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【摘要】在解决数学问题的时候应注意总结题目当中所蕴含的数学方法，有了好的方法，做起事情来也就事半功倍了。培养学生总结方法，提炼方法的能力，也就是培养学生的学习能力。
【关键词】数学问题；巧补图形
在立体几何当中有一类题型，直接在原图形上求解有一定的困难，如果变换思路，通过图形特征把图形补成相应的几何体，则可以使问题得到简化。下面举例说明此类问题的解法。
例1、正四面体ABCD棱长为 ，求外接球体积和与四条侧棱都相切的球的体积。
解：ABCD为正四面体，将之补成正方体，如图所示。可知正方体边长为1。正四面体外接球即为正方体外接球。半径为 。体积 与正四面体各棱都相切的球为正方体内切球，半径为 。体积
反思：这是最常见的一类补体问题，给出正四面体，很容易想到正四面体是正方体切割得到的，很多问题诸如长度，垂直关系等在正四面体中不易发现的量在正方体中都一目了然。就本题而言，要在正四面体当中确定球的球心位置，求出半径均有很大的计算量，而且容易出错，将问题放到正方体中，一切都迎刃而解，节省了大量的时间和精力。
例2、 如图，在三棱锥A-BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD
是公共斜边，且AD= ，BD=CD=1，另一侧面ABC是正三角形。
(1) 求证：AD⊥BC；
(2) 求二面角B-AC-D的余弦值；
(3) 在AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成300角？若存在，确定E点位置。
解：依照题意，可将图形补成如图所示的正方体，相应顶点如图，
（1） BC⊥QD，由三垂线定理逆定理得，AD⊥BC。
（2） 作BO⊥MD，则BO⊥面ACD，做BF⊥AC，由三垂线定理∠BFO即为二面角B-AC-D的平面角。
又 BO=， OF=1tan∠BFO=
（3） 存在。做EG⊥QC于G，连接DG，设EC=x，有EG=
EG2+GD2=ED2ED=2EG，在三角形EGD中，由勾股定理得，x=1
所以存在E点，EC=1
反思：本题对学习者要求较高，补体有一定的技巧。但是如果学习者熟悉图形性质，也不难想到将图形放入正方体当中。如果该题目不通过补体来完成，而是应用立体几何知识强行突破，有一定的难度。第（2）、（3）两问相关的量求起来相当的麻烦，并且容易出错。建立空间直角坐标系也可以做。但建系实质上就是找到A点的射影之后，在原图形上补出正方体的下半部分。比较来看还是补出完整的正方体计算量要小，且思路更加清晰。
例3、三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，Q为底面ABC上一点，Q点到三个侧面的距离分别为1、2、3，则PQ=___________。
解：如图所示，PQ=
反思：本题如果不采用补
体的方法，要应用两次勾股定
理，补体之后变成求长方体的
体对角线，思路简洁，运算也
容易。正好符合我们日常所说
的节省时间，不要小“题”大做的原则。
总之，我们在解决数学问题的时候应注意总结题目当中所蕴含的数学方法，正所谓“工欲善其事，必先利其器” 。有了好的方法，做起事情来也就事半功倍了。培养学生总结方法，提炼方法的能力，也就是培养学生的学习能力。在新课标的指导下，在素质教育呼声越来越高的今天，学生具备这种独立学习的能力，也就具备了终生学习的条件了。
收稿日期：2008-4-10
【关键词】数学问题；巧补图形
在立体几何当中有一类题型，直接在原图形上求解有一定的困难，如果变换思路，通过图形特征把图形补成相应的几何体，则可以使问题得到简化。下面举例说明此类问题的解法。
例1、正四面体ABCD棱长为 ，求外接球体积和与四条侧棱都相切的球的体积。
解：ABCD为正四面体，将之补成正方体，如图所示。可知正方体边长为1。正四面体外接球即为正方体外接球。半径为 。体积 与正四面体各棱都相切的球为正方体内切球，半径为 。体积
反思：这是最常见的一类补体问题，给出正四面体，很容易想到正四面体是正方体切割得到的，很多问题诸如长度，垂直关系等在正四面体中不易发现的量在正方体中都一目了然。就本题而言，要在正四面体当中确定球的球心位置，求出半径均有很大的计算量，而且容易出错，将问题放到正方体中，一切都迎刃而解，节省了大量的时间和精力。
例2、 如图，在三棱锥A-BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD
是公共斜边，且AD= ，BD=CD=1，另一侧面ABC是正三角形。
(1) 求证：AD⊥BC；
(2) 求二面角B-AC-D的余弦值；
(3) 在AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成300角？若存在，确定E点位置。
解：依照题意，可将图形补成如图所示的正方体，相应顶点如图，
（1） BC⊥QD，由三垂线定理逆定理得，AD⊥BC。
（2） 作BO⊥MD，则BO⊥面ACD，做BF⊥AC，由三垂线定理∠BFO即为二面角B-AC-D的平面角。
又 BO=， OF=1tan∠BFO=
（3） 存在。做EG⊥QC于G，连接DG，设EC=x，有EG=
EG2+GD2=ED2ED=2EG，在三角形EGD中，由勾股定理得，x=1
所以存在E点，EC=1
反思：本题对学习者要求较高，补体有一定的技巧。但是如果学习者熟悉图形性质，也不难想到将图形放入正方体当中。如果该题目不通过补体来完成，而是应用立体几何知识强行突破，有一定的难度。第（2）、（3）两问相关的量求起来相当的麻烦，并且容易出错。建立空间直角坐标系也可以做。但建系实质上就是找到A点的射影之后，在原图形上补出正方体的下半部分。比较来看还是补出完整的正方体计算量要小，且思路更加清晰。
例3、三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，Q为底面ABC上一点，Q点到三个侧面的距离分别为1、2、3，则PQ=___________。
解：如图所示，PQ=
反思：本题如果不采用补
体的方法，要应用两次勾股定
理，补体之后变成求长方体的
体对角线，思路简洁，运算也
容易。正好符合我们日常所说
的节省时间，不要小“题”大做的原则。
总之，我们在解决数学问题的时候应注意总结题目当中所蕴含的数学方法，正所谓“工欲善其事，必先利其器” 。有了好的方法，做起事情来也就事半功倍了。培养学生总结方法，提炼方法的能力，也就是培养学生的学习能力。在新课标的指导下，在素质教育呼声越来越高的今天，学生具备这种独立学习的能力，也就具备了终生学习的条件了。
收稿日期：2008-4-10