本文就我国民间广为流传的分鱼问题进行了推广，得出有趣结果。问题“三个鱼翁合捕了一堆鱼，大家休息的时候都睡着了。第一个醒来，将鱼平均分成三份，剩下一尾扔进水里，拿一份走了；第二个人醒来，将两份鱼拢在一起，平均分成了3份，剩下一尾扔进水里，拿走了一份；第三个人醒来，将两份鱼拢在一起，平均分成了3份，剩一尾扔水里，拿走了一份。
　　问原来这堆鱼有多少尾。
　　现将该问题推广：有m个渔翁合伙捕了一堆鱼，大家休息的时候都睡着了。第一个人醒来，将鱼分成m等份，剩下a 尾扔进了水里，拿走了一份；第二个人醒来，将m-1份鱼拢在了一起，平均分成m等份，剩下一尾a扔进水里，拿走了一份；第三个人醒来照样……。第m个人（最后一人）醒来，将m-1份鱼拢在一起，平均分成m等份，剩下a尾扔进水里。问原来这堆鱼有多少尾？
　　定理m，K是大于1的自然数有恒等式。
　　用数学归纳法可以证明…………（1）
　　由（1）当k=m时，有恒等式
　　（2）
　　设当原来这堆鱼为x尾
　　第一个人将这x尾鱼分成m等份，每份是（x-a）/m
　　第二个人将（m-1）份鱼拢在一起，鱼的总数是
　　他平均分的每份是
　　第三个人将这（m-1）份鱼拢在一起，鱼的总数是
　　第四个人分的每份是
　　如此继续下去
　　第P个人平均分的每份是
　　（3）
　　第m个人（最后一人）平均分的每份是
　　第m个人（最后一人）平均分的每分是
　　（4）
　　若（4）等于K，解得
　　为了化简上式，将中括号里添上 使之适合（2）
　　=
　　令 代入上式（参看下列例3）
　　∴
　　（n为任意自然数，即分法个数的集合。本文图表的个数是n=4）
　　将 代入（3），得
　　因此我们得出一般结果
　　m是总鱼数
　　每个人每次分的鱼的个数
　　是引进的一个数，无实际意义
　　每人每次分得鱼的尾数 尾數
　　63 63 63 63 1
　　47 47 47 47 1
　　35 35 35 35 1
　　26 26 26 20 1
　　例1：设m=4，a=1，求出总鱼数及分法
　　由公式求出
　　总数是
　　当n=1时，
　　当n=2时，
　　每人每次分得鱼的尾数 尾数
　　127 127 127 127 1
　　95 95 95 95 1
　　71 71 71 71 1
　　53 53 53 53 1
　　每人每次分得鱼的尾数 尾数
　　191 191 191 191 1
　　143 143 143 143 1
　　107 107 107 107 1
　　80 80 80 80 1
　　当n=3时，
　　任给自然数n一个值，即可得到鱼的总数及一个分法，由公式
　　每人每次分得鱼的尾数 尾数
　　7773 7773 7773 7773 7773 7773 7773
　　6477 6477 6477 6477 6477 6477 6477
　　5397 5397 5397 5397 5397 5397 5397
　　4497 4497 4497 4497 4497 4497 4497
　　3747 3747 3747 3747 3747 3747 3747
　　3122 3122 3122 3122 3122 3122 3122
　　例2：已知m=6，n=1，a=3
　　例3，用两方法找出原始问题的鱼的尾数
　　解（1）由我们推得的公式
　　m=3，a=1
　　∴
　　当n=1时，x=25，这是人们常用心算派出的一个数。
　　（2）由
　　令
　　∴
　　设
　　当n=1时，x=25
　　=
　　=
　　=
　　=
　　=
　　=
　　以上看出
　　……
　　定理是如何发现的