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【摘 要】立体几何是中职生学习数学的难点，善于运用数学软件教学，能够化难为易，提升学生学习立体几何的兴趣并增强其实效。本文通过立体几何的具体课例，详细说明运用玲珑画板设计数学实验，使教学内容理性而直观，有效突出教学重点，化解教学难点。
【关键词】立体几何；玲珑画板；数学实验
【中图分类号】G712 【文献标识码】B
【论文编号】1671-7384（2018）09-094-03
立体几何在中职数学课程中占有比较重要的地位，它是培养学生空间想象能力和逻辑思维能力的主要素材。在传统数学教学中，教师多以理论实证为主要讲解方法，对于学习基础相对较差的中职生来说，少直观难入微，不易理解，因此，立体几何也是许多学生学习数学的难点。
玲珑画板是一款实用、灵活、方便的立体教学软件。它能帮助数学老师轻松备课、授课，快速制作及展示三维动态图形，使易错难讲的数学概念、数学问题更易懂，把数学课堂讲活。笔者从2012年开始接触玲珑画板，一直不间断地进行软件的学习应用，凭借玲珑画板有效辅助教学。下面以《直线与平面垂直》为例，分享玲珑画板在立体几何教学中的一些应用。
课前笔者根据教学内容制作微课，并上传至网络教学平台，学生利用课外时间进行自主学习，然后在教学平台上反馈学习难点。从学生的反馈来看，他们对于直线与平面垂直的定义、直线与平面垂直的判定定理缺乏深入的理解，难以建立知识认同，大部分学生不能运用定义和定理解决问题。针对学生的困惑，笔者设计了三个数学实验，在授课时通过教学平台适时发布，学生根据任务书在电脑上进行实验探究，打破空间限制，进行交互式的空间体验，从而更加深刻地理解知识。
困惑一：直线与平面垂直的定义——如果一条直线与平面内的任意一条直线都垂直，那么就称这条直线与这个平面垂直。这个定义在授课时教师大多是直接给出或者通过几个生活实例进行表象归纳，缺乏严格的数学论证，如果要逐一验证直线与平面内的任意直线都垂直又不现实，通过玲珑画板的数学实验便可以完美解决这一问题。
数学实验一：教师在课前利用玲珑画板软件先制作完成如图1所示教学课件。在课堂上发布给学生并进行演示：在平面内任意做一条直线，选中垂线和该直线，利用菜单栏中的角工具可以测量角度。双击该角，将显示小数位数改为1，那么可以测得该角为90°。
学生在自己的电脑上做实验，可在平面内任意取多条直线验证，发现该垂线与平面内任意直线所成的角均为90°，完成后还可通过“透视图”观看3D效果，通过鼠标控制，可以随意翻转图形，任意角度观察。这个数学实验有效避免了传统数学教学中角度测量困难和存在误差的问题，通过全三维的数值计算使空间关系得到充分验证，从而让学生通过直观感知升华为理性认识。
困惑二：错误命题辨析——如果一条直线与平面内的无数条直线都垂直，那么这条直线就与这个平面垂直。仔细阅读，不难发现，该命题将定义中的“任意”替换为“无数”，表达的意思却截然不同。“任意”一条直线就是所有的直线。它与无数条不同，无数条直线不能代表所有的直线。但是这恰是学生易出错的一个点，由于缺乏空间想象力，他们很难做出理性的判断，因此笔者设计了数学实验二，帮助学生认清“任意”与“无数”的不同本质。
数学实验二：教师课前完成如图2所示的初步实验设计工作。学生在电脑上根据操作提示做实验，首先用角工具测得直线PA与直线m的夹角为90°，以此确认平面α外的一条直线PA与平面内的一条直线m垂直，但不与平面α垂直。然后拖动控制点M，发现直线m可平移至平面内的任意位置，拖动其他三个控制点，可将直线m分别平移至不同的位置，根据平行线的传递性可知，直线m与其平移得到的四条直线都平行，所以直线PA与这四条直线都垂直，可以通过测量加以确认。最后进行推理，直线m在平面内的平行线有无数条，因此直线PA就与平面内的无数条直线垂直，但PA不垂直该平面。学生还可通过透视图观看三维动画，进行多角度观察。这个数学实验将学生的学习盲点轻松化解，引导学生由平面思维过渡到空间思维，既能培养学生的学习兴趣，又能潜移默化地培养学生空间想象能力，通过自主探究的过程，进一步优化直观教学。
困惑三：直线与平面垂直的判定定理——如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线与这个平面垂直。这个定理是本节课的一个重点，但如何证明也是个难点。传统的证明方法要做很多辅助线，而且需要严密的推理，对中职学生来说理解起来非常困难，笔者设计了第三个数学实验，让学生不费吹灰之力就能“看懂”定理的来龙去脉。
数学实验三：教师课前完成如图3所示的实验初步设计工作。学生根据操作提示做实验，首先用角工具测得直线l与直线m、n的夹角均为90°，验证定理的条件—— 一条直线与平面内的两条相交直线垂直；然后拖动第一个控制点M，将直线m、n的位置改变，再次测量直线l与直线m、n的夹角，发现仍然为90°，可多次拖动点M进行测量，可以得出结论“这条直线与平面内经过垂足的所有直线都垂直”。然后再拖动第二个和第三个控制点，可将直线m、n平移至平面的任意位置，此时直线l仍然与这些平移直线垂直，从而得出结论“这条直线与平面内所有直线都垂直”，根据直线与平面垂直的定义可知，直线l与平面α垂直。也有的学生提出疑问：“如果这两条相交直线不经过垂足，也能推出线面垂直吗？”学生再拖动第四个控制点，发现不管这两条相交直线位于平面的什么位置，都可以平移至垂足处，所以可以归结为第一个问题。这个数学实验，将复杂的理论推导转变为实验验证，学生既能通过动手操作获得直观感知，提升空间想象能力，又能通過集体讨论获得理性认知，形成科学严谨的学习态度。
玲珑画板依据点、线、面的位置关系研究图形性质，学生动手做实验的过程，实质上就是空间思维逐步建立的过程。加上玲珑画板独特的三维视图，让学生多角度全方位地观察立体图形，有助于学生在脑海中构建空间图形，有效培养其空间想象能力。与传统教学相比较，玲珑画板深入课堂，为学生提供了“看得见”的数学模型，让学生眼见为实，在愉悦的数学探究活动中达到对知识的消化理解，最大限度地凸显“做中教、做中学”的职教理念。
《教育信息化“十三五”规划》指出：“积极组织推进多种形式的信息化教学活动，鼓励教师利用信息技术创新教学模式，推动形成‘课堂用、经常用、普遍用’的信息化教学新常态。”因此，教师要善于运用教学资源、教学工具，努力创建符合学生个性化学习和加强实践技能培养的教学环境，用技术支持数学教育，从而提高教学的效率和效果。
参考文献
沈耘.基于问题解决的信息技术教学设计研究[J].中小学信息技术教育，2016（6）.
李林.几何画板软件在中职数学教学中的应用[J].职业·中旬，2013（7）.
陈士芹.数学教师信息技术能力手册[M].北京：高等教育出版社，2012.
【关键词】立体几何；玲珑画板；数学实验
【中图分类号】G712 【文献标识码】B
【论文编号】1671-7384（2018）09-094-03
立体几何在中职数学课程中占有比较重要的地位，它是培养学生空间想象能力和逻辑思维能力的主要素材。在传统数学教学中，教师多以理论实证为主要讲解方法，对于学习基础相对较差的中职生来说，少直观难入微，不易理解，因此，立体几何也是许多学生学习数学的难点。
玲珑画板是一款实用、灵活、方便的立体教学软件。它能帮助数学老师轻松备课、授课，快速制作及展示三维动态图形，使易错难讲的数学概念、数学问题更易懂，把数学课堂讲活。笔者从2012年开始接触玲珑画板，一直不间断地进行软件的学习应用，凭借玲珑画板有效辅助教学。下面以《直线与平面垂直》为例，分享玲珑画板在立体几何教学中的一些应用。
课前笔者根据教学内容制作微课，并上传至网络教学平台，学生利用课外时间进行自主学习，然后在教学平台上反馈学习难点。从学生的反馈来看，他们对于直线与平面垂直的定义、直线与平面垂直的判定定理缺乏深入的理解，难以建立知识认同，大部分学生不能运用定义和定理解决问题。针对学生的困惑，笔者设计了三个数学实验，在授课时通过教学平台适时发布，学生根据任务书在电脑上进行实验探究，打破空间限制，进行交互式的空间体验，从而更加深刻地理解知识。
困惑一：直线与平面垂直的定义——如果一条直线与平面内的任意一条直线都垂直，那么就称这条直线与这个平面垂直。这个定义在授课时教师大多是直接给出或者通过几个生活实例进行表象归纳，缺乏严格的数学论证，如果要逐一验证直线与平面内的任意直线都垂直又不现实，通过玲珑画板的数学实验便可以完美解决这一问题。
数学实验一：教师在课前利用玲珑画板软件先制作完成如图1所示教学课件。在课堂上发布给学生并进行演示：在平面内任意做一条直线，选中垂线和该直线，利用菜单栏中的角工具可以测量角度。双击该角，将显示小数位数改为1，那么可以测得该角为90°。
学生在自己的电脑上做实验，可在平面内任意取多条直线验证，发现该垂线与平面内任意直线所成的角均为90°，完成后还可通过“透视图”观看3D效果，通过鼠标控制，可以随意翻转图形，任意角度观察。这个数学实验有效避免了传统数学教学中角度测量困难和存在误差的问题，通过全三维的数值计算使空间关系得到充分验证，从而让学生通过直观感知升华为理性认识。
困惑二：错误命题辨析——如果一条直线与平面内的无数条直线都垂直，那么这条直线就与这个平面垂直。仔细阅读，不难发现，该命题将定义中的“任意”替换为“无数”，表达的意思却截然不同。“任意”一条直线就是所有的直线。它与无数条不同，无数条直线不能代表所有的直线。但是这恰是学生易出错的一个点，由于缺乏空间想象力，他们很难做出理性的判断，因此笔者设计了数学实验二，帮助学生认清“任意”与“无数”的不同本质。
数学实验二：教师课前完成如图2所示的初步实验设计工作。学生在电脑上根据操作提示做实验，首先用角工具测得直线PA与直线m的夹角为90°，以此确认平面α外的一条直线PA与平面内的一条直线m垂直，但不与平面α垂直。然后拖动控制点M，发现直线m可平移至平面内的任意位置，拖动其他三个控制点，可将直线m分别平移至不同的位置，根据平行线的传递性可知，直线m与其平移得到的四条直线都平行，所以直线PA与这四条直线都垂直，可以通过测量加以确认。最后进行推理，直线m在平面内的平行线有无数条，因此直线PA就与平面内的无数条直线垂直，但PA不垂直该平面。学生还可通过透视图观看三维动画，进行多角度观察。这个数学实验将学生的学习盲点轻松化解，引导学生由平面思维过渡到空间思维，既能培养学生的学习兴趣，又能潜移默化地培养学生空间想象能力，通过自主探究的过程，进一步优化直观教学。
困惑三：直线与平面垂直的判定定理——如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线与这个平面垂直。这个定理是本节课的一个重点，但如何证明也是个难点。传统的证明方法要做很多辅助线，而且需要严密的推理，对中职学生来说理解起来非常困难，笔者设计了第三个数学实验，让学生不费吹灰之力就能“看懂”定理的来龙去脉。
数学实验三：教师课前完成如图3所示的实验初步设计工作。学生根据操作提示做实验，首先用角工具测得直线l与直线m、n的夹角均为90°，验证定理的条件—— 一条直线与平面内的两条相交直线垂直；然后拖动第一个控制点M，将直线m、n的位置改变，再次测量直线l与直线m、n的夹角，发现仍然为90°，可多次拖动点M进行测量，可以得出结论“这条直线与平面内经过垂足的所有直线都垂直”。然后再拖动第二个和第三个控制点，可将直线m、n平移至平面的任意位置，此时直线l仍然与这些平移直线垂直，从而得出结论“这条直线与平面内所有直线都垂直”，根据直线与平面垂直的定义可知，直线l与平面α垂直。也有的学生提出疑问：“如果这两条相交直线不经过垂足，也能推出线面垂直吗？”学生再拖动第四个控制点，发现不管这两条相交直线位于平面的什么位置，都可以平移至垂足处，所以可以归结为第一个问题。这个数学实验，将复杂的理论推导转变为实验验证，学生既能通过动手操作获得直观感知，提升空间想象能力，又能通過集体讨论获得理性认知，形成科学严谨的学习态度。
玲珑画板依据点、线、面的位置关系研究图形性质，学生动手做实验的过程，实质上就是空间思维逐步建立的过程。加上玲珑画板独特的三维视图，让学生多角度全方位地观察立体图形，有助于学生在脑海中构建空间图形，有效培养其空间想象能力。与传统教学相比较，玲珑画板深入课堂，为学生提供了“看得见”的数学模型，让学生眼见为实，在愉悦的数学探究活动中达到对知识的消化理解，最大限度地凸显“做中教、做中学”的职教理念。
《教育信息化“十三五”规划》指出：“积极组织推进多种形式的信息化教学活动，鼓励教师利用信息技术创新教学模式，推动形成‘课堂用、经常用、普遍用’的信息化教学新常态。”因此，教师要善于运用教学资源、教学工具，努力创建符合学生个性化学习和加强实践技能培养的教学环境，用技术支持数学教育，从而提高教学的效率和效果。
参考文献
沈耘.基于问题解决的信息技术教学设计研究[J].中小学信息技术教育，2016（6）.
李林.几何画板软件在中职数学教学中的应用[J].职业·中旬，2013（7）.
陈士芹.数学教师信息技术能力手册[M].北京：高等教育出版社，2012.