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【摘 要】方格图简洁直观、有趣味、易操作，且有多种表征形式，是学生学习数学的重要工具。综观苏教版小学数学教材，约有150次使用方格图，我们应从新的视角审视方格图的现实内涵，并以发展性的眼光审视它的价值取向，以更好地促进学生空间观念的形成和发展。
【关键词】方格图 工具 价值 应用 再开发
方格图是以若干个小正方形为基本构成要素，以信息加工过程的直观性为形态的数学学习工具。借助方格图，不仅有助于学生探索解决问题的思路，预测结果，还可以帮助学生直观地理解数学，把复杂的数学问题变得简明、形象。
方格图是一个外延相对宽泛的工具，还有多种表现形式，如点子图、数对图、坐标图等。据不完全统计，在苏教版小学数学教材中方格图约出现了54次，点子图8次，数对图12次，坐标图78次。教师应从新的视角审视数学工具的现实内涵，并以发展性的眼光审视它的价值取向，以便更好地促进学生空间观念的形成和发展。德国数学家希尔伯特曾说过：“数学中每一步真正的进展都与更有力的工具和更简单的方法的发现密切联系着。”
一、彰显工具魅力：方格图的表征及作用
方格图简单、直观、易操作。教材中使用方格图，是尊重和顺应小学生的认知基础和需求的表现，能有效地帮助学生建立方位感和距离感，有利于学生空间观念的培养。
（一）方格图的特征与表现形式
1.“显性”表现——方格图。
一组组相互平行和垂直的线组成了正方形网格图（如图1）。通常情况下，方格图中的每个小正方形的边长为1cm，为学生的操作提供标准的单位长度；每两条直线相交于一点，为操作找准需要的定点；每两条直线相交的角成直角，为操作找准角度、确定方向。
2.“隐性”表现——点子图。
方格图还有一种简化的表现形式，是点子图（如图2）。它是由一行行、一列列相互对齐的点组成的，每行、每列点与点之间的距离都相等。正是由于只有点而缺少线了，它为学生学习数学提供了更大的想象空间。
3.“拓展”表现——数对图和坐标图。
方格图的变式表现有数对图（如图3）和坐标图（如图4），它们都是采用数字坐标形式表示多项地理要素的数字信息图像，是二维坐标系，有两个自由度。同时，坐标图还可以为学生直观分析现象提供统计依据。
（二）方格图的价值取向
1.由“粗略”到“精细”——统一学生的操作标准。
在实际操作中，学生测量时会产生距离上的误差和角度上的偏差。所以，点与点之间的距离、线与线之间的距离和角度应该成为引起学生细致关注的要点。方格图的出现，不仅为学生确定了标准化的距离，还提供了方向上的参照，让他们在操作中由“粗略”走向“精细”。
2.变“抽象”为“直观”——培养学生的空间观念。
《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）把“图形与几何”作为培养学生的创新精神和实践能力的一个重要学习领域。小学生的空间想象能力比较薄弱，教学中如果能充分地运用好方格图这个工具，就可以把比较抽象的问题直观化、复杂的知识简单化，使学生的抽象思维能力逐步提高。
3.化“被动”为“主动”——发挥学生的主体作用。
方格图的使用为教师的教与学生的学提供了丰富而有效的学习素材，如果教师能够并善用方格图为学生创造思考的空间和感悟的条件，不仅能够发挥学生的主体作用，还有利于培养学生的创新能力。使学生在学习的过程中，不断地化“被动”为“主动”，真正地做到以学生为主体、以教师为主导。
4.从“现象”到“本质”——体现数学思想方法。
方格图中所展现的图形，都是由图形与数学思想相结合的复杂统一体。例如，推导图形面积公式过程中体现的转化思想、平移图形中的一一对应思想和用方格图表示小数的数形结合思想，还有模型思想、演绎推理思想、几何变换思想、统计与概率思想等，都能透过一系列的现象看到数学的本质。
二、展现教学智慧：发掘方格图在教学中的应用
方格图，既朴实清秀又蕴藏智慧。《标准》中“图形与几何”领域主要涉及现实世界中的物体、几何体和平面图形的形状、大小、位置关系及其变换等内容，这些内容的学习很多都要用到方格图。
（一）生成“标准尺”认识图形，体现教学“真”的智慧
数学是一门严谨的科学，无论是教学的过程还是结果，也不管是数据还是理论，都必须真实、可靠。
1.生成直尺判断“平行”，确定“相等”。
通过在方格图上数格子，学生证明了平行四边形的对边是互相平行且相等的。接着，教师可以变动一些线段的长度、方向，使其变成竖直的平行四边形。使学生抛开了线段长度、方向等非本质因素，对平行关系有了更清晰的认识。
2.生成三角尺画图形的“高”。
方格图中一组组互相垂直的线段恰好可以生成三角尺上的直角，能够帮助学生准确地画出“高”，以免在角度上产生误差。方格图中的线段可以生成“标准尺”来帮助学生建立图形的基本特征，理解图形的根本属性，体现了教学“真”的智慧。
（二）提供“统一数”进行测量，呈现教学“简”的智慧
测量是小学数学教学中发展学生的空间观念不可多得的操作活动。方格图中提供了统一的数据，可以帮助学生学习测量方法。
1.找数据，建表象，理关系。
在让学生发现周长与面积的关系时，方格图可以为学生提供简单的数据提示，以方便他们成功地发现规律，更能够帮助学生在计算的基础上建立起“形”的表象。
2.用数据，剪移拼，推方法。
在推导多边形面积的计算公式时，学生可以利用方格图发现和归纳平面图形的计算方法，并通过自己的计算与推理来感悟各种图形的面积计算公式。 3.数数据，算格子，估面积。
例如，估测一片树叶的面积，可以让学生数整格和接近整格的方格个数，也可以告诉学生将不满整格的方格都当成半格来计算，最后让学生比较两种数法的结果，从而较准确地估出面积。
（三）改变“点与线”实现运动，展现教学“美”的智慧
方格图为学生学习图形变换提供了重要的工具，为实现图形运动提供了标准的方向和距离。
1.“动”中藏美。
方格图为帮助学生实现图形的移动确定了方向和距离，生成了移动的尺子。学生运用对称、平移和旋转的方法在方格纸上画图，不仅在操作中有了参照与标准，也大大降低了绘图的难度，在移动中实现了和谐之美。
2.“静”中展美。
教材中设计了多样的操作活动，让学生在动手操作中逐步体验轴对称图形的具体特征。有了方格图，学生便可以找出另一半图形所有的对称点，然后再联结，从而形成一个轴对称图形。
（四）巧用“指南针”确定位置，实现教学“活”的智慧
我们要巧妙地使用方格图，帮助学生在方格图中找到准确的位置，实现数学教学的灵活性。
1.由实物图抽象出方格图。
二年级上册“位置与方向”单元出现的一些实物图（如图5）是方格图的最初模型，可以帮助学生建立行列概念，是学生用来认识“第几排第几个”的好素材。
2.为学生建立方位提供参照。
五年级下册“位置”单元明确地引入“数对”，用一对有序数来表示一个点在平面中的位置，并借助大量的方格图来帮助学生感受数对与位置之间的一一对应关系，以及数对中两个数的不同含义。
3.为学生直观地分析现象提供统计依据。
为了分析统计数据，教材中提供了相应的方格图，让学生在方格图中画直条，这能使学生在操作中更加关注统计的全过程，从而更加全面地了解统计方法。
三、拓展学习领域：再度开发方格图的创新价值
教师应努力地再度开发方格图的创新价值，使其与其他学习领域建立和谐统一的关系，从而真正地提高学生的数学学习素养。
（一）数形结合，为学生学习“数与代数”搭建桥梁
数形结合是典型的数学思想，也是一种很好的教学方法。数学家华罗庚曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微。”教师可以利用方格图展示算理，引导学生“知其然”，然后“知其所以然”。例如，教学“6的乘法口诀”时，我们可以先出示“5×5”的方格图，问学生：一共有多少个小方格？你用的是哪一句乘法口诀？然后教师出示：如果再增加一行，应该用什么乘法口诀呢？
（二）动手操作，为学生解决实际问题打开成功之门
在小学的综合实践活动中，方格图为学生解决实际问题提供了标准的测量依据。例如，教学《图形的密铺》一课，在学生明晰了正方形、长方形、六边形的地砖都可以在一块地面上密铺之后，让他们思考还有什么形状的图形能密铺，可以引导他们在方格图中画出图形去实验，通过实际观察得出结论。
（三）开“窗口”巧填数，为学生开发智力推开创造与想象之窗
很多数学益智游戏中都会用到方格图。比如目前流行的九宫格，它是将1～9连续9个正整数填入“3×3”的方格中，使每行、每列及对角线上的三个数的和相等，通常将这个图形称为三阶幻方或魔方。在此基础上，教师可以引领学生提出二阶幻方、四阶幻方的存在性。
（四）巧制“面积卡”，为学生解决生活问题提供便携工具
方格图制作简单、方便。在《面积和面积单位之间的进率》一课中，有一张边长为10厘米的正方形方格纸，我们可以用一张半透明的薄纸或一个透明的塑料板临摹这张方格纸，这样就轻便地制作了一张面积卡，让学生每人自备一张，不仅有利于他们了解面积单位之间的进率，还为他们解决生活中的数学问题提供了方便携带的工具。
简洁直观的方格图，为培养学生的空间想象能力提供了必要的支撑和有效的参照。教师要有意识地发掘散落在教材中的方格图，深入理解教材的设计意图，再度开发方格图的功能。我们希望数学工具成为学生口渴时朝向的水源，借助数学工具去解决问题；希望学生将数学工具作为翅膀，惬意地展翅飞翔。
【参考文献】
[1]吴振奎，刘舒强.数学中的美——数学美学初探[M].天津：天津教育出版社，1997.
[2]曾德才.数形结合，理解算理[J].小学教学研究，2002（7）：26.
注：本文获2013年江苏省“教海探航”征文二等奖
（作者单位：江苏省连云港师范高等专科学校第一附属小学）
【关键词】方格图 工具 价值 应用 再开发
方格图是以若干个小正方形为基本构成要素，以信息加工过程的直观性为形态的数学学习工具。借助方格图，不仅有助于学生探索解决问题的思路，预测结果，还可以帮助学生直观地理解数学，把复杂的数学问题变得简明、形象。
方格图是一个外延相对宽泛的工具，还有多种表现形式，如点子图、数对图、坐标图等。据不完全统计，在苏教版小学数学教材中方格图约出现了54次，点子图8次，数对图12次，坐标图78次。教师应从新的视角审视数学工具的现实内涵，并以发展性的眼光审视它的价值取向，以便更好地促进学生空间观念的形成和发展。德国数学家希尔伯特曾说过：“数学中每一步真正的进展都与更有力的工具和更简单的方法的发现密切联系着。”
一、彰显工具魅力：方格图的表征及作用
方格图简单、直观、易操作。教材中使用方格图，是尊重和顺应小学生的认知基础和需求的表现，能有效地帮助学生建立方位感和距离感，有利于学生空间观念的培养。
（一）方格图的特征与表现形式
1.“显性”表现——方格图。
一组组相互平行和垂直的线组成了正方形网格图（如图1）。通常情况下，方格图中的每个小正方形的边长为1cm，为学生的操作提供标准的单位长度；每两条直线相交于一点，为操作找准需要的定点；每两条直线相交的角成直角，为操作找准角度、确定方向。
2.“隐性”表现——点子图。
方格图还有一种简化的表现形式，是点子图（如图2）。它是由一行行、一列列相互对齐的点组成的，每行、每列点与点之间的距离都相等。正是由于只有点而缺少线了，它为学生学习数学提供了更大的想象空间。
3.“拓展”表现——数对图和坐标图。
方格图的变式表现有数对图（如图3）和坐标图（如图4），它们都是采用数字坐标形式表示多项地理要素的数字信息图像，是二维坐标系，有两个自由度。同时，坐标图还可以为学生直观分析现象提供统计依据。
（二）方格图的价值取向
1.由“粗略”到“精细”——统一学生的操作标准。
在实际操作中，学生测量时会产生距离上的误差和角度上的偏差。所以，点与点之间的距离、线与线之间的距离和角度应该成为引起学生细致关注的要点。方格图的出现，不仅为学生确定了标准化的距离，还提供了方向上的参照，让他们在操作中由“粗略”走向“精细”。
2.变“抽象”为“直观”——培养学生的空间观念。
《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）把“图形与几何”作为培养学生的创新精神和实践能力的一个重要学习领域。小学生的空间想象能力比较薄弱，教学中如果能充分地运用好方格图这个工具，就可以把比较抽象的问题直观化、复杂的知识简单化，使学生的抽象思维能力逐步提高。
3.化“被动”为“主动”——发挥学生的主体作用。
方格图的使用为教师的教与学生的学提供了丰富而有效的学习素材，如果教师能够并善用方格图为学生创造思考的空间和感悟的条件，不仅能够发挥学生的主体作用，还有利于培养学生的创新能力。使学生在学习的过程中，不断地化“被动”为“主动”，真正地做到以学生为主体、以教师为主导。
4.从“现象”到“本质”——体现数学思想方法。
方格图中所展现的图形，都是由图形与数学思想相结合的复杂统一体。例如，推导图形面积公式过程中体现的转化思想、平移图形中的一一对应思想和用方格图表示小数的数形结合思想，还有模型思想、演绎推理思想、几何变换思想、统计与概率思想等，都能透过一系列的现象看到数学的本质。
二、展现教学智慧：发掘方格图在教学中的应用
方格图，既朴实清秀又蕴藏智慧。《标准》中“图形与几何”领域主要涉及现实世界中的物体、几何体和平面图形的形状、大小、位置关系及其变换等内容，这些内容的学习很多都要用到方格图。
（一）生成“标准尺”认识图形，体现教学“真”的智慧
数学是一门严谨的科学，无论是教学的过程还是结果，也不管是数据还是理论，都必须真实、可靠。
1.生成直尺判断“平行”，确定“相等”。
通过在方格图上数格子，学生证明了平行四边形的对边是互相平行且相等的。接着，教师可以变动一些线段的长度、方向，使其变成竖直的平行四边形。使学生抛开了线段长度、方向等非本质因素，对平行关系有了更清晰的认识。
2.生成三角尺画图形的“高”。
方格图中一组组互相垂直的线段恰好可以生成三角尺上的直角，能够帮助学生准确地画出“高”，以免在角度上产生误差。方格图中的线段可以生成“标准尺”来帮助学生建立图形的基本特征，理解图形的根本属性，体现了教学“真”的智慧。
（二）提供“统一数”进行测量，呈现教学“简”的智慧
测量是小学数学教学中发展学生的空间观念不可多得的操作活动。方格图中提供了统一的数据，可以帮助学生学习测量方法。
1.找数据，建表象，理关系。
在让学生发现周长与面积的关系时，方格图可以为学生提供简单的数据提示，以方便他们成功地发现规律，更能够帮助学生在计算的基础上建立起“形”的表象。
2.用数据，剪移拼，推方法。
在推导多边形面积的计算公式时，学生可以利用方格图发现和归纳平面图形的计算方法，并通过自己的计算与推理来感悟各种图形的面积计算公式。 3.数数据，算格子，估面积。
例如，估测一片树叶的面积，可以让学生数整格和接近整格的方格个数，也可以告诉学生将不满整格的方格都当成半格来计算，最后让学生比较两种数法的结果，从而较准确地估出面积。
（三）改变“点与线”实现运动，展现教学“美”的智慧
方格图为学生学习图形变换提供了重要的工具，为实现图形运动提供了标准的方向和距离。
1.“动”中藏美。
方格图为帮助学生实现图形的移动确定了方向和距离，生成了移动的尺子。学生运用对称、平移和旋转的方法在方格纸上画图，不仅在操作中有了参照与标准，也大大降低了绘图的难度，在移动中实现了和谐之美。
2.“静”中展美。
教材中设计了多样的操作活动，让学生在动手操作中逐步体验轴对称图形的具体特征。有了方格图，学生便可以找出另一半图形所有的对称点，然后再联结，从而形成一个轴对称图形。
（四）巧用“指南针”确定位置，实现教学“活”的智慧
我们要巧妙地使用方格图，帮助学生在方格图中找到准确的位置，实现数学教学的灵活性。
1.由实物图抽象出方格图。
二年级上册“位置与方向”单元出现的一些实物图（如图5）是方格图的最初模型，可以帮助学生建立行列概念，是学生用来认识“第几排第几个”的好素材。
2.为学生建立方位提供参照。
五年级下册“位置”单元明确地引入“数对”，用一对有序数来表示一个点在平面中的位置，并借助大量的方格图来帮助学生感受数对与位置之间的一一对应关系，以及数对中两个数的不同含义。
3.为学生直观地分析现象提供统计依据。
为了分析统计数据，教材中提供了相应的方格图，让学生在方格图中画直条，这能使学生在操作中更加关注统计的全过程，从而更加全面地了解统计方法。
三、拓展学习领域：再度开发方格图的创新价值
教师应努力地再度开发方格图的创新价值，使其与其他学习领域建立和谐统一的关系，从而真正地提高学生的数学学习素养。
（一）数形结合，为学生学习“数与代数”搭建桥梁
数形结合是典型的数学思想，也是一种很好的教学方法。数学家华罗庚曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微。”教师可以利用方格图展示算理，引导学生“知其然”，然后“知其所以然”。例如，教学“6的乘法口诀”时，我们可以先出示“5×5”的方格图，问学生：一共有多少个小方格？你用的是哪一句乘法口诀？然后教师出示：如果再增加一行，应该用什么乘法口诀呢？
（二）动手操作，为学生解决实际问题打开成功之门
在小学的综合实践活动中，方格图为学生解决实际问题提供了标准的测量依据。例如，教学《图形的密铺》一课，在学生明晰了正方形、长方形、六边形的地砖都可以在一块地面上密铺之后，让他们思考还有什么形状的图形能密铺，可以引导他们在方格图中画出图形去实验，通过实际观察得出结论。
（三）开“窗口”巧填数，为学生开发智力推开创造与想象之窗
很多数学益智游戏中都会用到方格图。比如目前流行的九宫格，它是将1～9连续9个正整数填入“3×3”的方格中，使每行、每列及对角线上的三个数的和相等，通常将这个图形称为三阶幻方或魔方。在此基础上，教师可以引领学生提出二阶幻方、四阶幻方的存在性。
（四）巧制“面积卡”，为学生解决生活问题提供便携工具
方格图制作简单、方便。在《面积和面积单位之间的进率》一课中，有一张边长为10厘米的正方形方格纸，我们可以用一张半透明的薄纸或一个透明的塑料板临摹这张方格纸，这样就轻便地制作了一张面积卡，让学生每人自备一张，不仅有利于他们了解面积单位之间的进率，还为他们解决生活中的数学问题提供了方便携带的工具。
简洁直观的方格图，为培养学生的空间想象能力提供了必要的支撑和有效的参照。教师要有意识地发掘散落在教材中的方格图，深入理解教材的设计意图，再度开发方格图的功能。我们希望数学工具成为学生口渴时朝向的水源，借助数学工具去解决问题；希望学生将数学工具作为翅膀，惬意地展翅飞翔。
【参考文献】
[1]吴振奎，刘舒强.数学中的美——数学美学初探[M].天津：天津教育出版社，1997.
[2]曾德才.数形结合，理解算理[J].小学教学研究，2002（7）：26.
注：本文获2013年江苏省“教海探航”征文二等奖
（作者单位：江苏省连云港师范高等专科学校第一附属小学）