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【摘要】学生学习的错误是一笔宝贵的财富。本文深入剖析了作业中错误资源的意义和教学价值，详细阐述了高中数学作业中错误资源的开发和利用的5条策略：收集错误、剖析错误、纠正错误、总结错误、跟踪错误。
【关键词】错误资源 高中数学 剖析纠正
一、问题的提出
“学生的错误都是有价值的”（布鲁纳语）。著名教育家卡尔.威特的教育秘诀之一，就是宽容地、理性地看待学生的一切，包括“错误”。错误是正确的先导，成功的开始，学生犯错误的过程应看作是一种尝试和创新的过程。
在教学中我们发现，大多数同学对于以前不会的或做错过的题目，考试时仍然不会或一错再错，甚至有的学生一道题目，需要订正几次才能订正好。对于这些错误，如果我们能进一步分析学生犯错误的原因，并能透过错误发现有关问题，在错误上面做些文章，就可变“废”为“宝”，利用错误这一资源为教学服务。但长期以来，对待学生的错误，我们缺乏一种“主动应对”的新的理念和策略。大多数教师对学生作业中或试卷中出现的错误没有进行收集，对学生出现的错误的原因没有作及时的记录和统计。批改时，教师只在乎结果的对错，而没有关注学生出现错误的原因和出现错误的类型。在作业或试卷讲评时，教师往往只注重教给学生正确的结论，而忽视揭示错误形成的原因，出错学生的思维过程没有得到公开，错误就得不到解决，学生就不会意识到要调整原来的错误思路。长此以往，学生虽片面接受了正确的知识，但对错误出现缺乏心理准备，看不出错误或看出错误时修改不对，甚至有时弄不清错误的缘由，反思纠错的对策。那么，如何有效地开发和利用学生作业中的错误资源呢？错误资源的教育价值体现在那些方面呢？笔者结合自己一年来的思考和探索，总结了一些经验，以供交流。
二、错误资源的教育价值
1.激发学生的学习兴趣
“成功的教学所需要的不是强制，而是激发兴趣”。而“学习的最好刺激乃是对所学材料的兴趣”。学习错误是一种来源于学习活动本身，具有特殊教育作用的学习材料，它来自于学生、贴近学生，教学时又回到学生的学习活动中，对激发学生的探究兴趣，唤起学生的求知欲具有特殊的作用。
2.培养学生的发现意识
教育家斯宾赛说：“学习任何东西的最佳途径是自己去发现”，那么培养学生的发现意识，就成为让学生学会自主学习的重要目标之一。在课堂教学中利用学生作业中出现的错误，给学生假设一个自主探究的问题情境，让学生在纠正错误的过程中，自主地发现问题、解决问题，是培养发现意识的有效途径。
例如，在不等式解法教学中的片断
教师：已知二次函数f（x）=ax2 bx（a≠0）满足1f（-1）2，2f（1）4，则f（-2）的范围是（）
A.[3，12]B.[3，12]C.[5，10]D[5，10]
学生：利用f（-1）和f（1）的范围解出a和b的范围，然后再求f（-2）的范围？
其中解得：32a3，20b32所以f（-2）=4a-2b∈[3，12]，选A
这个过程看上去非常的流畅自然，但结果并不是很美妙。
教师：：如果我们把a，b的范围加起来与f（1）的范围进行比较，你会得到什么？
学生：不一样。（学生震惊了）
教师：这就说明我们以上的解法是有错误的，请想一想，究竟错在哪里呢？
学生：我明白了，由f（-1）和f（1）的范围解出a和b的范围这个过程是不等价的。
学生获得知识是在不断探索中进行的，在这个过程中，学生的思维方法各不相同，因此，出现错误是很正常的，关键在于老师如何利用错误这一资源。上例中，笔者提出具有针对性和启发性的问题，创设一个自主探究的问题情境，引导学生从不同角度审视问题，让学生在纠正错误的过程中，自主地发现问题，解决问题，深化了对知识的理解和掌握，培养了学生的发现意识。
3.提高学生的反思能力
建构主义学习观认为，学生的错误不可能单独依靠正面的示范和反复的练习得以纠正，必须是一个“自我否定”的过程，而“自我否定”是以自我反省、特别是内在的“观念冲突”作为必要的前提。利用学习错误，并及时引发这种“观念冲突”，能促使学生对已完成的思维过程进行周密且有批判性的再思考，对已形成的认识从另一个角度，以另一种方式进行再思考，以求得新的深入认识，这既有利于问题的解决又培养了学生的反思能力。
4.纠正错误
皮亚杰曾经说过：“学习是一个不断犯错误的过程，同时又是一个不断通过反复思考招致错误的缘由并逐渐消除错误的过程。”学习是一个比较长的、不断纠错的过程，而纠错是学习中不可缺少的一部分。笔者认为纠错的主体应该是学生本人而不是别人，发现自己的错误往往比别人的错误要艰难一些。创设机会让学生通过检查，发现自己出现的错误，提高认识，打破原有的固定思维，最终的效果往往会令人满意。
为了最大限度地发挥“错误”在教学中的积极作用，教师应指导学生将学习中出现的典型错误和错误原因进行整理、记录。笔者利用学校下发的纠错本，让学生记录下平时在学习过程中出现的错误，记录时既要记下错解与正解，同时又要对错因和缺陷进行分析，从中总结教训和对策。每周对纠错本进行检查交流，让学生养成平时有空翻一翻，考前认真看一遍的习惯。改变过去“只要一错，总是常错”为“只要一错，抓住攻破，不能再错”，使学生在纠错中不断进步，不断提高。纠错本中积累的不仅是学生的错误，更重要的是承认错误的勇气，改正错误的意志和毅力，让学生这样做，纠正的不只是错误，提高的也不只是知识和能力，这里记录着每位学生因错误而成长的足迹。
以下是班級中学生的纠错本范例：
5.总结错误
实践表明，认知过程中的错误，通常不能一次得以解决。如果说发现错误是学生的第一次反思，改正错误是学生的第二次反思，那么总结错误、整理错误以致深化拓展便是学生的第三次反思。学生在解题时会出现这样或那样的错误，但如果把这些错误都一味地归结为粗心马虎或认定学生根本就不懂不会，就过于草率了。其实，造成错误的原因很多，只有找出问题的“症结”，帮助学生总结吸取失败教训，才不会一错再错。通过一年的整理发现，学生在数学作业中的错误原因主要有以下几点： （1）概念不清楚通常，学生在学习过程中对概念都不大注意，趋于形式化，不注意其内涵的挖掘从而造成基本数学概念理解不透彻。学生对于相似的临近概念又辨别不清，不能正确分辨定义、判定定理和性质定理，从而造成解题错误。
（2）审题不清，导致错误
正确理解题意是正确解题的前提，特别是学习成绩相对落后的学生，他们在解题时总是“走马观花”，略览题意，根本分不清题目“已知”与“未知”、“条件”与“结论”，更不用说其内在联系了，从而在似是而非、顾此失彼的思想状态下造成解题错误。
（3）思维不严密，导致错误
思考不全面，遗漏特殊情况，致使解答不完全，不能给出问题的全部答案，从而表现出思维的不严密性。如证明等差或等比数列时，缺失对n=1的讨论；求直线方程时遗漏斜率不存在的情形；求椭圆的标准方程时，只考虑焦点位于x轴的情况，等等。总而言之，由于缺乏对问题全面的认识，许多题目，求解的思路不难，但解题时，对这些特殊情形的讨论，却很容易被忽略。
（4）忽视隐含条件，导致错误
所谓隐含条件是指数学问题中那些若明若暗，含而不露的已知条件，或者从提设中不断挖掘并利用条件进行推理和变形而重新发现的条件。有些学生常因不能发现和利用隐含条件，导致解答不完整或错误甚至不能找到解题途径。因此，挖掘数学命题中的隐含条件，是数学解题的一个重要基本功，也是培養学生思维品质，优化思维过程的一个重要方面。如果学生不加以重视，就会走入“会而不对，对而不全”的怪圈，对数学学习极为不利。
6.跟踪错误
在日常教学中，我们经常会碰到改错再错的情况，学生的有些错误往往具有顽固性和反复性，学生经过以上的析错、纠错，总结错误，过了一段时间再遇到类似的问题时，可能又会出现同样的错误，因此，在平时教学中，我们要对错误做好跟踪和检测工作。让学生做到平时经常回看纠错本，同时为了检查学生改错的效果，笔者利用学校每周星期二安排的预备课，将一周中出现的典型性错误进行检测，及时的批改，对重复出现的错误加强指导。对于数学学困生，由于其对知识掌握不够好，因此其自主纠错能力较弱，笔者通过面批、答疑等个别辅导形式，帮助学生纠正错误，矫正学生不良的学习习惯和思维方式，同时，定期检查纠错本，指导经常回看纠错本，考试前指导合理利用纠错本，树立他们的信心，逐步提高他们的数学学习能力与识错改错能力。
参考文献
[1]侯启伟.“学生解题中的常见错误分析及教学启示”.中国数学教育.2009.11
[2]翟荣俊.“让纠错成为一种开开发的教学资源”.中学数学月刊2010.3
[3]赖国强.“数学教学中“错误资源”的有效教学策略”.中国数学教育.2009.12
[4]周祖艳.“通过纠错加强双基”.上海中学数学.2009.1-2
[5]莫国良.“通过“试误”教学，走向高效解题”.数学教学通讯.2009.5
【关键词】错误资源 高中数学 剖析纠正
一、问题的提出
“学生的错误都是有价值的”（布鲁纳语）。著名教育家卡尔.威特的教育秘诀之一，就是宽容地、理性地看待学生的一切，包括“错误”。错误是正确的先导，成功的开始，学生犯错误的过程应看作是一种尝试和创新的过程。
在教学中我们发现，大多数同学对于以前不会的或做错过的题目，考试时仍然不会或一错再错，甚至有的学生一道题目，需要订正几次才能订正好。对于这些错误，如果我们能进一步分析学生犯错误的原因，并能透过错误发现有关问题，在错误上面做些文章，就可变“废”为“宝”，利用错误这一资源为教学服务。但长期以来，对待学生的错误，我们缺乏一种“主动应对”的新的理念和策略。大多数教师对学生作业中或试卷中出现的错误没有进行收集，对学生出现的错误的原因没有作及时的记录和统计。批改时，教师只在乎结果的对错，而没有关注学生出现错误的原因和出现错误的类型。在作业或试卷讲评时，教师往往只注重教给学生正确的结论，而忽视揭示错误形成的原因，出错学生的思维过程没有得到公开，错误就得不到解决，学生就不会意识到要调整原来的错误思路。长此以往，学生虽片面接受了正确的知识，但对错误出现缺乏心理准备，看不出错误或看出错误时修改不对，甚至有时弄不清错误的缘由，反思纠错的对策。那么，如何有效地开发和利用学生作业中的错误资源呢？错误资源的教育价值体现在那些方面呢？笔者结合自己一年来的思考和探索，总结了一些经验，以供交流。
二、错误资源的教育价值
1.激发学生的学习兴趣
“成功的教学所需要的不是强制，而是激发兴趣”。而“学习的最好刺激乃是对所学材料的兴趣”。学习错误是一种来源于学习活动本身，具有特殊教育作用的学习材料，它来自于学生、贴近学生，教学时又回到学生的学习活动中，对激发学生的探究兴趣，唤起学生的求知欲具有特殊的作用。
2.培养学生的发现意识
教育家斯宾赛说：“学习任何东西的最佳途径是自己去发现”，那么培养学生的发现意识，就成为让学生学会自主学习的重要目标之一。在课堂教学中利用学生作业中出现的错误，给学生假设一个自主探究的问题情境，让学生在纠正错误的过程中，自主地发现问题、解决问题，是培养发现意识的有效途径。
例如，在不等式解法教学中的片断
教师：已知二次函数f（x）=ax2 bx（a≠0）满足1f（-1）2，2f（1）4，则f（-2）的范围是（）
A.[3，12]B.[3，12]C.[5，10]D[5，10]
学生：利用f（-1）和f（1）的范围解出a和b的范围，然后再求f（-2）的范围？
其中解得：32a3，20b32所以f（-2）=4a-2b∈[3，12]，选A
这个过程看上去非常的流畅自然，但结果并不是很美妙。
教师：：如果我们把a，b的范围加起来与f（1）的范围进行比较，你会得到什么？
学生：不一样。（学生震惊了）
教师：这就说明我们以上的解法是有错误的，请想一想，究竟错在哪里呢？
学生：我明白了，由f（-1）和f（1）的范围解出a和b的范围这个过程是不等价的。
学生获得知识是在不断探索中进行的，在这个过程中，学生的思维方法各不相同，因此，出现错误是很正常的，关键在于老师如何利用错误这一资源。上例中，笔者提出具有针对性和启发性的问题，创设一个自主探究的问题情境，引导学生从不同角度审视问题，让学生在纠正错误的过程中，自主地发现问题，解决问题，深化了对知识的理解和掌握，培养了学生的发现意识。
3.提高学生的反思能力
建构主义学习观认为，学生的错误不可能单独依靠正面的示范和反复的练习得以纠正，必须是一个“自我否定”的过程，而“自我否定”是以自我反省、特别是内在的“观念冲突”作为必要的前提。利用学习错误，并及时引发这种“观念冲突”，能促使学生对已完成的思维过程进行周密且有批判性的再思考，对已形成的认识从另一个角度，以另一种方式进行再思考，以求得新的深入认识，这既有利于问题的解决又培养了学生的反思能力。
4.纠正错误
皮亚杰曾经说过：“学习是一个不断犯错误的过程，同时又是一个不断通过反复思考招致错误的缘由并逐渐消除错误的过程。”学习是一个比较长的、不断纠错的过程，而纠错是学习中不可缺少的一部分。笔者认为纠错的主体应该是学生本人而不是别人，发现自己的错误往往比别人的错误要艰难一些。创设机会让学生通过检查，发现自己出现的错误，提高认识，打破原有的固定思维，最终的效果往往会令人满意。
为了最大限度地发挥“错误”在教学中的积极作用，教师应指导学生将学习中出现的典型错误和错误原因进行整理、记录。笔者利用学校下发的纠错本，让学生记录下平时在学习过程中出现的错误，记录时既要记下错解与正解，同时又要对错因和缺陷进行分析，从中总结教训和对策。每周对纠错本进行检查交流，让学生养成平时有空翻一翻，考前认真看一遍的习惯。改变过去“只要一错，总是常错”为“只要一错，抓住攻破，不能再错”，使学生在纠错中不断进步，不断提高。纠错本中积累的不仅是学生的错误，更重要的是承认错误的勇气，改正错误的意志和毅力，让学生这样做，纠正的不只是错误，提高的也不只是知识和能力，这里记录着每位学生因错误而成长的足迹。
以下是班級中学生的纠错本范例：
5.总结错误
实践表明，认知过程中的错误，通常不能一次得以解决。如果说发现错误是学生的第一次反思，改正错误是学生的第二次反思，那么总结错误、整理错误以致深化拓展便是学生的第三次反思。学生在解题时会出现这样或那样的错误，但如果把这些错误都一味地归结为粗心马虎或认定学生根本就不懂不会，就过于草率了。其实，造成错误的原因很多，只有找出问题的“症结”，帮助学生总结吸取失败教训，才不会一错再错。通过一年的整理发现，学生在数学作业中的错误原因主要有以下几点： （1）概念不清楚通常，学生在学习过程中对概念都不大注意，趋于形式化，不注意其内涵的挖掘从而造成基本数学概念理解不透彻。学生对于相似的临近概念又辨别不清，不能正确分辨定义、判定定理和性质定理，从而造成解题错误。
（2）审题不清，导致错误
正确理解题意是正确解题的前提，特别是学习成绩相对落后的学生，他们在解题时总是“走马观花”，略览题意，根本分不清题目“已知”与“未知”、“条件”与“结论”，更不用说其内在联系了，从而在似是而非、顾此失彼的思想状态下造成解题错误。
（3）思维不严密，导致错误
思考不全面，遗漏特殊情况，致使解答不完全，不能给出问题的全部答案，从而表现出思维的不严密性。如证明等差或等比数列时，缺失对n=1的讨论；求直线方程时遗漏斜率不存在的情形；求椭圆的标准方程时，只考虑焦点位于x轴的情况，等等。总而言之，由于缺乏对问题全面的认识，许多题目，求解的思路不难，但解题时，对这些特殊情形的讨论，却很容易被忽略。
（4）忽视隐含条件，导致错误
所谓隐含条件是指数学问题中那些若明若暗，含而不露的已知条件，或者从提设中不断挖掘并利用条件进行推理和变形而重新发现的条件。有些学生常因不能发现和利用隐含条件，导致解答不完整或错误甚至不能找到解题途径。因此，挖掘数学命题中的隐含条件，是数学解题的一个重要基本功，也是培養学生思维品质，优化思维过程的一个重要方面。如果学生不加以重视，就会走入“会而不对，对而不全”的怪圈，对数学学习极为不利。
6.跟踪错误
在日常教学中，我们经常会碰到改错再错的情况，学生的有些错误往往具有顽固性和反复性，学生经过以上的析错、纠错，总结错误，过了一段时间再遇到类似的问题时，可能又会出现同样的错误，因此，在平时教学中，我们要对错误做好跟踪和检测工作。让学生做到平时经常回看纠错本，同时为了检查学生改错的效果，笔者利用学校每周星期二安排的预备课，将一周中出现的典型性错误进行检测，及时的批改，对重复出现的错误加强指导。对于数学学困生，由于其对知识掌握不够好，因此其自主纠错能力较弱，笔者通过面批、答疑等个别辅导形式，帮助学生纠正错误，矫正学生不良的学习习惯和思维方式，同时，定期检查纠错本，指导经常回看纠错本，考试前指导合理利用纠错本，树立他们的信心，逐步提高他们的数学学习能力与识错改错能力。
参考文献
[1]侯启伟.“学生解题中的常见错误分析及教学启示”.中国数学教育.2009.11
[2]翟荣俊.“让纠错成为一种开开发的教学资源”.中学数学月刊2010.3
[3]赖国强.“数学教学中“错误资源”的有效教学策略”.中国数学教育.2009.12
[4]周祖艳.“通过纠错加强双基”.上海中学数学.2009.1-2
[5]莫国良.“通过“试误”教学，走向高效解题”.数学教学通讯.2009.5