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摘 要： 辨别儿童概念性知识和程序性知识的水平，对理解儿童数学发展具有重要意义。该研究以141名被试为研究对象，探讨5—7岁儿童数数概念性和程序性知识的发展特点。结果表明：（1）根据儿童在数数探测任务上的表现，将其分为数数概念性知识理解型儿童、僵硬型和不稳定型儿童。（2）儿童数数概念性知识和程序性知识均呈线性增长模式，儿童对数数概念性知识理解的进程并未在7岁时结束，非本质的时间和空间连续性规则存在于他们的判断中。（3）儿童在数数概念性知识上的表现和程序性知识呈中等程度的相关。在数学教育实践中，教育者应该创设多种数数情境，通过反省抽象促进儿童数数概念性知识的发展;在优先发展数学概念性知识的同时兼顾两类知识的融合。
关键词： 数数;概念性知识;程序性知识
作者简介：安茜，上海师范大学教育学院博士研究生，主要从事儿童认知和语言发展研究;吴念阳，上海师范大学教育学院教授，博士生导师，博士，主要从事儿童认知和语言发展研究。
一、问题提出
数数是儿童算术能力发展的基础，尽管数数对儿童来说是一项基本技能，但它却又是一个复杂且相互关联的过程，需要多个数学思维的协调。[Johnson N C ， Turrou A C ， Mcmillan B G ， et al. “Can You Help Me Count these Pennies？”： Surfacing Preschoolers’ Understandings of Counting[J]. Mathematical Thinking and Learning， 2019，21（6）：1-27.]当儿童能用手一个接着一个去点排成直线的物体，同时按顺序唱数，且知道最后唱出的数就是总数，他是否已经掌握了数数？从表面来看，数数程序中所需要的要素在上述幼儿的行动中都具备了。但如果和儿童再进一步互动，主试从左数到右，再从右数到左，然后问儿童“为什么总数还是一样多”，则会出现分化现象：有的儿童的回答是不管从左到右、还是从右到左，东西还是那么多;有的儿童的回答是他学习数数都是从左到右的。这里儿童对数数背后必然性的理解就是概念性知识（conceptual knowledge），执行的数数步骤所反映的知识是程序性知识（procedural knowledge）。
在数学领域中概念性知识和程序性知识是儿童获得的两类基本的知识，概念性知识指的是对程序有效性的理解，程序性知识是执行序列动作来解决问题的能力;概念性知识能增加儿童解决问题的灵活性，使得儿童在不同问题情境中灵活应用程序，是数学能力发展的一个重要标志。[Baroody， A.， Feil， Y.， & Johnson， A. An Alternative Reconceptualization of Procedural and Conceptual Knowledge[J]. Journal for Research in Mathematics Education， 2007，38（2）， 115–131.]什么是数学能力？这一问题会影响研究者对儿童数学能力不同维度特征的聚焦。数学思维理论（the mathematical thinking perspective）关注的是儿童对数字真正的理解，儿童如何从逻辑上思考数学。数学概念性知识和程序性知识的划分正是基于这一理论，在数学思维理论下理解算术概念的核心是理解数量之间的关系，而不仅仅是孤立地了解数字。[Nunes，T.， Bryant， P.， Barros， R.， & Sylva， K. The Relative Importance of Two Different Mathematical Abilities to Mathematical Achievement[J]. British Journal of Educational Psychology，2012， （82）：136-156.]
Gelman和Gallistel提出了數数五原则，分别为：一一对应原则、固定顺序原则、基数原则、抽象原则以及顺序无关原则。[Gelman R ， Meck E . Preschoolers’ Counting： Principles before Skill[J]. Cognition， 1983， 13（3）：343-359.]Briars和Siegler提出“数词—物体对应”是数数的本质原则，同时从反面确定了数数的四个非本质原则：标准方向、连续、每个物体只能点一次以及始于一端。[Briars D ， Siegler R S . A Featural Analysis of Preschoolers’ Counting Knowledge[J]. Developmental Psychology， 1984， 20（4）：607-618.]如果儿童认为一个正确的数数行为必须具备以上四个特征，则说明他们把一些非本质的要素认定为必要的特征，其学习是表面模仿性的，他们的数数概念性知识比较僵化，还没有完全发展起来。Rodríguez及其合作者从儿童对他人数数行为的解释中，区分了两种类型的连续： 空间连续性和时间连续性;空间连续性是指在点数过程中不能跳跃，如在数苹果过程中跳过第三个，数完其他物体后再返回数，就违反了空间连续性;时间连续性是指数词不向或向后跳跃或重复，如在数数的过程中只报告偶数，这样就违反了时间连续性原则。[Purificación Rodríguez， Lago M O ， Enesco I ， et al. Children’s Understandings of Counting： Detection of Errors and Pseudoerrors by Kindergarten and Primary School Children[J]. Journal of Experimental Child Psychology， 2013， 114（1）：35-46] 数数的本质原则遵循的是逻辑规则，是不可更改和必需的;数数的非本质原则遵循的是传统规则，是可以更改的。[Marta Laupa. Children’s Understanding of Logical and Conventional Rules in Arithmetic Algorithms[J].The Journal of Mathematical Behavior， 2000，19（3）：219-305.]违反数数的本质原则肯定会导致错误，如一个对象对应两个不同的数词;但是违反非本质原则并不一定会产生错误，如标准方向是从左往右数，当从右往左数时也是正确的。综上，可以看出数数概念性知识体现为：对数数本质原则必然性和对非本质原则可变性的理解。
研究者普遍将儿童鉴别他人数数行为的能力和正确数出物体的能力，分别用来测查儿童数数概念性知识和程序性知识的发展。值得注意的是，虽然必须将概念性和程序性知识分开测查，但必须认识到在测量中很难只衡量一种类型的知识而完全排斥另一种类型的知识。[Rittle-Johnson B ， Schneider M . Developing Conceptual and Procedural Knowledge of Mathematics[M].Oxford Handbook of Numerical Cognition. 2015：1102-1118.]
已有研究对儿童数数概念性知识的发展进行了许多探索，在儿童数数概念性知识的发展研究中，发现了线性增长和U型发展两种模式。所谓的线性增长，就是儿童概念性知识的发展随着年龄的增长而不断趋于成熟，儿童对数数本质原则的掌握随着年龄的增长而增强，同时儿童越来越强地意识到非本质原则是可以改变的。[Purificación Rodríguez， Lago M O ， Enesco I ， et al. Children’s Understandings of Counting： Detection of Errors and Pseudoerrors by Kindergarten and Primary School Children[J]. Journal of Experimental Child Psychology， 2013， 114（1）：35-46]U型发展模式是指在最初发展阶段，儿童对违反非本质原则的伪错误数数行为接受程度很高，随着他们数学经验的积累，这种接受度反而会下降;当他们的数数知识变得更加稳定时，这种接受度又开始增加。[Lefevre J A ， Smith-Chant B L ， Fast L ， et al. What Counts as Knowing？ The Development of Conceptual and Procedural Knowledge of Counting from Kindergarten through Grade 2[J]. Journal of Experimental Child Psychology， 2006， 93（4）：285-303.]
兒童数数概念性知识和程序性知识之间的关系也是研究者探讨的重点。Gelman等人研究发现，儿童在掌握数数程序性知识之前就对数数概念性知识有了很好的理解;而其他研究者则报告了儿童程序性知识先于概念性知识发展;Rittle-Johnson等提出数数概念性知识和程序性知识是相互交织共同发展的。[Rittle-Johnson B ， Schneider M . Developing Conceptual and Procedural Knowledge of Mathematics[M].Oxford Handbook of Numerical Cognition. 2015：1102-1118.]
已有研究对儿童数数概念性知识的考察中只涉及了数数概念性知识的某一方面，缺乏系统的探究。此外，大多数研究仅以儿童在数数探测任务中的判断为评分依据，这可能会产生误报，无法获得儿童是基于什么理由而做出判断的。Kamawar等人的研究表明，儿童在数数探测任务中的判断不受数数集合大小的影响，然而“儿童对不同数数行为的解释是否受到集合大小的影响”还有待进一步研究。[Kamawar， D.， Lefevre， J. A.， Bisanz， J.， Fast， L.， Skwarchuk， S. L.， Smith-Chant， B.， et al . Knowledge of Counting Principles： How Relevant is Order Irrelevance？ [J].Journal of Experimental Child Psychology， 2010，105：138-145.]此外，在为数不多的以“儿童在数数探测任务中的解释”为评分依据的研究中，只问了“为什么这样数是不对的”，在对数数本质规则的解释中，儿童可能只是复述了玩偶的数数行为，如“他跳着数了”，难以区分儿童是理解数数的逻辑规则了，还是从常规规则进行的解释。当进一步追问“跳着数为何是错的”，有的儿童会说“这里本来有5个，跳着数就是4个，少了”，有部分儿童会回答“我们数数不能跳着的”，或者说“大人教的就是不能跳的”。
本研究在前人的研究基础之上，对儿童数数概念性知识所涵盖的内容进行梳理，以半结构化的访谈形式较为系统和全面地考察5-7岁儿童数数概念性知识的发展模式，并与数数程序性知识进行结合，探讨两种知识之间的关系。
基于以往的研究，本研究提出以下三种研究假设：
研究假设1：儿童对数数概念性知识的理解随着年龄的增加逐步提高，儿童对违反本质原则的数数行为的识别优于对非本质数数行为的识别。
研究假设2：儿童数数程序性知识随着年龄的增加，数数的正确率逐步提高，数数速度更快。 研究假设3：儿童数数概念性知识和程序性知识呈中等相关。
二、研究方法
1.研究对象
从上海市某所幼儿园和小学按照年龄班分层抽样，共选取141名儿童为研究被试，被试基本来源于社区中的工薪家庭。选取5岁组（中班）儿童共47名，平均年龄62.41个月，标准差3.60，其中男生25人，女生22人;6岁组（大班）儿童49名，平均年龄73.28个月，标准差3.45，其中男生25人，女生24人;7岁组（一年级）儿童共45名，平均年龄84.76个月，标准差3.38，其中男生23人，女生22人。
2.研究工具
（1）数数行为探测任务
数数行为探测任务是根据Kamawar等人和Rodrígue及其合作者采用的数数探测任务改编而成。[Kamawar， D.， Lefevre， J. A.， Bisanz， J.， Fast， L.， Skwarchuk， S. L.， Smith-Chant， B.， et al . Knowledge of Counting Principles： How Relevant is Order Irrelevance？ [J].Journal of Experimental Child Psychology， 2010，105：138-145.][Purificación Rodríguez， Lago M O ， Enesco I ， et al. Children’s Understandings of Counting： Detection of Errors and Pseudoerrors by Kindergarten and Primary School Children[J]. Journal of Experimental Child Psychology， 2013， 114（1）：35-46.]
在实验任务中有28个数数行为需要儿童进行判断，其中包括4个正确数数行为、8个违反本质规则的数数行为和16个违反非本质规则的数数行为。其中一半数数行为涉及小集合（物体数量为3—5个），另一半涉及大集合（物体数量为11—13个），实验任务中玩偶数数行为的呈现顺序是随机的。
在数数行为探测任务中，被试将看到小狗拿着小木棒数各种各样排成一行的物品，如菠萝等。实验任务通过电脑屏幕呈现，这种任务呈现方式对每个被试来说，玩偶总是以相同的语速和语调来数数。玩偶的数数行为结束后，主试就问：“小狗是数对了，还是数错了？”在儿童回答之后，主试会问一些问题来让儿童澄清理由，如“你是怎么知道小狗数的是对的”或“小狗数数的时候哪里不对了”等。
在对不同类型的数数行为的判断计分上，儿童拒绝违反本质规则的数数行为，计1分;儿童接受违反伪错误的数数行为，计1分;在对不同数数类型的解释上，儿童能对不同数数行为背后的逻辑规则进行解释，计1分。
（2）唱数任务
采用赵振国编制的幼儿数感测查工具中的唱数部分，共有22个题目，满分为69分。[赵振国：《3～6岁儿童数感发展的研究》，《心理发展与教育》2008年第4期，第8-12页。]
（3）数物体任务
改编自Lefevre及其合作者采用的数物体任务施测，通过E-prime编程将一系列随机排列的物体呈现在电脑屏幕上，让儿童尽可能快速且准确地说出屏幕上有多少物体，并按相应的数字键，共有21个试次，其中3个是练习，其余为正式施测项目。在每个试次中呈现的所有物体外观都是相同的，这些物体的数量从1到10不等。[Lefevre J A ， Smith-Chant B L ， Fast L ， et al. What Counts as Knowing？ The Development of Conceptual and Procedural Knowledge of Counting from Kindergarten through Grade 2[J]. Journal of Experimental Child Psychology， 2006， 93（4）：285-303.]
（4）儿童表达性词汇测试（EVT）
采用儿童表达性词汇测试（EVT）评估儿童的一般语言能力，共有66道题。若儿童在连续7题中答错任意5题，就停止测试。最高题项减去错误题目数就等于儿童在EVT上的得分。
3.实验程序
由通过专业培训的学前教育专业研究生担任，所有测验一对一进行，每位被试测试两次，每次测验的时间为25分钟左右。
三、研究结果
1.5—7岁儿童数数概念性知识的发展
（1）不同年龄组儿童在数数探测任务上的整体表现
每个年龄组的儿童对正确数数行为的判断的平均正确率达到了95%以上，这些数据不再纳入后续的分析中。各年龄组儿童在数数探测任务上的表现见表1。
以儿童在EVT上的得分为协变量，以儿童在数数探测任务中的正确率进行“6（数数类型）×2（反应类型）×3（年龄）”三因素混合重复测量方差分析，结果表明，数数类型主效应显著[F（5， 134）=47.85，p<0.001，η2=0.64]，表明儿童在对违反不同数数规则的数数行为的识别上存在显著差异;反应类型主效应显著[F（2， 139）=221.32，p<0.001，η2=0.61]，表明兒童对数数行为的判断和解释差异显著;年龄主效应显著[F（2， 138）=19.61，p<0.001，η2=0.22]，说明不同年龄的儿童在数数探测任务中的表现存在显著差异。数数类型和反应类型的交互作用显著[F（5， 134）=24.62，p<0.001，η2=0.48]。
其一，对数数类型的主效应进行事后分析发现，儿童对违反“一一对应”和“标准方向”原则的判别最高，其次是对违反“抽象原则”和“空间连续性原则”的数数行为的判别，再次是对违反“时间连续性原则”数数行为的判别，对违反“时空连续性原则”的判别最低。其二，对反应类型主效应进行事后分析发现，儿童在数数探测任务上的判断正确率显著高于解释正确率。其三，对年龄主效应进行事后分析发现，5岁组和6岁组的儿童在数数概念性的理解上差异不显著，7岁组儿童对数数概念性知识的理解显著高于5岁组和6岁组。其四，在数数类型和反应类型的交互作用进行简单效应分析发现，儿童对违反“空间连续性原则”数数行为的判断和解释差异不显著，在其他类型的数数行为的判断和解释差异均显著。 此外，数数探测任务中的集合大小不影响儿童对数数行为的判断[t（140）=-1.654，p>0.05]和解释[t（140）=-1.624，p>0.05]。
（2）儿童对数数概念性知识掌握的聚类分析
数数概念性理解要求儿童既能拒绝违反本质原则的数数行为，又能接受只违反非本质原则的数数行为。考虑到儿童在数数探测任务上的整体反应模式，基于Kamawar及其合作者的研究，采用K均值聚类的方法，将儿童在数数概念性知识上对错误和伪错误数数行为的判断和解释的表现分为三种类型：不稳定型（n=52）、僵硬型（n=41）和理解型（n=48）。[Kamawar， D.， Lefevre， J. A.， Bisanz， J.， Fast， L.， Skwarchuk， S. L.， Smith-Chant， B.， et al . Knowledge of Counting Principles： How Relevant is Order Irrelevance？ [J].Journal of Experimental Child Psychology， 2010，105：138-145.]类别检验的结果表明，参与聚類分析的四个指标能很好地区分各类，类间的差异足够大（p<0.01）。数数概念性知识理解型的儿童在判断和解释错误数数行为和伪错误数数行为上完成度比较好;数数概念性知识僵硬型的儿童能够正确地判断错误数数行为，但不善于解释错误数数行为背后的逻辑原则，将伪错误数数行为视为无效的数数。数数概念性知识不稳定型的儿童可以判断和解释一些伪错误数数行为，能识别部分错误数数行为，但在解释错误数数行为时会发生偏差。
如图1所示，不同年龄组的儿童在数数概念性知识上的反应模式存在显著的差异，Symbol`@@SymbolcA@2（4）=29.89，Cramer’s V=0.32， p<0.01。5岁组的儿童在数数概念性知识上的表现属于不稳定型的居多，SymbolcA@2（2）=16.25，p<0.01;7岁组的儿童在概念性知识上属于理解型的居多SymbolcA@2（4）=16.50，p<0.01。
2.5-7岁儿童程序性知识的发展
不同年龄组儿童在数数程序性知识上的表现如表2所示。
为了考察不同年龄组儿童在数数程序性知识任务上表现的差异，以儿童在这三个任务上的表现为因变量，以年龄和性别为自变量，进行多元方差分析。结果显示，不同年龄组的儿童在数数程序性知识上[F（2，135）=28.25，p<0.001，η2=0.29]，数物体正确率[F（2，135）=17.35，p<0.001，η2=0.20]和数物体反应时[F（2，135）=26.25，p<0.001，η2=0.28]上的主效应显著，性别在数数程序性知识上的主效应不显著，年级和性别交互作用不显著。进一步对各个年龄组在不同任务上的表现的均值做事后检验，两两比较年级间差异。结果表明，随着年龄的增长，儿童在唱数任务上表现更好，数物体的正确率逐步提高，数物体的速度更快。
3.数数概念性知识和程序性知识的相关分析
采用相关分析考察儿童数数概念性知识和程序性知识之间的关系，结果如表3所示。儿童在数数概念性知识任务和程序性知识任务上的表现大多存在极其显著的相关，只有儿童对违反非本质原则的判断和数物体的正确率之间存在显著相关，还有儿童对违反数数本质原则的数数行为的判断和数物体反应时之间的相关性不显著。
数数概念性知识上的判断和解释，与数数正确率呈中等程度正相关（r>0.4）;儿童对不同数数行为的解释均和唱数呈中等程度正相关（r>0.3），和数物体反应时呈中等程度负相关（r<-0.3）。儿童在数数概念性知识上的解释和程序性知识的相关程度要高于对概念性知识的判断，儿童对违反本质原则数数行为的解释和程序性知识的相关系数，均高于其他概念性知识任务上的表现和程序性知识的相关系数。
四、讨论与分析
1.儿童数学概念性知识和程序性知识的发展
本研究表明，随着年龄的增长，儿童对违反本质原则和非本质原则的数数行为的区分能力日益增强，与Rodríguez等人研究结果发现一致。[Escudero A ， Rodríguez， Purificación， Lago M O ， et al. A 3-Year Longitudinal Study of Children’s Comprehension of Counting： Do They Recognize the Optional Nature of Nonessential Counting Features？[J]. Cognitive Development， 2015， 33（7）：73-83.]然而LeFevre等人的研究发现，5—8岁的儿童对违背本质原则的数数行为的识别随着年龄的增长而增加，然而很多儿童拒绝了那些违反非本质原则的数数行为，令人感到惊奇的是与5—6岁的儿童相比，7—8岁的儿童更容易拒绝违反非本质原则的数数行为，也就是说他们难以区分数数的本质原则和非本质原则，将两者视为同等重要[Lefevre J A ， Smith-Chant B L ， Fast L ， et al. What Counts as Knowing？ The Development of Conceptual and Procedural Knowledge of Counting from Kindergarten through Grade 2[J]. Journal of Experimental Child Psychology， 2006， 93（4）：285-303.]，但本研究并没有发现这一U型趋势。本研究发现数数探测任务中，数数集合大小不影响儿童的判断和解释，这与Kamawar等人的研究结果一致。[Kamawar， D.， Lefevre， J. A.， Bisanz， J.， Fast， L.， Skwarchuk， S. L.， Smith-Chant， B.， et al. Knowledge of Counting Principles： How Relevant is Order Irrelevance？[J].Journal of Experimental Child Psychology， 2010，105：138-145.] 尽管儿童的数数程序性知识整体较好，但他们对数数概念性知识的理解不完整也不灵活。和以往研究有所不同的是，儿童对违反本质原则的识别并非總是优于其他类型，儿童对违反“一一对应”和“标准方向”原则数数行为的判断和解释要优于其他，其次是对违反“抽象原则”和“空间连续性原则”的数数行为的判别，对违反“时空连续性原则”数数行为的正确判断和解释弱于其他类型。主要有两种可能的原因：一是研究中没有系统把违反本质原则和非本质原则的数数行为综合起来考察;二是即使在一个特定的数学领域，概念性知识也可能有相当大的可变性，如Canobi的研究发现，6—8岁的儿童对加减运算概念性知识理解中，对交换律的识别要优于对补充律的识别。[Canobi K H . Individual Differences in Children’s Addition and Subtraction Knowledge[J]. Cognitive Development， 2004， 19（1）：81-93.]
儿童对数数概念性知识的全面掌握是一个长期而渐进的过程。[Lago M O ， Rodríguez， Purificación， Escudero A ， et al. Detection of Counting Pseudoerrors： What Helps Children Accept Them？[J]. British Journal of Developmental Psychology， 2015， 34（2）：169-180.]教育者普遍认为，能唱数的儿童知道如何数数，并且准备开始学习更高层次的算术技能，比如加减法。然而，真正意义上的学会数数是一个漫长而复杂的过程，它并不仅仅是会背数和识数，还需理解数数要实现一组本质原则，同时忽略不必要的非本质原则，即使儿童进入小学一年级这一发展过程仍在继续。[Escudero A ， Rodríguez， Purificación， Lago M O ， et al. A 3-Year Longitudinal Study of Children’s Comprehension of Counting： Do They Recognize the Optional Nature of Nonessential Counting Features？[J]. Cognitive Development， 2015， 33（7）：73-83.]为什么即使小学一年级儿童也难以协调数数本质特征和非本质特征呢？这可能与在学校数学教学中对规则的强调有关，那些严格遵守规则的儿童往往能取得更高的分数。在这些
被强调的规则中，一些规则是数学中的规律，而另一些仅仅是常规。在这种情况下，儿童会按部就班地、机械地接受某些特定的步骤来减少错误，他们难以接受那些违反非本质原则的数数行为。
2.儿童数数概念性知识和程序性知识的关系
本研究中儿童的数数概念性知识和程序性知识呈显著中等程度相关，说明那些在数数概念性知识上表现更好的儿童在唱数和数物体上表现也很好，对数数规则透彻的理解和熟练的程序性技能是密切联系的。尽管LeFevre等人的研究发现儿童数数概念性知识和程序性知识是呈弱相关的[Lefevre J A ， Smith-Chant B L ， Fast L ， et al. What Counts as Knowing？ The Development of Conceptual and Procedural Knowledge of Counting from Kindergarten through Grade 2[J]. Journal of Experimental Child Psychology， 2006， 93（4）：285-303.]，但是还有不少研究证实儿童数学概念性知识和程序性知识之间有很强的相关关系，如Canobi发现加法概念性知识高水平儿童在解决加法问题时更快、更准确，并且比其他儿童能使用更复杂的解决问题的程序。[Canobi K H . Children’s Profiles of Addition and Subtraction Understanding[J]. Journal of Experimental Child Psychology，2005， 92（3）：220-246.]
Rittle-Johnson等人提出数学概念性知识和程序性知识是相互促进、迭代发展的，一旦儿童发展了一种知识，则会促进另一种知识的发展，第二种知识的发展反过来又会促进第一种知识的发展。在后续的研究中，可以通过干预某一类知识来考察对另一种知识的促进程度，或者是通过追踪研究来更深入地探讨数数概念性知识和程序性知识之间的关系。
五、结论与启示
1.创设多种数数情境，通过反省抽象促进儿童数数概念性知识的发展
数数概念性知识包括对数数本质原则必然性和对非本质规则可变性的理解，尽管有的儿童已经理解了数数本质原则，但是无法在数数本质原则和非本质原则之间进行协调。在教育实践中，教育者常常为儿童提供传统的数数行为规则，如从左到右连续数，很少让儿童去观察非传统数数，如从中间数。这可能会让儿童认为传统的数数行为才是最合理和正确的，他们能很快去模仿这些传统数数行为，能够正确数出集合中物体的数量，而忽视了其中的逻辑规则。有研究已经表明，小学低年级数学困难儿童的数数概念性知识并不成熟，与普通儿童相比更弱。[Geary D C ， Hoard M K ， Byrd-Craven J ， et al. Strategy Choices in Simple and Complex Addition： Contributions of Working Memory and Counting Knowledge for Children with Mathematical Disability[J]. Journal of Experimental Child Psychology， 2004， 88（2）：121-151.] 反省抽象就是抽取主体的认知过程或者动作协调过程的特性，是主体对自身动作的反省与协调。“逻辑—数学”结构既不是发明，也不是发现，而是凭借反省抽象而获得的，是完全意义上的建构;[李其维：《评发生认识论的“反省抽象”范畴》，《心理科学》2004年第3期，第514-518页。]只有反省抽象才能支撑并激活“逻辑—数学”结构的大厦。[Piaget， J. Adaptation and Intelligence： Organic Selection and Phenocopy[M].Chicago， IL： University of Chicago Press，1980：92.]在数数过程中，点数动作不重复、不漏掉时才能建立“一一对应”，而与点数的顺序等非本质原则无关，这才是数数概念性知识的核心。只有让儿童置身于不同的数数情境中，从数数形式变化中进行反省抽象，才能体会数数中的逻辑必然性，从而促进儿童对数数概念性知识的理解。
2.注重数学概念性知识，兼顾两类知识的融合
儿童对数学的精通不仅包括熟练地执行程序，而且要理解程序如何与问题的基本逻辑相关联。[Marta Laupa. Children’s Understanding of Logical and Conventional Rules in Arithmetic Algorithms[J].The Journal of Mathematical Behavior， 2000，19（3）：219-305.]数学概念性知识不仅有助于形成良好的程序性知识，而且对更高级的数学知识（如代数）也是至关重要的。[Robinson K M ， Dubé， Adam K， Beatch J A . Children’s Understanding of Additive Concepts[J]. Journal of Experimental Child Psychology， 2017， 156：16-28.]但是数学教育中历来重视程序性知识，而忽视了概念性知识。
传统的数学教育往往让儿童背诵各种口诀，把数学当作一系列外在的规则在传递，通过“刷题”等方式来训练儿童的数学能力。在这种模式下，当儿童面对新颖的数学任务时，往往被“卡住”。儿童能熟练地执行某一程序（如数物体），不等同于能对这一程序背后的必然性进行反思（如判断和解释玩偶的数数行为是否正确）。教育者在考察儿童算术能力时，数学概念性知识和程序性知识都要考虑，这有助于理解儿童在数学概念性知识和程序性知识上的差异，从而可以采用不同的指导方式，进行差异化教学。
总之，不仅在数数领域，在其他數学领域如加减、等式和分数中，教育者都应该确定儿童对概念性知识的准备程度，创设不同情境促进儿童对数学中必然性的反思，同时将概念性知识与程序性知识进行融合，让儿童“知其然并知其所以然”，从而真正地精通数学。
The Development of Conceptual and Procedural Knowledge of Counting
of Children Aged 5 to 7
AN Qian， WU Nianyang
（College of Education，Shanghai Normal University， Shanghai， 200234）
Abstract：
Distinguishing the level of children’s conceptual and procedural knowledge is significant for understanding children’s mathematical development. With 141 subjects as the research objects， this paper has explored the development characteristics of 5-7 year-old children’s conceptual and procedural mathematics knowledge and showed the following results. （1） According to the children’s performance on the counting detection task， they can be divided into the children with better understanding of counting conceptual knowledge， those with perceived stiffness in knowledge and those with unstable knowledge. （2） There is a linear growth pattern in children’s conceptual knowledge of counting and procedural knowledge. The process of children’s understanding of conceptual knowledge of counting does not stop at the age of 7 with the non-essential spatial and temporal continuity rules existing in their judgments. （3） There exists a moderate correlation between children’s performance in conceptual knowledge of counting and their procedural knowledge. Thus， in mathematics teaching practice， the educators should create a variety of counting situations to promote the development of children’s conceptual knowledge of counting through reflective abstraction and give priority to the development of mathematical conceptual knowledge while integrating two types of knowledge.
Key words： counting ，conceptual knowledge， procedural knowledge
关键词： 数数;概念性知识;程序性知识
作者简介：安茜，上海师范大学教育学院博士研究生，主要从事儿童认知和语言发展研究;吴念阳，上海师范大学教育学院教授，博士生导师，博士，主要从事儿童认知和语言发展研究。
一、问题提出
数数是儿童算术能力发展的基础，尽管数数对儿童来说是一项基本技能，但它却又是一个复杂且相互关联的过程，需要多个数学思维的协调。[Johnson N C ， Turrou A C ， Mcmillan B G ， et al. “Can You Help Me Count these Pennies？”： Surfacing Preschoolers’ Understandings of Counting[J]. Mathematical Thinking and Learning， 2019，21（6）：1-27.]当儿童能用手一个接着一个去点排成直线的物体，同时按顺序唱数，且知道最后唱出的数就是总数，他是否已经掌握了数数？从表面来看，数数程序中所需要的要素在上述幼儿的行动中都具备了。但如果和儿童再进一步互动，主试从左数到右，再从右数到左，然后问儿童“为什么总数还是一样多”，则会出现分化现象：有的儿童的回答是不管从左到右、还是从右到左，东西还是那么多;有的儿童的回答是他学习数数都是从左到右的。这里儿童对数数背后必然性的理解就是概念性知识（conceptual knowledge），执行的数数步骤所反映的知识是程序性知识（procedural knowledge）。
在数学领域中概念性知识和程序性知识是儿童获得的两类基本的知识，概念性知识指的是对程序有效性的理解，程序性知识是执行序列动作来解决问题的能力;概念性知识能增加儿童解决问题的灵活性，使得儿童在不同问题情境中灵活应用程序，是数学能力发展的一个重要标志。[Baroody， A.， Feil， Y.， & Johnson， A. An Alternative Reconceptualization of Procedural and Conceptual Knowledge[J]. Journal for Research in Mathematics Education， 2007，38（2）， 115–131.]什么是数学能力？这一问题会影响研究者对儿童数学能力不同维度特征的聚焦。数学思维理论（the mathematical thinking perspective）关注的是儿童对数字真正的理解，儿童如何从逻辑上思考数学。数学概念性知识和程序性知识的划分正是基于这一理论，在数学思维理论下理解算术概念的核心是理解数量之间的关系，而不仅仅是孤立地了解数字。[Nunes，T.， Bryant， P.， Barros， R.， & Sylva， K. The Relative Importance of Two Different Mathematical Abilities to Mathematical Achievement[J]. British Journal of Educational Psychology，2012， （82）：136-156.]
Gelman和Gallistel提出了數数五原则，分别为：一一对应原则、固定顺序原则、基数原则、抽象原则以及顺序无关原则。[Gelman R ， Meck E . Preschoolers’ Counting： Principles before Skill[J]. Cognition， 1983， 13（3）：343-359.]Briars和Siegler提出“数词—物体对应”是数数的本质原则，同时从反面确定了数数的四个非本质原则：标准方向、连续、每个物体只能点一次以及始于一端。[Briars D ， Siegler R S . A Featural Analysis of Preschoolers’ Counting Knowledge[J]. Developmental Psychology， 1984， 20（4）：607-618.]如果儿童认为一个正确的数数行为必须具备以上四个特征，则说明他们把一些非本质的要素认定为必要的特征，其学习是表面模仿性的，他们的数数概念性知识比较僵化，还没有完全发展起来。Rodríguez及其合作者从儿童对他人数数行为的解释中，区分了两种类型的连续： 空间连续性和时间连续性;空间连续性是指在点数过程中不能跳跃，如在数苹果过程中跳过第三个，数完其他物体后再返回数，就违反了空间连续性;时间连续性是指数词不向或向后跳跃或重复，如在数数的过程中只报告偶数，这样就违反了时间连续性原则。[Purificación Rodríguez， Lago M O ， Enesco I ， et al. Children’s Understandings of Counting： Detection of Errors and Pseudoerrors by Kindergarten and Primary School Children[J]. Journal of Experimental Child Psychology， 2013， 114（1）：35-46] 数数的本质原则遵循的是逻辑规则，是不可更改和必需的;数数的非本质原则遵循的是传统规则，是可以更改的。[Marta Laupa. Children’s Understanding of Logical and Conventional Rules in Arithmetic Algorithms[J].The Journal of Mathematical Behavior， 2000，19（3）：219-305.]违反数数的本质原则肯定会导致错误，如一个对象对应两个不同的数词;但是违反非本质原则并不一定会产生错误，如标准方向是从左往右数，当从右往左数时也是正确的。综上，可以看出数数概念性知识体现为：对数数本质原则必然性和对非本质原则可变性的理解。
研究者普遍将儿童鉴别他人数数行为的能力和正确数出物体的能力，分别用来测查儿童数数概念性知识和程序性知识的发展。值得注意的是，虽然必须将概念性和程序性知识分开测查，但必须认识到在测量中很难只衡量一种类型的知识而完全排斥另一种类型的知识。[Rittle-Johnson B ， Schneider M . Developing Conceptual and Procedural Knowledge of Mathematics[M].Oxford Handbook of Numerical Cognition. 2015：1102-1118.]
已有研究对儿童数数概念性知识的发展进行了许多探索，在儿童数数概念性知识的发展研究中，发现了线性增长和U型发展两种模式。所谓的线性增长，就是儿童概念性知识的发展随着年龄的增长而不断趋于成熟，儿童对数数本质原则的掌握随着年龄的增长而增强，同时儿童越来越强地意识到非本质原则是可以改变的。[Purificación Rodríguez， Lago M O ， Enesco I ， et al. Children’s Understandings of Counting： Detection of Errors and Pseudoerrors by Kindergarten and Primary School Children[J]. Journal of Experimental Child Psychology， 2013， 114（1）：35-46]U型发展模式是指在最初发展阶段，儿童对违反非本质原则的伪错误数数行为接受程度很高，随着他们数学经验的积累，这种接受度反而会下降;当他们的数数知识变得更加稳定时，这种接受度又开始增加。[Lefevre J A ， Smith-Chant B L ， Fast L ， et al. What Counts as Knowing？ The Development of Conceptual and Procedural Knowledge of Counting from Kindergarten through Grade 2[J]. Journal of Experimental Child Psychology， 2006， 93（4）：285-303.]
兒童数数概念性知识和程序性知识之间的关系也是研究者探讨的重点。Gelman等人研究发现，儿童在掌握数数程序性知识之前就对数数概念性知识有了很好的理解;而其他研究者则报告了儿童程序性知识先于概念性知识发展;Rittle-Johnson等提出数数概念性知识和程序性知识是相互交织共同发展的。[Rittle-Johnson B ， Schneider M . Developing Conceptual and Procedural Knowledge of Mathematics[M].Oxford Handbook of Numerical Cognition. 2015：1102-1118.]
已有研究对儿童数数概念性知识的考察中只涉及了数数概念性知识的某一方面，缺乏系统的探究。此外，大多数研究仅以儿童在数数探测任务中的判断为评分依据，这可能会产生误报，无法获得儿童是基于什么理由而做出判断的。Kamawar等人的研究表明，儿童在数数探测任务中的判断不受数数集合大小的影响，然而“儿童对不同数数行为的解释是否受到集合大小的影响”还有待进一步研究。[Kamawar， D.， Lefevre， J. A.， Bisanz， J.， Fast， L.， Skwarchuk， S. L.， Smith-Chant， B.， et al . Knowledge of Counting Principles： How Relevant is Order Irrelevance？ [J].Journal of Experimental Child Psychology， 2010，105：138-145.]此外，在为数不多的以“儿童在数数探测任务中的解释”为评分依据的研究中，只问了“为什么这样数是不对的”，在对数数本质规则的解释中，儿童可能只是复述了玩偶的数数行为，如“他跳着数了”，难以区分儿童是理解数数的逻辑规则了，还是从常规规则进行的解释。当进一步追问“跳着数为何是错的”，有的儿童会说“这里本来有5个，跳着数就是4个，少了”，有部分儿童会回答“我们数数不能跳着的”，或者说“大人教的就是不能跳的”。
本研究在前人的研究基础之上，对儿童数数概念性知识所涵盖的内容进行梳理，以半结构化的访谈形式较为系统和全面地考察5-7岁儿童数数概念性知识的发展模式，并与数数程序性知识进行结合，探讨两种知识之间的关系。
基于以往的研究，本研究提出以下三种研究假设：
研究假设1：儿童对数数概念性知识的理解随着年龄的增加逐步提高，儿童对违反本质原则的数数行为的识别优于对非本质数数行为的识别。
研究假设2：儿童数数程序性知识随着年龄的增加，数数的正确率逐步提高，数数速度更快。 研究假设3：儿童数数概念性知识和程序性知识呈中等相关。
二、研究方法
1.研究对象
从上海市某所幼儿园和小学按照年龄班分层抽样，共选取141名儿童为研究被试，被试基本来源于社区中的工薪家庭。选取5岁组（中班）儿童共47名，平均年龄62.41个月，标准差3.60，其中男生25人，女生22人;6岁组（大班）儿童49名，平均年龄73.28个月，标准差3.45，其中男生25人，女生24人;7岁组（一年级）儿童共45名，平均年龄84.76个月，标准差3.38，其中男生23人，女生22人。
2.研究工具
（1）数数行为探测任务
数数行为探测任务是根据Kamawar等人和Rodrígue及其合作者采用的数数探测任务改编而成。[Kamawar， D.， Lefevre， J. A.， Bisanz， J.， Fast， L.， Skwarchuk， S. L.， Smith-Chant， B.， et al . Knowledge of Counting Principles： How Relevant is Order Irrelevance？ [J].Journal of Experimental Child Psychology， 2010，105：138-145.][Purificación Rodríguez， Lago M O ， Enesco I ， et al. Children’s Understandings of Counting： Detection of Errors and Pseudoerrors by Kindergarten and Primary School Children[J]. Journal of Experimental Child Psychology， 2013， 114（1）：35-46.]
在实验任务中有28个数数行为需要儿童进行判断，其中包括4个正确数数行为、8个违反本质规则的数数行为和16个违反非本质规则的数数行为。其中一半数数行为涉及小集合（物体数量为3—5个），另一半涉及大集合（物体数量为11—13个），实验任务中玩偶数数行为的呈现顺序是随机的。
在数数行为探测任务中，被试将看到小狗拿着小木棒数各种各样排成一行的物品，如菠萝等。实验任务通过电脑屏幕呈现，这种任务呈现方式对每个被试来说，玩偶总是以相同的语速和语调来数数。玩偶的数数行为结束后，主试就问：“小狗是数对了，还是数错了？”在儿童回答之后，主试会问一些问题来让儿童澄清理由，如“你是怎么知道小狗数的是对的”或“小狗数数的时候哪里不对了”等。
在对不同类型的数数行为的判断计分上，儿童拒绝违反本质规则的数数行为，计1分;儿童接受违反伪错误的数数行为，计1分;在对不同数数类型的解释上，儿童能对不同数数行为背后的逻辑规则进行解释，计1分。
（2）唱数任务
采用赵振国编制的幼儿数感测查工具中的唱数部分，共有22个题目，满分为69分。[赵振国：《3～6岁儿童数感发展的研究》，《心理发展与教育》2008年第4期，第8-12页。]
（3）数物体任务
改编自Lefevre及其合作者采用的数物体任务施测，通过E-prime编程将一系列随机排列的物体呈现在电脑屏幕上，让儿童尽可能快速且准确地说出屏幕上有多少物体，并按相应的数字键，共有21个试次，其中3个是练习，其余为正式施测项目。在每个试次中呈现的所有物体外观都是相同的，这些物体的数量从1到10不等。[Lefevre J A ， Smith-Chant B L ， Fast L ， et al. What Counts as Knowing？ The Development of Conceptual and Procedural Knowledge of Counting from Kindergarten through Grade 2[J]. Journal of Experimental Child Psychology， 2006， 93（4）：285-303.]
（4）儿童表达性词汇测试（EVT）
采用儿童表达性词汇测试（EVT）评估儿童的一般语言能力，共有66道题。若儿童在连续7题中答错任意5题，就停止测试。最高题项减去错误题目数就等于儿童在EVT上的得分。
3.实验程序
由通过专业培训的学前教育专业研究生担任，所有测验一对一进行，每位被试测试两次，每次测验的时间为25分钟左右。
三、研究结果
1.5—7岁儿童数数概念性知识的发展
（1）不同年龄组儿童在数数探测任务上的整体表现
每个年龄组的儿童对正确数数行为的判断的平均正确率达到了95%以上，这些数据不再纳入后续的分析中。各年龄组儿童在数数探测任务上的表现见表1。
以儿童在EVT上的得分为协变量，以儿童在数数探测任务中的正确率进行“6（数数类型）×2（反应类型）×3（年龄）”三因素混合重复测量方差分析，结果表明，数数类型主效应显著[F（5， 134）=47.85，p<0.001，η2=0.64]，表明儿童在对违反不同数数规则的数数行为的识别上存在显著差异;反应类型主效应显著[F（2， 139）=221.32，p<0.001，η2=0.61]，表明兒童对数数行为的判断和解释差异显著;年龄主效应显著[F（2， 138）=19.61，p<0.001，η2=0.22]，说明不同年龄的儿童在数数探测任务中的表现存在显著差异。数数类型和反应类型的交互作用显著[F（5， 134）=24.62，p<0.001，η2=0.48]。
其一，对数数类型的主效应进行事后分析发现，儿童对违反“一一对应”和“标准方向”原则的判别最高，其次是对违反“抽象原则”和“空间连续性原则”的数数行为的判别，再次是对违反“时间连续性原则”数数行为的判别，对违反“时空连续性原则”的判别最低。其二，对反应类型主效应进行事后分析发现，儿童在数数探测任务上的判断正确率显著高于解释正确率。其三，对年龄主效应进行事后分析发现，5岁组和6岁组的儿童在数数概念性的理解上差异不显著，7岁组儿童对数数概念性知识的理解显著高于5岁组和6岁组。其四，在数数类型和反应类型的交互作用进行简单效应分析发现，儿童对违反“空间连续性原则”数数行为的判断和解释差异不显著，在其他类型的数数行为的判断和解释差异均显著。 此外，数数探测任务中的集合大小不影响儿童对数数行为的判断[t（140）=-1.654，p>0.05]和解释[t（140）=-1.624，p>0.05]。
（2）儿童对数数概念性知识掌握的聚类分析
数数概念性理解要求儿童既能拒绝违反本质原则的数数行为，又能接受只违反非本质原则的数数行为。考虑到儿童在数数探测任务上的整体反应模式，基于Kamawar及其合作者的研究，采用K均值聚类的方法，将儿童在数数概念性知识上对错误和伪错误数数行为的判断和解释的表现分为三种类型：不稳定型（n=52）、僵硬型（n=41）和理解型（n=48）。[Kamawar， D.， Lefevre， J. A.， Bisanz， J.， Fast， L.， Skwarchuk， S. L.， Smith-Chant， B.， et al . Knowledge of Counting Principles： How Relevant is Order Irrelevance？ [J].Journal of Experimental Child Psychology， 2010，105：138-145.]类别检验的结果表明，参与聚類分析的四个指标能很好地区分各类，类间的差异足够大（p<0.01）。数数概念性知识理解型的儿童在判断和解释错误数数行为和伪错误数数行为上完成度比较好;数数概念性知识僵硬型的儿童能够正确地判断错误数数行为，但不善于解释错误数数行为背后的逻辑原则，将伪错误数数行为视为无效的数数。数数概念性知识不稳定型的儿童可以判断和解释一些伪错误数数行为，能识别部分错误数数行为，但在解释错误数数行为时会发生偏差。
如图1所示，不同年龄组的儿童在数数概念性知识上的反应模式存在显著的差异，Symbol`@@SymbolcA@2（4）=29.89，Cramer’s V=0.32， p<0.01。5岁组的儿童在数数概念性知识上的表现属于不稳定型的居多，SymbolcA@2（2）=16.25，p<0.01;7岁组的儿童在概念性知识上属于理解型的居多SymbolcA@2（4）=16.50，p<0.01。
2.5-7岁儿童程序性知识的发展
不同年龄组儿童在数数程序性知识上的表现如表2所示。
为了考察不同年龄组儿童在数数程序性知识任务上表现的差异，以儿童在这三个任务上的表现为因变量，以年龄和性别为自变量，进行多元方差分析。结果显示，不同年龄组的儿童在数数程序性知识上[F（2，135）=28.25，p<0.001，η2=0.29]，数物体正确率[F（2，135）=17.35，p<0.001，η2=0.20]和数物体反应时[F（2，135）=26.25，p<0.001，η2=0.28]上的主效应显著，性别在数数程序性知识上的主效应不显著，年级和性别交互作用不显著。进一步对各个年龄组在不同任务上的表现的均值做事后检验，两两比较年级间差异。结果表明，随着年龄的增长，儿童在唱数任务上表现更好，数物体的正确率逐步提高，数物体的速度更快。
3.数数概念性知识和程序性知识的相关分析
采用相关分析考察儿童数数概念性知识和程序性知识之间的关系，结果如表3所示。儿童在数数概念性知识任务和程序性知识任务上的表现大多存在极其显著的相关，只有儿童对违反非本质原则的判断和数物体的正确率之间存在显著相关，还有儿童对违反数数本质原则的数数行为的判断和数物体反应时之间的相关性不显著。
数数概念性知识上的判断和解释，与数数正确率呈中等程度正相关（r>0.4）;儿童对不同数数行为的解释均和唱数呈中等程度正相关（r>0.3），和数物体反应时呈中等程度负相关（r<-0.3）。儿童在数数概念性知识上的解释和程序性知识的相关程度要高于对概念性知识的判断，儿童对违反本质原则数数行为的解释和程序性知识的相关系数，均高于其他概念性知识任务上的表现和程序性知识的相关系数。
四、讨论与分析
1.儿童数学概念性知识和程序性知识的发展
本研究表明，随着年龄的增长，儿童对违反本质原则和非本质原则的数数行为的区分能力日益增强，与Rodríguez等人研究结果发现一致。[Escudero A ， Rodríguez， Purificación， Lago M O ， et al. A 3-Year Longitudinal Study of Children’s Comprehension of Counting： Do They Recognize the Optional Nature of Nonessential Counting Features？[J]. Cognitive Development， 2015， 33（7）：73-83.]然而LeFevre等人的研究发现，5—8岁的儿童对违背本质原则的数数行为的识别随着年龄的增长而增加，然而很多儿童拒绝了那些违反非本质原则的数数行为，令人感到惊奇的是与5—6岁的儿童相比，7—8岁的儿童更容易拒绝违反非本质原则的数数行为，也就是说他们难以区分数数的本质原则和非本质原则，将两者视为同等重要[Lefevre J A ， Smith-Chant B L ， Fast L ， et al. What Counts as Knowing？ The Development of Conceptual and Procedural Knowledge of Counting from Kindergarten through Grade 2[J]. Journal of Experimental Child Psychology， 2006， 93（4）：285-303.]，但本研究并没有发现这一U型趋势。本研究发现数数探测任务中，数数集合大小不影响儿童的判断和解释，这与Kamawar等人的研究结果一致。[Kamawar， D.， Lefevre， J. A.， Bisanz， J.， Fast， L.， Skwarchuk， S. L.， Smith-Chant， B.， et al. Knowledge of Counting Principles： How Relevant is Order Irrelevance？[J].Journal of Experimental Child Psychology， 2010，105：138-145.] 尽管儿童的数数程序性知识整体较好，但他们对数数概念性知识的理解不完整也不灵活。和以往研究有所不同的是，儿童对违反本质原则的识别并非總是优于其他类型，儿童对违反“一一对应”和“标准方向”原则数数行为的判断和解释要优于其他，其次是对违反“抽象原则”和“空间连续性原则”的数数行为的判别，对违反“时空连续性原则”数数行为的正确判断和解释弱于其他类型。主要有两种可能的原因：一是研究中没有系统把违反本质原则和非本质原则的数数行为综合起来考察;二是即使在一个特定的数学领域，概念性知识也可能有相当大的可变性，如Canobi的研究发现，6—8岁的儿童对加减运算概念性知识理解中，对交换律的识别要优于对补充律的识别。[Canobi K H . Individual Differences in Children’s Addition and Subtraction Knowledge[J]. Cognitive Development， 2004， 19（1）：81-93.]
儿童对数数概念性知识的全面掌握是一个长期而渐进的过程。[Lago M O ， Rodríguez， Purificación， Escudero A ， et al. Detection of Counting Pseudoerrors： What Helps Children Accept Them？[J]. British Journal of Developmental Psychology， 2015， 34（2）：169-180.]教育者普遍认为，能唱数的儿童知道如何数数，并且准备开始学习更高层次的算术技能，比如加减法。然而，真正意义上的学会数数是一个漫长而复杂的过程，它并不仅仅是会背数和识数，还需理解数数要实现一组本质原则，同时忽略不必要的非本质原则，即使儿童进入小学一年级这一发展过程仍在继续。[Escudero A ， Rodríguez， Purificación， Lago M O ， et al. A 3-Year Longitudinal Study of Children’s Comprehension of Counting： Do They Recognize the Optional Nature of Nonessential Counting Features？[J]. Cognitive Development， 2015， 33（7）：73-83.]为什么即使小学一年级儿童也难以协调数数本质特征和非本质特征呢？这可能与在学校数学教学中对规则的强调有关，那些严格遵守规则的儿童往往能取得更高的分数。在这些
被强调的规则中，一些规则是数学中的规律，而另一些仅仅是常规。在这种情况下，儿童会按部就班地、机械地接受某些特定的步骤来减少错误，他们难以接受那些违反非本质原则的数数行为。
2.儿童数数概念性知识和程序性知识的关系
本研究中儿童的数数概念性知识和程序性知识呈显著中等程度相关，说明那些在数数概念性知识上表现更好的儿童在唱数和数物体上表现也很好，对数数规则透彻的理解和熟练的程序性技能是密切联系的。尽管LeFevre等人的研究发现儿童数数概念性知识和程序性知识是呈弱相关的[Lefevre J A ， Smith-Chant B L ， Fast L ， et al. What Counts as Knowing？ The Development of Conceptual and Procedural Knowledge of Counting from Kindergarten through Grade 2[J]. Journal of Experimental Child Psychology， 2006， 93（4）：285-303.]，但是还有不少研究证实儿童数学概念性知识和程序性知识之间有很强的相关关系，如Canobi发现加法概念性知识高水平儿童在解决加法问题时更快、更准确，并且比其他儿童能使用更复杂的解决问题的程序。[Canobi K H . Children’s Profiles of Addition and Subtraction Understanding[J]. Journal of Experimental Child Psychology，2005， 92（3）：220-246.]
Rittle-Johnson等人提出数学概念性知识和程序性知识是相互促进、迭代发展的，一旦儿童发展了一种知识，则会促进另一种知识的发展，第二种知识的发展反过来又会促进第一种知识的发展。在后续的研究中，可以通过干预某一类知识来考察对另一种知识的促进程度，或者是通过追踪研究来更深入地探讨数数概念性知识和程序性知识之间的关系。
五、结论与启示
1.创设多种数数情境，通过反省抽象促进儿童数数概念性知识的发展
数数概念性知识包括对数数本质原则必然性和对非本质规则可变性的理解，尽管有的儿童已经理解了数数本质原则，但是无法在数数本质原则和非本质原则之间进行协调。在教育实践中，教育者常常为儿童提供传统的数数行为规则，如从左到右连续数，很少让儿童去观察非传统数数，如从中间数。这可能会让儿童认为传统的数数行为才是最合理和正确的，他们能很快去模仿这些传统数数行为，能够正确数出集合中物体的数量，而忽视了其中的逻辑规则。有研究已经表明，小学低年级数学困难儿童的数数概念性知识并不成熟，与普通儿童相比更弱。[Geary D C ， Hoard M K ， Byrd-Craven J ， et al. Strategy Choices in Simple and Complex Addition： Contributions of Working Memory and Counting Knowledge for Children with Mathematical Disability[J]. Journal of Experimental Child Psychology， 2004， 88（2）：121-151.] 反省抽象就是抽取主体的认知过程或者动作协调过程的特性，是主体对自身动作的反省与协调。“逻辑—数学”结构既不是发明，也不是发现，而是凭借反省抽象而获得的，是完全意义上的建构;[李其维：《评发生认识论的“反省抽象”范畴》，《心理科学》2004年第3期，第514-518页。]只有反省抽象才能支撑并激活“逻辑—数学”结构的大厦。[Piaget， J. Adaptation and Intelligence： Organic Selection and Phenocopy[M].Chicago， IL： University of Chicago Press，1980：92.]在数数过程中，点数动作不重复、不漏掉时才能建立“一一对应”，而与点数的顺序等非本质原则无关，这才是数数概念性知识的核心。只有让儿童置身于不同的数数情境中，从数数形式变化中进行反省抽象，才能体会数数中的逻辑必然性，从而促进儿童对数数概念性知识的理解。
2.注重数学概念性知识，兼顾两类知识的融合
儿童对数学的精通不仅包括熟练地执行程序，而且要理解程序如何与问题的基本逻辑相关联。[Marta Laupa. Children’s Understanding of Logical and Conventional Rules in Arithmetic Algorithms[J].The Journal of Mathematical Behavior， 2000，19（3）：219-305.]数学概念性知识不仅有助于形成良好的程序性知识，而且对更高级的数学知识（如代数）也是至关重要的。[Robinson K M ， Dubé， Adam K， Beatch J A . Children’s Understanding of Additive Concepts[J]. Journal of Experimental Child Psychology， 2017， 156：16-28.]但是数学教育中历来重视程序性知识，而忽视了概念性知识。
传统的数学教育往往让儿童背诵各种口诀，把数学当作一系列外在的规则在传递，通过“刷题”等方式来训练儿童的数学能力。在这种模式下，当儿童面对新颖的数学任务时，往往被“卡住”。儿童能熟练地执行某一程序（如数物体），不等同于能对这一程序背后的必然性进行反思（如判断和解释玩偶的数数行为是否正确）。教育者在考察儿童算术能力时，数学概念性知识和程序性知识都要考虑，这有助于理解儿童在数学概念性知识和程序性知识上的差异，从而可以采用不同的指导方式，进行差异化教学。
总之，不仅在数数领域，在其他數学领域如加减、等式和分数中，教育者都应该确定儿童对概念性知识的准备程度，创设不同情境促进儿童对数学中必然性的反思，同时将概念性知识与程序性知识进行融合，让儿童“知其然并知其所以然”，从而真正地精通数学。
The Development of Conceptual and Procedural Knowledge of Counting
of Children Aged 5 to 7
AN Qian， WU Nianyang
（College of Education，Shanghai Normal University， Shanghai， 200234）
Abstract：
Distinguishing the level of children’s conceptual and procedural knowledge is significant for understanding children’s mathematical development. With 141 subjects as the research objects， this paper has explored the development characteristics of 5-7 year-old children’s conceptual and procedural mathematics knowledge and showed the following results. （1） According to the children’s performance on the counting detection task， they can be divided into the children with better understanding of counting conceptual knowledge， those with perceived stiffness in knowledge and those with unstable knowledge. （2） There is a linear growth pattern in children’s conceptual knowledge of counting and procedural knowledge. The process of children’s understanding of conceptual knowledge of counting does not stop at the age of 7 with the non-essential spatial and temporal continuity rules existing in their judgments. （3） There exists a moderate correlation between children’s performance in conceptual knowledge of counting and their procedural knowledge. Thus， in mathematics teaching practice， the educators should create a variety of counting situations to promote the development of children’s conceptual knowledge of counting through reflective abstraction and give priority to the development of mathematical conceptual knowledge while integrating two types of knowledge.
Key words： counting ，conceptual knowledge， procedural knowledge