分类讨论的方法是解决数学问题常用的方法，因分类讨论牵涉的面多，解题过程中也容易出错，因此也要注意指导学生辩证地分析数学问题，不要盲目、机械地进行分类讨论.事实上，有不少含有分类因素的数学题，如果能够在着手讨论前对问题作一番深入研究，挖掘其一些隐含条件，灵活采用相应的解题策略，则往往可以简化或避免分类讨论的步骤，从而实现解题过程的优化，提高解题的正确率.
　　1.着眼全局整体，减少讨论次数
　　例1 设a≥0，在复数集C中解方程Z2 2 Z =a.
　　分析 此题一般是通过设Z=x yi（x，y∈R）来解，原方程化为x2-y2 2 x2 y2 2xyi=a，即 2xy=0x2-y2 2 x2 y2 =a ，对x=0或y=0进行分类，然对x，y的符号进行讨论，再后还要对a的取值范围进行分类，这样多的分类，在解题过程中有可能就会出现错误.利用整体思想，对方程作整体变形，则可减少讨论的次数和层次，迅速并正确获得方程的解.
　　解 原方程变形为Z2=a-2 Z ∈R，（把a-2 Z 看成一个整体）∴Z为实数或纯虚数.
　　（1）若Z为实数，则Z2= Z 2，此时原方程可化为 Z 2 2 Z -a=0 a≥0 ，
　　解得Z=± -1 1 a .
　　（2）若Z为纯虚数，设Z=±ri（r∈ R ），此时原方程可化为r2-2r a=0（a≥O），原方程当0≤a≤1时Z=± 1 1-a i或Z=± 1- 1-a i；a>1时无纯虚数解.
　　2.等价变形转换，避开分类讨论
　　例2 设对所有的实数x，不等式x2log2 4 a 1 a 2xlog2 2a a 1 log2 a 1 2 4a2 >0恒成立，求实数a的取值范围.
　　分析 本题的常规解法要分两类来解，一是二次项系数为0时，二是二次项系数大于0时.而第一种情况往往遗漏，第二种情况即 log2 4 a 1 a >0Δ<0 ，但运算复杂，出错机率大，我们可以通过等价变形，避免分类讨论，使问题简单化.
　　解 不等式x2log2 4 a 1 a 2xlog2 2a a 1 log2 a 1 2 4a2 >0可等价变形为 x2-2x 2 log2 a 1 2a >-3x2，而x2-2x 2= x-1 2 1>0，-3x2≤0是绝对不等式，要使原不等式恒成立，只要log2 a 1 2a >0成立，很快能解得0　　3.变更主要变元，解脱繁琐讨论
　　例3 设函数f（x）=x x-a b，设常数b<-1，且对任意x∈[0，1]，f（x）<0恒成立，求实数a的取值范围.
　　分析 这题的一般解法是：由f（x）<0，即x x-a <-b，∵-b>0，x=0时恒成立，因此只要研究x∈（0，1]时， x-a <- b x 恒成立，即 b x 　　解 ∵-b>0，x=0时x x-a <-b恒成立，x∈（0，1]时要使 x-a <- b x 恒成立，只要x b x x b x max （1）a< x- b x min （2） ，由（1）∵b<0，g（x）=x b x 在x∈（0，1]时为增函数，∴a>g（1）=1 b；∵b<-1，h（x）=x- b x 在（0，1]上为减函数，a　　4.构造辅助图形，消除讨论因素
　　例4 设椭圆中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率e= 3 2 ，已知点P（0， 3 2 ）到这个椭圆上的点的最远距离是 7 ，求这个椭圆方程.
　　分析 用常规方法是利用椭圆的参数方程.因为离心率e= 3 2 ，椭圆方程可为 x2 4b2 y2 b2 =1，（b>0）椭圆上一点可设M（2bcosα，bsinα），
　　MP = 2bcosα 2 bsinα- 3 2 2 = -3b2sin2α-3bsinα 4b2 9 4 ，根号内化为以sinα为变元的二次三项式，sinα∈ -1，1 ，对参数b分类讨论，运算显然复杂.能否构造辅助图形，借助图形的直观性，能很容易求出满足条件的b.
　　解 如图，以P（0， 3 2 ）为圆心， 7 为半径作圆，正好与椭圆相切，切点到P（0， 3 2 ）的距离就是椭圆上的点到P的最远距离.该圆方程为x2 y- 3 2 2=7，椭圆方程为 x2 4b2 y2 b2 =1，联立方程组消去x得3y2 3y-4b2 19 4 =0，两曲线有切点，即Δ=0，解之b2=1.椭圆方程为 x2 4 y2=1.
　　分类讨论是重要的数学思想方法，我们应该掌握.但也有它的复杂性，在解题过程中我们要注意灵活性，一方面可以提高解题速度，另一方面可以扩展我们的思维.