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【教学目标】
1.通过对七桥问题的研究，明晰七桥问题的内涵与本质，进而发现一笔画图形的特征，并能运用所学知识解决简单的实际问题。
2.引导学生经历数学化的过程，体悟抽象、模型和推理的数学思想方法，发展学生的数学素养。
3.学生在数学活动中学会积极地自主探究与合作交流，获得成功的体验，体会数学学习的乐趣。
【教学重难点】感受数学抽象，体会数学建模，掌握研究方法。
【教学过程】
课前预习并交流：
《有趣的七桥问题》预习单
下面哪些图形是“一笔画”图形？
解释：“一笔画”是指从图形的某一点出发，笔不离开纸，不间断、不重复地画完一个图形。
要求：
1.画一画：在图形右边的空白处试着画一画，看看哪些是一笔画图形。
2.写一写：把一笔画图形的序号写在横线上 。
① ②③ ④⑤
⑥ ⑦⑧ ⑨ ⑩
一、名题的引入——感受数学史的魅力
1.谈话：在人类历史的发展潮流中，涌现出了很多著名的数学家，产生了很多有趣的数学问题，今天这节课，就让我们一起走进历史，走进18世纪。
课件出示“七桥问题”。
18世纪的哥尼斯堡城（今俄罗斯加里宁格勒）的普莱格尔河上有7座桥，连接河中的两个岛A、B和河岸C、D，如图所示。城中的居民经常沿河过桥散步，有一天，一位居民在散步时提出了一个问题：能否不重复的一次走遍这7座桥，最后又回到起始地点呢？
2.揭示：这就是历史上著名的七桥问题，这个问题很快在当地传开了，每一位到这里来散步的人都想走一走，甚至有的人索性把它画成了地图，拿回家有空时就在纸上画一画。
3.提问：今天老师也给同学们准备了当年普莱格尔河的地图，你们想一想也来尝试一下。请同学们拿出学习单1，用铅笔尝试着在图中画一画。
学习单1
问题：从任意一个河岸或岛屿出发，能否不重复的一次走遍这七座桥呢？
用铅笔尝试着在图中画一画。
交流明确：不管怎么走，总有至少一座桥没有走到。
二、名题的研究——经历数学化的过程
（一）八桥的引入，发现问题的关键要素
收集学生资源，出示下图。
1.提问：如果要继续走下去，我们可以怎么办？
生：再架一座桥。
追问：架在哪里？接下去又该怎么走呢？
引领学生用手指一指并比划着走一走。
2.谈话：确实，再架一座桥就能不重复的一次走完，那这座桥除了架在这里，还能架在哪里呢？是不是也能不重复的一次走完呢？请同学们拿出学习单2。
要求：想一想，这座桥可以架在哪里，为了區分，用不同颜色的笔画出桥和行走的路线。
学习单2
问题：再架一座桥，是不是可以不重复的一次走遍这八座桥呢？
教师巡视并搜集展示学生不同的作业（板贴部分学生作品）。
3.提问：它们架桥的位置不同，但从他们行走的路线来看，都能不重复的一次走完这八座桥，为什么七桥走不通，八桥却能走通呢？你觉得可能是由什么原因造成的？小组讨论。
生1：我觉得和桥的数量有关。
生2：我也觉得和桥的数量有关。
4.谈话：你们是不是也有这样的感觉？老师这儿准备了这样两张图：
我们先来看这张图（八桥），如果我们从A岛出发，那么经过B岛的时候，必然由一座桥进入，由另一座桥出去，有进有出，也就是说与中间的岛相连的桥的数量应该是一个（偶数）；我们再来看这张图（七桥），先数一数与陆地和岛屿相连的桥的数量分别是多少？
生：A岛5个，B岛3个，C岛3个，D岛3个。
明确：都是奇数，不管从哪里出发，我们能不能做到与中间的陆地或岛相连的桥的数量是偶数？
生：不能。
5.启发：例如不管是从A岛还是C岛或D岛出发，当经过B岛的时候，由一座桥进入，另一座桥出去，再由这座桥进入，然后呢？
生：没桥出去了。
明确：是的，通过分析我们再一次感觉到能不能走通和与岛相连的桥的数量有关。
6.提问：七桥走不通，八桥可以走通，十桥呢？二十桥呢？当问题越来越复杂的时候，如果我们继续在这样的图上去画，你会有怎样的感觉？
生：会感觉很麻烦。
（二）问题的抽象，体会数学化的价值
1.提问：那么我们有什么办法可以把这样的图变得简单呢？在回答这个问题之前，我们不妨先来思考，你觉得能不能走通和岛的大小、桥的长短有没有关系？
生：没有。
引导：既然没有关系，那么如果我们把七桥问题中的A、B、C、D这4个区域不断缩小，最后变成一个点，而图中的桥用线来表示的话，我们可以把这张地图转变成一张怎样的图？想一想，并试着画一画。
展示学生不同的画法并进行评价。
2.谈话：当年欧拉也和同学们一样有着相同的想法，我们一起来看一下，首先用A、B、C、D四个点来表示图上的4个区域，连接AC的有2座桥（画2条线）……
3.揭示：其实这样一来，刚才的能不能不重复的一次走遍这些桥就转化成了能不能从某一点出发，不重复地一笔画出这个图形，通过预习，我们知道这其实就是一笔画问题。
4.提问：你觉得把刚才的问题转化成一笔画问题有什么好处？
生1：看起来就没那么复杂了。
生2：可以把问题变得更加清晰。
明确：是的，去掉了一些多余的要素，只保留了一些关键的要素，这样就更加便于观察和分析了。 5.提问：刚才我们发现能不能走得通和与岛相连的桥的数量有关，那么相应的在一笔画问题中，能不能一笔画成应该和什么有关？
生：应该和与点相连的线的数量有关。
追问并揭示：你们都有这样的感觉吗？当年欧拉也是这样想的，于是他把与奇数条边相连的点称为奇点，与偶数条边相连的点称为偶点（指着黑板上的点线图，选择3～4个点引导学生说一说）。
6.谈话：认识了奇点和偶点，那么一笔画图形与奇点、偶点之间到底存在怎样的关系呢？课前，我们已经通过预习确定了这些图形是一笔画图形，在这10张图中，其实你可以首先排除哪张图？
生：第10张。
追问：为什么？
生：因为第10张图各部分之间没有相连。
明确：也就是说一笔画图形的各部分之间首先应该是相连的，相通的，我们把这样的图称为连通图。剩下的九张连通图，我们可以根据是不是一笔画图形分成这样两类，数一数，数出图中奇点、偶点的个数，记录在表格中，比较表格中的数据，把你的发现和同桌互相说一说。
生：……
7.谈话：是的，奇点的个数只能是0个或2个，与偶点的个数无关，而不是一笔画图形的奇点的个数也就不可能是0个或2个，同学们可以课后再去举更多的例子进行验证。
8.设疑：我们再来看这6个一笔画图形，有的奇点是0个，有的奇点是2个，它们所对应的一笔画图形又会有怎样的不同呢？这些不能一笔画成的图形，它们需要几笔才能画成呢？又与什么有关呢？课后同学们可以顺着这节课的思路继续去研究。
三、方法的运用——解决数学化的问题
1.谈话：接下来，让我们再次回到生活中。
出示：这是某街区的平面图，一辆洒水车要给所有的街道洒水，这辆洒水车能不重复的一次走遍所有街道吗？
要求：
想一想：我们可以怎么思考这个问题。
画一画：根据平面图，画出相应的点线图。
数一数：数出图中奇点的个数并判断能否不重复的一次走遍所有街道。
2.按照要求自己先做一做。
3.展示交流。
谈话：老师发现同学们都把情境图转化成了这样的点线图，看来同学们都能像数学家一样去思考问题，那么转化之后我们再干吗呢？
生：数奇点的个数。
明确：是的，那么奇点有多少个呢？
学生数一数并解决问题。
4.提问：回顾这节课，我们经历了怎样的过程？
学生自由地说一说。
四、主题的拓展——丰富对名题的认知
谈话：其实，和七桥问题相关的问题还有很多，例如，中国邮递员问题，哈密顿回路，有兴趣的同学们可以课后继续去研究。
【教学评析】
钱老师执教的“七桥问题”是一道经典的数学名题，从数学发展的历史看，七桥问题的解决开创了“拓扑学”的先河，有了“图论”的诞生；从数学应用的角度看，七桥问题的研究很好地渗透了史宁中教授所说的“抽象、模型和推理”三大思想；从数学认知的过程看，七桥问题的研究展现了人们的数学思维不断求简、不断创新的独特魅力。因此，本节课的教学内容很具有数学价值，非常值得学生去探究、思考与发现。
教学中，钱老师将数学问题产生的背景和数学家求解的过程转化成学生学习的情境，让学生在这样的情境中去体验，去感悟，去思考，去发现，经历了由七桥问题到一笔画问题的数学化的抽象过程。当然这样的过程是基于数学家欧拉发现数学问题的过程展开的，学生的思维和数学家的数学活动是有一定区别的，因此，“八桥”这一环节的设计就恰好给学生的思维提供了一个台阶，使得学生也能在自己的思维层次上像数学家那样去思考。
当学生在对现实问题进行探究的时候，其实已经对能否不重复的一次通过和桥的数量之间存在关系有了一定的感觉，所以在抽象成一笔画问题后，引导学生探究一笔画图形与奇点、偶点之间的关系也就显得顺其自然了。本节课只安排了一道练习，这一题的设计不仅仅是针对知识的运用，更是针对学生将现实问题抽象成数学问题并用数学的方法来解决问题的这样一个过程的进一步感悟，设计得很巧妙，真正做到了简约而不简单。
数学化的过程是内化数学思想的过程，蕴含着由具体到抽象再到具体的数学思维活动，它让数学名题不是一种静态的文化资源，而是能深入到数学的思想当中去，让学生体会到数学的本质，这也正是本节课最大的亮点。
【作者简介】
钱程，中小学一级教师，常州市蒋守成名师工作室成员，曾获金坛区小学数学青年教师基本功竞赛一等奖，蒋守成乡村骨干教师培育站优秀课评比一等奖。
蒋守成，江苏省小学数学特级教师，江苏省“333高层次人才培养工程”培养对象，江苏省教科研先進个人，江苏省乡村骨干教师培育站主持人，常州市名师工作室优秀领衔人，常州市中青年专业技术拔尖人才，常州市教育领军人才，金坛市首届名教师，《小学生数学报》兼职编辑，常州市金坛区朝阳小学校长。多年来，他始终坚持站在儿童的立场去研究儿童，连续主持了省“九五”“十五”“十一五”“十二五”规划立项课题和重点资助课题，获江苏省基础教育成果一等奖，出版了1—6年级数学读本《走进你知道吗》，出版了主题思维丛书《图形王国》等四本，在研究中他提出了小学数学主题拓展教学的主张，在《江苏教育》《生活教育》《学校管理》《江苏教育报》《小学教学设计》《江苏教育新时空》等媒体进行了研究成果的推广和专题报道，他应邀到上海、北京、浙江、山东、河南、河北、湖南、湖北、内蒙古等22个省市自治区上数学研究课、做专题报告。
1.通过对七桥问题的研究，明晰七桥问题的内涵与本质，进而发现一笔画图形的特征，并能运用所学知识解决简单的实际问题。
2.引导学生经历数学化的过程，体悟抽象、模型和推理的数学思想方法，发展学生的数学素养。
3.学生在数学活动中学会积极地自主探究与合作交流，获得成功的体验，体会数学学习的乐趣。
【教学重难点】感受数学抽象，体会数学建模，掌握研究方法。
【教学过程】
课前预习并交流：
《有趣的七桥问题》预习单
下面哪些图形是“一笔画”图形？
解释：“一笔画”是指从图形的某一点出发，笔不离开纸，不间断、不重复地画完一个图形。
要求：
1.画一画：在图形右边的空白处试着画一画，看看哪些是一笔画图形。
2.写一写：把一笔画图形的序号写在横线上 。
① ②③ ④⑤
⑥ ⑦⑧ ⑨ ⑩
一、名题的引入——感受数学史的魅力
1.谈话：在人类历史的发展潮流中，涌现出了很多著名的数学家，产生了很多有趣的数学问题，今天这节课，就让我们一起走进历史，走进18世纪。
课件出示“七桥问题”。
18世纪的哥尼斯堡城（今俄罗斯加里宁格勒）的普莱格尔河上有7座桥，连接河中的两个岛A、B和河岸C、D，如图所示。城中的居民经常沿河过桥散步，有一天，一位居民在散步时提出了一个问题：能否不重复的一次走遍这7座桥，最后又回到起始地点呢？
2.揭示：这就是历史上著名的七桥问题，这个问题很快在当地传开了，每一位到这里来散步的人都想走一走，甚至有的人索性把它画成了地图，拿回家有空时就在纸上画一画。
3.提问：今天老师也给同学们准备了当年普莱格尔河的地图，你们想一想也来尝试一下。请同学们拿出学习单1，用铅笔尝试着在图中画一画。
学习单1
问题：从任意一个河岸或岛屿出发，能否不重复的一次走遍这七座桥呢？
用铅笔尝试着在图中画一画。
交流明确：不管怎么走，总有至少一座桥没有走到。
二、名题的研究——经历数学化的过程
（一）八桥的引入，发现问题的关键要素
收集学生资源，出示下图。
1.提问：如果要继续走下去，我们可以怎么办？
生：再架一座桥。
追问：架在哪里？接下去又该怎么走呢？
引领学生用手指一指并比划着走一走。
2.谈话：确实，再架一座桥就能不重复的一次走完，那这座桥除了架在这里，还能架在哪里呢？是不是也能不重复的一次走完呢？请同学们拿出学习单2。
要求：想一想，这座桥可以架在哪里，为了區分，用不同颜色的笔画出桥和行走的路线。
学习单2
问题：再架一座桥，是不是可以不重复的一次走遍这八座桥呢？
教师巡视并搜集展示学生不同的作业（板贴部分学生作品）。
3.提问：它们架桥的位置不同，但从他们行走的路线来看，都能不重复的一次走完这八座桥，为什么七桥走不通，八桥却能走通呢？你觉得可能是由什么原因造成的？小组讨论。
生1：我觉得和桥的数量有关。
生2：我也觉得和桥的数量有关。
4.谈话：你们是不是也有这样的感觉？老师这儿准备了这样两张图：
我们先来看这张图（八桥），如果我们从A岛出发，那么经过B岛的时候，必然由一座桥进入，由另一座桥出去，有进有出，也就是说与中间的岛相连的桥的数量应该是一个（偶数）；我们再来看这张图（七桥），先数一数与陆地和岛屿相连的桥的数量分别是多少？
生：A岛5个，B岛3个，C岛3个，D岛3个。
明确：都是奇数，不管从哪里出发，我们能不能做到与中间的陆地或岛相连的桥的数量是偶数？
生：不能。
5.启发：例如不管是从A岛还是C岛或D岛出发，当经过B岛的时候，由一座桥进入，另一座桥出去，再由这座桥进入，然后呢？
生：没桥出去了。
明确：是的，通过分析我们再一次感觉到能不能走通和与岛相连的桥的数量有关。
6.提问：七桥走不通，八桥可以走通，十桥呢？二十桥呢？当问题越来越复杂的时候，如果我们继续在这样的图上去画，你会有怎样的感觉？
生：会感觉很麻烦。
（二）问题的抽象，体会数学化的价值
1.提问：那么我们有什么办法可以把这样的图变得简单呢？在回答这个问题之前，我们不妨先来思考，你觉得能不能走通和岛的大小、桥的长短有没有关系？
生：没有。
引导：既然没有关系，那么如果我们把七桥问题中的A、B、C、D这4个区域不断缩小，最后变成一个点，而图中的桥用线来表示的话，我们可以把这张地图转变成一张怎样的图？想一想，并试着画一画。
展示学生不同的画法并进行评价。
2.谈话：当年欧拉也和同学们一样有着相同的想法，我们一起来看一下，首先用A、B、C、D四个点来表示图上的4个区域，连接AC的有2座桥（画2条线）……
3.揭示：其实这样一来，刚才的能不能不重复的一次走遍这些桥就转化成了能不能从某一点出发，不重复地一笔画出这个图形，通过预习，我们知道这其实就是一笔画问题。
4.提问：你觉得把刚才的问题转化成一笔画问题有什么好处？
生1：看起来就没那么复杂了。
生2：可以把问题变得更加清晰。
明确：是的，去掉了一些多余的要素，只保留了一些关键的要素，这样就更加便于观察和分析了。 5.提问：刚才我们发现能不能走得通和与岛相连的桥的数量有关，那么相应的在一笔画问题中，能不能一笔画成应该和什么有关？
生：应该和与点相连的线的数量有关。
追问并揭示：你们都有这样的感觉吗？当年欧拉也是这样想的，于是他把与奇数条边相连的点称为奇点，与偶数条边相连的点称为偶点（指着黑板上的点线图，选择3～4个点引导学生说一说）。
6.谈话：认识了奇点和偶点，那么一笔画图形与奇点、偶点之间到底存在怎样的关系呢？课前，我们已经通过预习确定了这些图形是一笔画图形，在这10张图中，其实你可以首先排除哪张图？
生：第10张。
追问：为什么？
生：因为第10张图各部分之间没有相连。
明确：也就是说一笔画图形的各部分之间首先应该是相连的，相通的，我们把这样的图称为连通图。剩下的九张连通图，我们可以根据是不是一笔画图形分成这样两类，数一数，数出图中奇点、偶点的个数，记录在表格中，比较表格中的数据，把你的发现和同桌互相说一说。
生：……
7.谈话：是的，奇点的个数只能是0个或2个，与偶点的个数无关，而不是一笔画图形的奇点的个数也就不可能是0个或2个，同学们可以课后再去举更多的例子进行验证。
8.设疑：我们再来看这6个一笔画图形，有的奇点是0个，有的奇点是2个，它们所对应的一笔画图形又会有怎样的不同呢？这些不能一笔画成的图形，它们需要几笔才能画成呢？又与什么有关呢？课后同学们可以顺着这节课的思路继续去研究。
三、方法的运用——解决数学化的问题
1.谈话：接下来，让我们再次回到生活中。
出示：这是某街区的平面图，一辆洒水车要给所有的街道洒水，这辆洒水车能不重复的一次走遍所有街道吗？
要求：
想一想：我们可以怎么思考这个问题。
画一画：根据平面图，画出相应的点线图。
数一数：数出图中奇点的个数并判断能否不重复的一次走遍所有街道。
2.按照要求自己先做一做。
3.展示交流。
谈话：老师发现同学们都把情境图转化成了这样的点线图，看来同学们都能像数学家一样去思考问题，那么转化之后我们再干吗呢？
生：数奇点的个数。
明确：是的，那么奇点有多少个呢？
学生数一数并解决问题。
4.提问：回顾这节课，我们经历了怎样的过程？
学生自由地说一说。
四、主题的拓展——丰富对名题的认知
谈话：其实，和七桥问题相关的问题还有很多，例如，中国邮递员问题，哈密顿回路，有兴趣的同学们可以课后继续去研究。
【教学评析】
钱老师执教的“七桥问题”是一道经典的数学名题，从数学发展的历史看，七桥问题的解决开创了“拓扑学”的先河，有了“图论”的诞生；从数学应用的角度看，七桥问题的研究很好地渗透了史宁中教授所说的“抽象、模型和推理”三大思想；从数学认知的过程看，七桥问题的研究展现了人们的数学思维不断求简、不断创新的独特魅力。因此，本节课的教学内容很具有数学价值，非常值得学生去探究、思考与发现。
教学中，钱老师将数学问题产生的背景和数学家求解的过程转化成学生学习的情境，让学生在这样的情境中去体验，去感悟，去思考，去发现，经历了由七桥问题到一笔画问题的数学化的抽象过程。当然这样的过程是基于数学家欧拉发现数学问题的过程展开的，学生的思维和数学家的数学活动是有一定区别的，因此，“八桥”这一环节的设计就恰好给学生的思维提供了一个台阶，使得学生也能在自己的思维层次上像数学家那样去思考。
当学生在对现实问题进行探究的时候，其实已经对能否不重复的一次通过和桥的数量之间存在关系有了一定的感觉，所以在抽象成一笔画问题后，引导学生探究一笔画图形与奇点、偶点之间的关系也就显得顺其自然了。本节课只安排了一道练习，这一题的设计不仅仅是针对知识的运用，更是针对学生将现实问题抽象成数学问题并用数学的方法来解决问题的这样一个过程的进一步感悟，设计得很巧妙，真正做到了简约而不简单。
数学化的过程是内化数学思想的过程，蕴含着由具体到抽象再到具体的数学思维活动，它让数学名题不是一种静态的文化资源，而是能深入到数学的思想当中去，让学生体会到数学的本质，这也正是本节课最大的亮点。
【作者简介】
钱程，中小学一级教师，常州市蒋守成名师工作室成员，曾获金坛区小学数学青年教师基本功竞赛一等奖，蒋守成乡村骨干教师培育站优秀课评比一等奖。
蒋守成，江苏省小学数学特级教师，江苏省“333高层次人才培养工程”培养对象，江苏省教科研先進个人，江苏省乡村骨干教师培育站主持人，常州市名师工作室优秀领衔人，常州市中青年专业技术拔尖人才，常州市教育领军人才，金坛市首届名教师，《小学生数学报》兼职编辑，常州市金坛区朝阳小学校长。多年来，他始终坚持站在儿童的立场去研究儿童，连续主持了省“九五”“十五”“十一五”“十二五”规划立项课题和重点资助课题，获江苏省基础教育成果一等奖，出版了1—6年级数学读本《走进你知道吗》，出版了主题思维丛书《图形王国》等四本，在研究中他提出了小学数学主题拓展教学的主张，在《江苏教育》《生活教育》《学校管理》《江苏教育报》《小学教学设计》《江苏教育新时空》等媒体进行了研究成果的推广和专题报道，他应邀到上海、北京、浙江、山东、河南、河北、湖南、湖北、内蒙古等22个省市自治区上数学研究课、做专题报告。