相等），
∠2=∠A（两直线平行，内错角相等）.
∵ ∠ACB+∠2+∠1=180°（平角的定义），
∴ ∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代换）.
师问：你还能用其他方法证明三角形内角和定理吗？
学生王小明答：把三个角“凑”到A处，他过点A作直线EF∥BC.
证法二：如图，过点A作EF∥BC，则∠1=∠B，∠2=∠C.
∵ ∠1+∠BAC+∠2=180°（平角的定义），
∠1=∠B，∠2=∠C（已知）.
∴ ∠BAC+∠B+∠C=180°（等量代换）.
证法三：如图，在BC边上任取一点D，过D作DE∥AB交AC于E，作DF∥AC交AB于F.
∵ DE∥AB（已知），
∴ ∠1=∠B，∠2=∠4（两直线平行，同位角相等），
（两直线平行，内错角相等）.
∵ DF∥AC（已知），
∴ ∠3=∠C，∠A=∠4（两直线平行，同位角相等），
（两直线平行，内错角相等）.
∴ ∠2=∠A（等量代换）.
又∵∠1+∠2+∠3=180°（已知），
∴ ∠A+∠B+∠C=180°（等量代换）.
证法四：过点A作AD∥BC（如图）
∵ AD∥BC（已知），
∴ ∠1=∠C，∠DAB+∠ABC=180°（两直线平行，同位角相等），（两直线平行，同旁内角互补）.
∴ ∠BAC+∠B+∠C=∠DAB+∠ABC=180°（等量代换）.
证法五：如图，过点A任作一条射线AD，再作BE∥AD，CF∥AD.
∵ BE∥AD∥CF（已知），
∴ ∠1=∠3，∠2=∠4（两直线平行，内错角相等），
∠EBC+∠BCF=180°（两直线平行，同旁内角互补）.
∴ ∠BAC+∠ABC+∠ACB=∠EBC+∠BCF=180°（等量代换）.
小结：大部分学生根据以前的学习经验，将三角形三个内角转化成一个平角或一对同旁内角，容易找到其中的一种或两种证明方法。此时组织学生说出推理过程，补充完善证明方法，归纳出证明三角形内角和定理的基本数学思想是转化，具体方法是借助平行線转化角，积累活动经验。最后以三种解法中添加辅助线位置的特殊性，激发学生质疑，为探究二的进行埋下伏笔。
四、联系拓广
探究活动二：（经过三角形边上任意一点做平行线）
教师活动：激发质疑，个别指导，组织学生展讲和反思。一定要经过三角形的顶点做平行线吗？
学生活动：
1. 探寻辅助线经过的点的位置有几种可能;
2. 独立思考，完成经过三角形边上任意一点做平行线的证明定理;
3. 借助投影仪，进行班级展讲;
4. 反思此法与探究一的异同。
设计意图：通过问题，激发质疑，引领学生进行有条理的思考。在学生展讲的过程中进行适时点拨，在复杂图形中分解基本图形，培养学生的识图能力。充分认识探究二与探究一的异同，增强学生的辨析能力。
探究活动三：（经过三角形内或外任意一点做平行线）
教师活动：组织学生思考、小组交流、操作演示、班级展讲。
学生活动：
1. 先独立思考理，然后组内交流;
2. 借助纸片操作，演示三个内角拼成平角的过程;
3. 对三次探究进行系统反思。
设计意图：探究三重在让学生体会，不论图形怎样变化，解决问题的基本思想和方法不变，不同的是拼成平角的位置不同而已。让学生在不断辨析中增强识图能力，认识证明该定理的本质所在，提高学生的逻辑推理能力。
五、几点思考
1. 抓住证明方法的共性
通过以上几个问题，我们力图在更为丰富多样的证明中，让学生感受到这些证明方法的共性：通过添加辅助线，将角“搬”“凑”到一起;同时，也给学生一个学习方法的引导，使学生对本节课的探究形成整体认识，尽可能寻求多样的解决问题的方法。
2. 兼顾证明与探索思考，发展学生的推理能力
添加辅助线是教学中的一个难点，如何添加辅助线则应允许学生展开思考并争论，展示学生的思维过程，然后在老师的引导下达成共识。
3. 关注学生的过程，给予评价和肯定
我们要注重考查学生证明意识的建立，考查他们是否积极地独立思考，解决问题的过程中能否主动寻求多样的方法。在证明思路的发现、证明格式的规范和以及推理的严密性中培养学生的观察能力、语言表达能力和分析归纳能力，发展学生的抽象逻辑思维等方面需要关注并且通过激励性的评价，促进学生运用数学知识解决数学问题的能力，从而发展数学学习的能力。