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数列问题是高考的重要考查对象.在“数列”复习中，容易出现下面复习着力点偏差的错误.许多同学只把等差数列、等比数列当成复习的重点，其它知识一带而过，比如递推公式、数列的前n项和Sn与an的关系复杂数列的求和问题等.从近几年各地的高考题来看，这些知识考查的频率很高，应当引起我们充分的重视.下面是我对这部分知识的简单总结，供大家参考.
一、对递推公式要给予足够的重视
所谓递推公式，就是已知数列的第一项或前几项以及数列中相邻两项或几项的关系式，从而推出数列的其它项.这部分知识在课本上属于选学内容，不容易引起大家的重视.但从近几年高考看，对递推公式的考查程度增加，在高三复习中要引起足够的重视，具体地讲：
1、要适应用递推公式给出数列的方式，能根据递推公式写出这个数列.尤其要知道an+1-an=2，或an+1=an-2，是表示该数列为等差数列， =2，或an+1=2an则表示该数列为等比数列.
2、必须掌握一些特殊类型的递推公式,如:an+1-an=kn型、 = 型；an+1=kan+b型.
例1 （07湖北省文科第20题）
已知数列{an}和{bn}满足：a1=1，a2=2，an>0，bn= （n∈N*），且{bn}是以q为公比的等比数列.
（I）证明：an+2=anq2；
（II）若cn=a2n-1+2a2n，证明数列{cn}是等比数列.
此题第一问解决时，就要用到等比数列的递推公式: =q，第二要证明{cn}是等比数列，再用递推公式转化为证 =常数.对此种转化不熟的同学肯定吃亏.
例2 （07年辽宁省理科第20题）
已知数列{an}，{bn}满足a1=2，b1=1，且an= an-1+ bn-1+1bn= an-1+ bn-1+1（n≥2）
（I）令cn=an+bn，求数列{cn}的通项公式；
（II）求数列{an}的通项公式及前n项和公式Sn .
此题乍一看，形式挺复杂，但将已知的两式相加，就容易得到:cn=cn-1+2，（n≥2），这是等差数列递推公式，因此容易得到数列{cn}的通项公式，在第二问的解答中，还要再设一个辅助数列{Bn}，Bn=an-bn，这是因为从已知的式子可知an-bn= (an-1-bn-1)，从而Bn= Bn-1，（n≥2），这是等比数列的递推公式，也就容易得到{Bn}的通项公式，配合cn=an+bn的通项公式，就容易得出数列{an}的通项公式及前n项和公式Sn .
例3 （07年北京卷第15题）
数列an中，a1=2，an+1=an+cn（c是常数，n=1，2，3，…），且a1，a2，a3成公比不为1的等比数列.
（I）求c的值；
（II）求{an}的通项公式.
解答此题，也是首先要能从递推公式写出数列的前3项，从而得出c的值，对递推公式an+1=an+cn看，这是典型的用迭加法求通项公式的问题，熟悉的同学会很快解出{an}的通项公式.和迭加法类似的还有迭乘法求已知a1， = 型数列的通项公式，也要引起我们的重视.
例4 （07年全国卷I第22题第一问）
已知数列{an}中，a1=2，an+1=( -1)(an+2),n=1,2,3,…
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
例5 （07年全国卷II第21题第一问）
数列{an}的首项a1∈(0,1),an= ，n=2,3,4,…
（1）求{an}的通项公式；
这两个题的解决都要用到一种特殊的递推公式:an+1=λan+k(k,λ是不为0，且λ不为1的常数)，这种递公式给出的数列，既不是等差数列，也不是等比数列.但给它的每一项都加上一个相同的数 之后，就会成为等比数列，例4中an+1- =( -1)(an- )，所以{an- }就成了公比为 -1的等比数列.例5中an-1=- (an-1-1)，n=2,3,4….也成了等比数列，这与2007年山东省第21题:
已知数列{an}的首项a1=5,前n项和为Sn，且Sn+1=2Sn+n
+5(n∈N*)
（I）证明数列{an+1}是等比数列；
考查的知识点是一样的.
二、要注意熟练掌握数列的前n项和Sn与an的关系
这种关系准确的表述是:an= S1n=1Sn-Sn-1 n≥2，在课本上同学们找不到专门的一节讲这一关系，看起来并不重要，但在高考中却久考不衰，不少的同学由于对此重视不够.屡屡出错.提醒同学们注意三点:
(1)要理解公式的实质，不能死记硬背，比如已知数列{an}的前n项和Sn=n3，求a6+a7+a8的值.对此题有的同学想靠套路，从Sn求an，再由an求出a6+a7+a8，其实，a6+a7+a8=S8-S5，理解了就很容易.
(2)对n=1这一特殊之处，要引起足够的重视，不能错误地认为an=Sn-Sn-1.比如:
已知数列{an}的前n项和Sn=2n2-n+3，则其通项公式an= .
这就是一道很容易出错的题，其通项公式是：
an= 4 n=14n-3n n≥2.
(3)掌握这类问题解题的一般技巧，会从已知的代数式，再类推出一个相近的代数式，再相减，以达到求an的目的.仅07年高考中，就有三地的高考题重点考查了这一技巧:
例6 （07年湖南省文科第20题第一问）
设Sn是数列{an}（n∈N*）的前n项和，a1=a，且S=3n2an+
S，an≠0，n=2,3,4….
（I）证明：数列{an+2-an}（n≥2）是常数数列.
此题的解法是：
因：S=3n2an+S，an≠0得出：S-S=3n2an，
∴(Sn-Sn-1)(Sn+Sn-1)=3n2an
所以：an(Sn+Sn-1)=3n2an，而an≠0，所以Sn+Sn-1=3n2……（1）
由（1）得：Sn+Sn-1=3(n+1)2……（2）
（1）-（2）得：Sn+1-Sn-1=3(2n+1)，即：an+1+an=6n+3……（3）
由（3）得：an+2+an+1=6(n+1)+3……（4）
（4）-（3）得an+2-an=6，所以{an+2-an}（n≥2）是常数数列.
解答中几次用到从一个关于n的代数式，类比到关于n+1的代数式，两式相减，这一技工是必须要掌握的.
例7 （07年重庆市第21题第一问）
已知各项均为正数的数列{an}的前n项和Sn满足S1>1，且6Sn=(an+1)(an+2)，n∈N.
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
解决的办法也是从6Sn=(an+1)(an+2)，n∈N得到6Sn=a+3an+2………(1) 6Sn+1=a+3an+1+2………(2)
(2)-(1)得:6an+1=(a-a)+3an+1-3an，移项得:
3(an+1+an)=(an+1-an)(an+1+an)，所以an+1-an=3，{an}是公差为3的等差数列.
把n=1代入(1)得:6a1=a+3a1+2，因为已知S1>1，所以a1=2.
因此an=3n-1.
例8 （07年陕西省第22题第1问）
已知各项全不为零的数列{ak}的前k项和为Sk，且Sk= akak+1(k∈N*)，其中a1=1.
(Ⅰ)求数列{ak}的通项公式;
解：当k=1，由a1=S1= a1a2及a1=1，得a2=2.
当k≥2时，由ak=Sk-Sk-1= akak+1- ak-1ak，得
ak(ak+1-ak-1)=2ak.
因为ak≠0，所以ak+1-ak-1=2.从而a2m-1=1+2(m-1)=2m-1，
a2m=2+2(m-1)=2m，m∈N*.故ak=k(k∈N*)
三、求和问题
对数的求和问题，要求同学们首先熟知等差、等比数列前n项和公式的推导过程、公式使用中要注意的问题.许多同学往往认为只要记住公式，会套用公式就行了.其实不然，因为推导过程本身就是一道很好的例题.同时只有真正的理解的所学知识，才能以不变应万变.在此基础上再重点掌握“裂项相消法”和“错位相减法”.
例1 （07福建2）数列{an}的前n项和为Sn，若an= ，则S5等于（ ）
A.1 B.C.D.
此题用裂项相消法最为快捷，如果对这种方法不熟练逐项求出前5项，再相加，显然是不可取的.且此题放在整套题第二题，可见对这种方法的要求.（答案：B）
例2 （07全国I文（21））设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13.
（Ⅰ）求{an}，{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{ }的前n项和Sn .
解：（Ⅰ）设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则依题意有q>0且1+2d+q4=21，1+4d+q2=13，解得d=2，q=2.
所以an=1+(n-1)d=2n-1，bn=qn-1=2n-1.
（Ⅱ） = .
Sn=1+ + +…+ + ，①
2Sn=2+3+ +…+ + ，②
②－①得Sn=2+2+ + +…+ - ，
=2+2×(1+ + +…+ )-
=2+2× -
=6- .
在第二步中，数列{ }既非等差数列又非等比数列，但是两类基本数列对应项的乘积，其求和方法就是错位相减法.它最早出现在课本上等比数列求和公式的推导中，实际上是把公式的推导进行了延伸.对这类问题要多练习几道，因为经验表明，遇到这种问题，有的同学虽然会解法，但却经常解不对.在项的符号、运算过程等细节上许多出现错误.在山东省07年高考题中，第一道解答题是：
设数列{an}满足a1+3a2+32a3+…+3n-1an= ，a∈N*.
（Ⅰ）求数列{an}的通项；
（Ⅱ）设bn= ，求数列{bn}的前n项和Sn .
此题第一步就要用错位相减法求出数列{an}的通项，出题老师认为很容易，但此题的得分率却不高.主要原因是很多同学使用错位相减法求和时出错.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。
一、对递推公式要给予足够的重视
所谓递推公式，就是已知数列的第一项或前几项以及数列中相邻两项或几项的关系式，从而推出数列的其它项.这部分知识在课本上属于选学内容，不容易引起大家的重视.但从近几年高考看，对递推公式的考查程度增加，在高三复习中要引起足够的重视，具体地讲：
1、要适应用递推公式给出数列的方式，能根据递推公式写出这个数列.尤其要知道an+1-an=2，或an+1=an-2，是表示该数列为等差数列， =2，或an+1=2an则表示该数列为等比数列.
2、必须掌握一些特殊类型的递推公式,如:an+1-an=kn型、 = 型；an+1=kan+b型.
例1 （07湖北省文科第20题）
已知数列{an}和{bn}满足：a1=1，a2=2，an>0，bn= （n∈N*），且{bn}是以q为公比的等比数列.
（I）证明：an+2=anq2；
（II）若cn=a2n-1+2a2n，证明数列{cn}是等比数列.
此题第一问解决时，就要用到等比数列的递推公式: =q，第二要证明{cn}是等比数列，再用递推公式转化为证 =常数.对此种转化不熟的同学肯定吃亏.
例2 （07年辽宁省理科第20题）
已知数列{an}，{bn}满足a1=2，b1=1，且an= an-1+ bn-1+1bn= an-1+ bn-1+1（n≥2）
（I）令cn=an+bn，求数列{cn}的通项公式；
（II）求数列{an}的通项公式及前n项和公式Sn .
此题乍一看，形式挺复杂，但将已知的两式相加，就容易得到:cn=cn-1+2，（n≥2），这是等差数列递推公式，因此容易得到数列{cn}的通项公式，在第二问的解答中，还要再设一个辅助数列{Bn}，Bn=an-bn，这是因为从已知的式子可知an-bn= (an-1-bn-1)，从而Bn= Bn-1，（n≥2），这是等比数列的递推公式，也就容易得到{Bn}的通项公式，配合cn=an+bn的通项公式，就容易得出数列{an}的通项公式及前n项和公式Sn .
例3 （07年北京卷第15题）
数列an中，a1=2，an+1=an+cn（c是常数，n=1，2，3，…），且a1，a2，a3成公比不为1的等比数列.
（I）求c的值；
（II）求{an}的通项公式.
解答此题，也是首先要能从递推公式写出数列的前3项，从而得出c的值，对递推公式an+1=an+cn看，这是典型的用迭加法求通项公式的问题，熟悉的同学会很快解出{an}的通项公式.和迭加法类似的还有迭乘法求已知a1， = 型数列的通项公式，也要引起我们的重视.
例4 （07年全国卷I第22题第一问）
已知数列{an}中，a1=2，an+1=( -1)(an+2),n=1,2,3,…
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
例5 （07年全国卷II第21题第一问）
数列{an}的首项a1∈(0,1),an= ，n=2,3,4,…
（1）求{an}的通项公式；
这两个题的解决都要用到一种特殊的递推公式:an+1=λan+k(k,λ是不为0，且λ不为1的常数)，这种递公式给出的数列，既不是等差数列，也不是等比数列.但给它的每一项都加上一个相同的数 之后，就会成为等比数列，例4中an+1- =( -1)(an- )，所以{an- }就成了公比为 -1的等比数列.例5中an-1=- (an-1-1)，n=2,3,4….也成了等比数列，这与2007年山东省第21题:
已知数列{an}的首项a1=5,前n项和为Sn，且Sn+1=2Sn+n
+5(n∈N*)
（I）证明数列{an+1}是等比数列；
考查的知识点是一样的.
二、要注意熟练掌握数列的前n项和Sn与an的关系
这种关系准确的表述是:an= S1n=1Sn-Sn-1 n≥2，在课本上同学们找不到专门的一节讲这一关系，看起来并不重要，但在高考中却久考不衰，不少的同学由于对此重视不够.屡屡出错.提醒同学们注意三点:
(1)要理解公式的实质，不能死记硬背，比如已知数列{an}的前n项和Sn=n3，求a6+a7+a8的值.对此题有的同学想靠套路，从Sn求an，再由an求出a6+a7+a8，其实，a6+a7+a8=S8-S5，理解了就很容易.
(2)对n=1这一特殊之处，要引起足够的重视，不能错误地认为an=Sn-Sn-1.比如:
已知数列{an}的前n项和Sn=2n2-n+3，则其通项公式an= .
这就是一道很容易出错的题，其通项公式是：
an= 4 n=14n-3n n≥2.
(3)掌握这类问题解题的一般技巧，会从已知的代数式，再类推出一个相近的代数式，再相减，以达到求an的目的.仅07年高考中，就有三地的高考题重点考查了这一技巧:
例6 （07年湖南省文科第20题第一问）
设Sn是数列{an}（n∈N*）的前n项和，a1=a，且S=3n2an+
S，an≠0，n=2,3,4….
（I）证明：数列{an+2-an}（n≥2）是常数数列.
此题的解法是：
因：S=3n2an+S，an≠0得出：S-S=3n2an，
∴(Sn-Sn-1)(Sn+Sn-1)=3n2an
所以：an(Sn+Sn-1)=3n2an，而an≠0，所以Sn+Sn-1=3n2……（1）
由（1）得：Sn+Sn-1=3(n+1)2……（2）
（1）-（2）得：Sn+1-Sn-1=3(2n+1)，即：an+1+an=6n+3……（3）
由（3）得：an+2+an+1=6(n+1)+3……（4）
（4）-（3）得an+2-an=6，所以{an+2-an}（n≥2）是常数数列.
解答中几次用到从一个关于n的代数式，类比到关于n+1的代数式，两式相减，这一技工是必须要掌握的.
例7 （07年重庆市第21题第一问）
已知各项均为正数的数列{an}的前n项和Sn满足S1>1，且6Sn=(an+1)(an+2)，n∈N.
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
解决的办法也是从6Sn=(an+1)(an+2)，n∈N得到6Sn=a+3an+2………(1) 6Sn+1=a+3an+1+2………(2)
(2)-(1)得:6an+1=(a-a)+3an+1-3an，移项得:
3(an+1+an)=(an+1-an)(an+1+an)，所以an+1-an=3，{an}是公差为3的等差数列.
把n=1代入(1)得:6a1=a+3a1+2，因为已知S1>1，所以a1=2.
因此an=3n-1.
例8 （07年陕西省第22题第1问）
已知各项全不为零的数列{ak}的前k项和为Sk，且Sk= akak+1(k∈N*)，其中a1=1.
(Ⅰ)求数列{ak}的通项公式;
解：当k=1，由a1=S1= a1a2及a1=1，得a2=2.
当k≥2时，由ak=Sk-Sk-1= akak+1- ak-1ak，得
ak(ak+1-ak-1)=2ak.
因为ak≠0，所以ak+1-ak-1=2.从而a2m-1=1+2(m-1)=2m-1，
a2m=2+2(m-1)=2m，m∈N*.故ak=k(k∈N*)
三、求和问题
对数的求和问题，要求同学们首先熟知等差、等比数列前n项和公式的推导过程、公式使用中要注意的问题.许多同学往往认为只要记住公式，会套用公式就行了.其实不然，因为推导过程本身就是一道很好的例题.同时只有真正的理解的所学知识，才能以不变应万变.在此基础上再重点掌握“裂项相消法”和“错位相减法”.
例1 （07福建2）数列{an}的前n项和为Sn，若an= ，则S5等于（ ）
A.1 B.C.D.
此题用裂项相消法最为快捷，如果对这种方法不熟练逐项求出前5项，再相加，显然是不可取的.且此题放在整套题第二题，可见对这种方法的要求.（答案：B）
例2 （07全国I文（21））设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13.
（Ⅰ）求{an}，{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{ }的前n项和Sn .
解：（Ⅰ）设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则依题意有q>0且1+2d+q4=21，1+4d+q2=13，解得d=2，q=2.
所以an=1+(n-1)d=2n-1，bn=qn-1=2n-1.
（Ⅱ） = .
Sn=1+ + +…+ + ，①
2Sn=2+3+ +…+ + ，②
②－①得Sn=2+2+ + +…+ - ，
=2+2×(1+ + +…+ )-
=2+2× -
=6- .
在第二步中，数列{ }既非等差数列又非等比数列，但是两类基本数列对应项的乘积，其求和方法就是错位相减法.它最早出现在课本上等比数列求和公式的推导中，实际上是把公式的推导进行了延伸.对这类问题要多练习几道，因为经验表明，遇到这种问题，有的同学虽然会解法，但却经常解不对.在项的符号、运算过程等细节上许多出现错误.在山东省07年高考题中，第一道解答题是：
设数列{an}满足a1+3a2+32a3+…+3n-1an= ，a∈N*.
（Ⅰ）求数列{an}的通项；
（Ⅱ）设bn= ，求数列{bn}的前n项和Sn .
此题第一步就要用错位相减法求出数列{an}的通项，出题老师认为很容易，但此题的得分率却不高.主要原因是很多同学使用错位相减法求和时出错.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。