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【案例扫描】
教学四年级（上）“商不变规律的应用”一课时，我发现学生很难理解例题中的“明明余数是2，为什么‘白菜老师’非要说余数是20”。
我引导学生：“认真观察竖式，看看个位上原本是不是还有个‘0’呢？咱们还要给拉下来呀！”
学生面露难色，一言不发。“三位数除以两位数我们刚刚学过，课本为什么要变成两位数除以一位数呢？明明课本上用红色笔划去‘0’了，现在老师又要我们给拉下来，教材和教师是不是有时也不讲理？！”
更尴尬的是，两位孩子课后问我：根据商不变规律可得90÷4=900÷40，但为什么90÷4=900÷40≠22……2？
算式相等，结果居然不相等！究竟是什么原因呢？解答了这个问题，其实也就解决了学生“面露难色”的问题。
【案例诊断】
思考应从原点开始。教材明确指出：“被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0除外），商不变。”显然，“90÷4=900÷40≠22……2”中，“22”是商，“2”只是余数。商，是不包括余数的。看来，“商不变的规律”没有失灵。
但为什么“算式相等，结果不等”呢？
经过同事研讨和研读教材，我们认为，造成“算式相等，结果不等”的根本原因是学生目前没有学到小数除法，知识出现了断层。作为教师，我们知道90÷4=900÷40=22.5，这个递等除法算式是没有任何问题的。只是因为目前使用苏教版教材的四年级学生还没有学到小数除法，他们只能用余数来表示尚未除完的（被除数）部分。而这个尚未除完的（被除数）部分如果继续除的话，结果其实还是一样的，都是0.5，即2÷4=0.5，20÷40=0.5。
【改进策略】
诊断，是为了寻求改进策略。结合教材的编排问题，针对学生实际困惑，我对教学预设进行了调整，并尝试了二次教学，收到了良好的教学效果。
一、 研读教材情境，改良问题支撑理解
教材原有情境比较封闭单一，不适合学生理解“带余除法”的算理。带余除法的算理，需要一个更加合适的生活情境“保驾护航”，才能真正走进孩子们的视界。基于这样的思考，我对教材的例题进行了精心的改编，最终呈现了这样一个生活情境——
有90捆小棒，每捆10根，每4捆放一盒，可以放多少盒？还余多少？
面对这个问题情境，一部分学生列出算式：90÷4=22（盒）……2（捆）；因为第二个问题指向的开放性，也有同学列出算式：（90×10）÷（4×10）=22（盒）……20（根）。这时，我组织学生观察两道算式有什么联系，引导他们把这两道算式进行递等：
90捆÷4捆
=900根÷40根
=22（盒）……2（捆）
=22（盒）……20（根）
开放的问题情境，收到的效果明显不同。上述情境中，学生可以“把90捆小棒，每4捆放一盒”，也可以“把900根小棒，每40根放一盒”，这种“异曲同工”的算式表达，极大地降低了学生的理解难度，他们通过两种算式的对比，很快发现了带余除式的“递等奥秘”：计算结果不同，是因为单位不同，但计算道理是一样的，即都是“小棒总数÷每盒要放的小棒数=盒数……剩余小棒数”。
二、剖析教材建议，拉长课时分别突破
反复研读教材和教师教学用书，我们发现其建议都是用1课时完成本节教学内容。但，这个建议，真的合适吗？
带余除式的递等现象属于程序性的数学知识，具有典型的“行易知难”特点。我们感到学生理解“算式相等，结果不等”比较难，他们掌握这种计算技能反而还是比较容易的。
于是，二次教学中，我把“商不变规律的应用”内容划分为两节课进行教学。第一节课重在引导学生理解算理，第二节课重在组织学生练习算法。这种一分為二的课时安排，可以保证学生有更充分的时间“消化吸收”。第一节课，我除了变“买队号情境”为“分小棒情境”，还补充呈现了“分桃子情境”，并组织学生自编一些相关的情境。丰富的情境支撑下，学生很快找到了“余数要拉下被除数后面划去的0”共同之理，对这种带余除式很快建立了模型。第二节课，我重点组织学生提炼、掌握带余除式的计算法则，提升计算技能。有了第一节课的扎实理解算理作为基础，这节课的算法总结水到渠成，后续练习也非常轻松。
三、立足教材体系，适当渗透修复断层
任何教材的编排，都很难全面兼顾儿童的认知规律和知识的内在逻辑。数学知识一旦出现断层，学生理解出现障碍，最好修复知识断层，让学生站在整个知识体系的高度来理解。
带余除式最迷惑学生的地方就是“算式相等，结果不等”。教学中，我放大这个难点，引导学生思考：“余数是什么意思？”学生说：“余数就是被除数除以除数没有除完，剩余的数。”我说：“那我们可不可以试着用这个余数继续除下去呢？”学生非常好奇。于是，我们就拿被除数90剩余的2除以4，又拿被除数900剩余的20除以40，学生虽然没有学过小数除法，但根据分数的意义，还是很快就发现了2÷4=20÷40=[12]，原来它们的余数虽然不同，但结果其实还是相等的。
利用个别学生课前了解的小数除法知识，我又简要介绍了90÷4=900÷40=22.5，这也促使学生从知识体系的角度了解了“算式相等，结果其实也是相等的”。跳出了“知识迷阵”，用后续知识来解释眼下所学，学生理解这种带余除式的“秘密”就更加容易了。
小学阶段数学知识的编排顺序，多是根据学生的认识水平来安排的，但这并不能完全排除知识内容之间的断层和衔接不力。日常教学中，当遇到这种知识断层的问题时，我们既要研究学生的现有水平，还应考虑整合相关的数学内容。只有从现实学情和知识逻辑两个方面统筹兼顾，才可能收到良好的教学效果。
（作者单位：安徽省合肥市屯溪路小学）
□责任编辑 李杰杰
E-mail：[email protected]
教学四年级（上）“商不变规律的应用”一课时，我发现学生很难理解例题中的“明明余数是2，为什么‘白菜老师’非要说余数是20”。
我引导学生：“认真观察竖式，看看个位上原本是不是还有个‘0’呢？咱们还要给拉下来呀！”
学生面露难色，一言不发。“三位数除以两位数我们刚刚学过，课本为什么要变成两位数除以一位数呢？明明课本上用红色笔划去‘0’了，现在老师又要我们给拉下来，教材和教师是不是有时也不讲理？！”
更尴尬的是，两位孩子课后问我：根据商不变规律可得90÷4=900÷40，但为什么90÷4=900÷40≠22……2？
算式相等，结果居然不相等！究竟是什么原因呢？解答了这个问题，其实也就解决了学生“面露难色”的问题。
【案例诊断】
思考应从原点开始。教材明确指出：“被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0除外），商不变。”显然，“90÷4=900÷40≠22……2”中，“22”是商，“2”只是余数。商，是不包括余数的。看来，“商不变的规律”没有失灵。
但为什么“算式相等，结果不等”呢？
经过同事研讨和研读教材，我们认为，造成“算式相等，结果不等”的根本原因是学生目前没有学到小数除法，知识出现了断层。作为教师，我们知道90÷4=900÷40=22.5，这个递等除法算式是没有任何问题的。只是因为目前使用苏教版教材的四年级学生还没有学到小数除法，他们只能用余数来表示尚未除完的（被除数）部分。而这个尚未除完的（被除数）部分如果继续除的话，结果其实还是一样的，都是0.5，即2÷4=0.5，20÷40=0.5。
【改进策略】
诊断，是为了寻求改进策略。结合教材的编排问题，针对学生实际困惑，我对教学预设进行了调整，并尝试了二次教学，收到了良好的教学效果。
一、 研读教材情境，改良问题支撑理解
教材原有情境比较封闭单一，不适合学生理解“带余除法”的算理。带余除法的算理，需要一个更加合适的生活情境“保驾护航”，才能真正走进孩子们的视界。基于这样的思考，我对教材的例题进行了精心的改编，最终呈现了这样一个生活情境——
有90捆小棒，每捆10根，每4捆放一盒，可以放多少盒？还余多少？
面对这个问题情境，一部分学生列出算式：90÷4=22（盒）……2（捆）；因为第二个问题指向的开放性，也有同学列出算式：（90×10）÷（4×10）=22（盒）……20（根）。这时，我组织学生观察两道算式有什么联系，引导他们把这两道算式进行递等：
90捆÷4捆
=900根÷40根
=22（盒）……2（捆）
=22（盒）……20（根）
开放的问题情境，收到的效果明显不同。上述情境中，学生可以“把90捆小棒，每4捆放一盒”，也可以“把900根小棒，每40根放一盒”，这种“异曲同工”的算式表达，极大地降低了学生的理解难度，他们通过两种算式的对比，很快发现了带余除式的“递等奥秘”：计算结果不同，是因为单位不同，但计算道理是一样的，即都是“小棒总数÷每盒要放的小棒数=盒数……剩余小棒数”。
二、剖析教材建议，拉长课时分别突破
反复研读教材和教师教学用书，我们发现其建议都是用1课时完成本节教学内容。但，这个建议，真的合适吗？
带余除式的递等现象属于程序性的数学知识，具有典型的“行易知难”特点。我们感到学生理解“算式相等，结果不等”比较难，他们掌握这种计算技能反而还是比较容易的。
于是，二次教学中，我把“商不变规律的应用”内容划分为两节课进行教学。第一节课重在引导学生理解算理，第二节课重在组织学生练习算法。这种一分為二的课时安排，可以保证学生有更充分的时间“消化吸收”。第一节课，我除了变“买队号情境”为“分小棒情境”，还补充呈现了“分桃子情境”，并组织学生自编一些相关的情境。丰富的情境支撑下，学生很快找到了“余数要拉下被除数后面划去的0”共同之理，对这种带余除式很快建立了模型。第二节课，我重点组织学生提炼、掌握带余除式的计算法则，提升计算技能。有了第一节课的扎实理解算理作为基础，这节课的算法总结水到渠成，后续练习也非常轻松。
三、立足教材体系，适当渗透修复断层
任何教材的编排，都很难全面兼顾儿童的认知规律和知识的内在逻辑。数学知识一旦出现断层，学生理解出现障碍，最好修复知识断层，让学生站在整个知识体系的高度来理解。
带余除式最迷惑学生的地方就是“算式相等，结果不等”。教学中，我放大这个难点，引导学生思考：“余数是什么意思？”学生说：“余数就是被除数除以除数没有除完，剩余的数。”我说：“那我们可不可以试着用这个余数继续除下去呢？”学生非常好奇。于是，我们就拿被除数90剩余的2除以4，又拿被除数900剩余的20除以40，学生虽然没有学过小数除法，但根据分数的意义，还是很快就发现了2÷4=20÷40=[12]，原来它们的余数虽然不同，但结果其实还是相等的。
利用个别学生课前了解的小数除法知识，我又简要介绍了90÷4=900÷40=22.5，这也促使学生从知识体系的角度了解了“算式相等，结果其实也是相等的”。跳出了“知识迷阵”，用后续知识来解释眼下所学，学生理解这种带余除式的“秘密”就更加容易了。
小学阶段数学知识的编排顺序，多是根据学生的认识水平来安排的，但这并不能完全排除知识内容之间的断层和衔接不力。日常教学中，当遇到这种知识断层的问题时，我们既要研究学生的现有水平，还应考虑整合相关的数学内容。只有从现实学情和知识逻辑两个方面统筹兼顾，才可能收到良好的教学效果。
（作者单位：安徽省合肥市屯溪路小学）
□责任编辑 李杰杰
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