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【摘要】 “矛盾对立、统一、转化”律是辩证唯物主义哲学的核心定律,也是客观世界事物相互联系、发展、变化的普遍规律,这条规律适用于所有学科,中学数学中许多概念与内容及方法都体现了这一规律。本文对这一规律在“数与形”“有限与无限”等矛盾对立体中的应用作了探讨。
【关键词】 数学 哲学 教育
【中图分类号】 G421 【文献标识码】 A 【文章编号】 1006-5962(2012)05(b)-0112-01
1 引言
“矛盾对立、统一、轉化”律是辩证唯物主义哲学的核心定律,也是客观世界事物相互联系、发展、变化的普遍规律,这条规律适用于所有学科,中学数学中许多概念与内容及方法都体现了这一规律。本文对这一规律在“数与形”“有限与无限”等矛盾对立体中的应用作了探讨,希望引起老师们对中学数学教学中加强对学生进行唯物辩证法世界观培养教育的重视。
2 “数与形”对立、统一、转化的应用
“数与形”是一矛盾的统一体,是客观事物系统内部数量关系与空体结构形式的两个侧面,当一个数学问题的代数形式有它一定的几何意义与几何背景时,我们可利用对立面的转化思想将问题转化为用几何(形)方法处理,反之一个几何问题较复杂时,常常也可借助思路较简单的计算转化为用代数方法处理。
例一:设AB是圆O的弦,M是AB的中点,过M任作二弦CD、EF,P、Q为AB与CF、ED的交点,如右图一,求证:PM=MQ。
该题以证解题形式出现在1815年西欧的一本杂志上,因△CMF与△EMD酷似蝴蝶的两翼,被称为“蝴蝶定理”,当年由英国数学家霍纳绘出第一个几何证明。该题关系复杂,直接用几何证明是有一定难度的,可转化为代数求解。
解1:用解析几何处理
建立如右图二所示的直角坐标系,设圆的方程为
,直线CD、EF的方程分别为,,过圆与该二直线交点C、D、E、F的二次曲线系可设为
,为参数,二直线CF、ED包含在该曲线系中,令,一次项系数为0,则,即,即|PM|=|MQ|。
3 “有限与无限”对立、统一、转化的应用
有限与无限是矛盾的对立双方,在一定条件下可以互相转化,有关无限的数学问题常可转化为有限处理。以求极值为例,求无穷和与无穷积常可转化为有限和与有限积处理,转化的常用方法为应用公式与交错抵消与约分。
例二:求极限1．(无穷多项的和
2．(无穷多项的和
3．(无穷多因子乘积)
4．
解:1．原极限=
2．原极限==(有限项)=1
3．原极限=(无限多因子)
=(有限)=
4．原极限=
4 结束语
“矛盾对立统一、转化”的规律是客观世界的普遍规律,中学数学内容中有着丰富的矛盾对立统一的元素,在求解这类数学问题时,利用矛盾对立统一转化的思想来处理是一个重要的常用思路,这可能会收到较好的效果。笔者认为在中学数学的教学中,老师们应重视选取适当的材料加强唯物辨证法哲学思想的启发教育,这对学生从数学这个侧面加深对唯物辨证法重要哲学思想的理解。并自觉应用这些重要哲学思想理解教学内容,处理数学问题是有很大帮助的。这对培养学生的多方面文化素养与综合素质以及看问题处理问题有较大视野,融合各学科知识也是有帮助的。古往今来,凡是成学术大家者,莫不是有大视野融会贯通多门学科知识内容的人。
参考文献
[1] 徐利治.数学方法论十二讲[M].大连:大连理工大学出版社,2007.
[2] 郑毓信.数学方法论[M].南宁:广西教育出版社,2003.
[3] [美]保罗·贝纳赛拉夫.数学哲学[M].朱水林等译.北京:商务印书馆,2003.
[4] [美]莫里哀·克莱因.古今数学思想[M].上海:上海科学技术出版社,2002.
【关键词】 数学 哲学 教育
【中图分类号】 G421 【文献标识码】 A 【文章编号】 1006-5962(2012)05(b)-0112-01
1 引言
“矛盾对立、统一、轉化”律是辩证唯物主义哲学的核心定律,也是客观世界事物相互联系、发展、变化的普遍规律,这条规律适用于所有学科,中学数学中许多概念与内容及方法都体现了这一规律。本文对这一规律在“数与形”“有限与无限”等矛盾对立体中的应用作了探讨,希望引起老师们对中学数学教学中加强对学生进行唯物辩证法世界观培养教育的重视。
2 “数与形”对立、统一、转化的应用
“数与形”是一矛盾的统一体,是客观事物系统内部数量关系与空体结构形式的两个侧面,当一个数学问题的代数形式有它一定的几何意义与几何背景时,我们可利用对立面的转化思想将问题转化为用几何(形)方法处理,反之一个几何问题较复杂时,常常也可借助思路较简单的计算转化为用代数方法处理。
例一:设AB是圆O的弦,M是AB的中点,过M任作二弦CD、EF,P、Q为AB与CF、ED的交点,如右图一,求证:PM=MQ。
该题以证解题形式出现在1815年西欧的一本杂志上,因△CMF与△EMD酷似蝴蝶的两翼,被称为“蝴蝶定理”,当年由英国数学家霍纳绘出第一个几何证明。该题关系复杂,直接用几何证明是有一定难度的,可转化为代数求解。
解1:用解析几何处理
建立如右图二所示的直角坐标系,设圆的方程为
,直线CD、EF的方程分别为,,过圆与该二直线交点C、D、E、F的二次曲线系可设为
,为参数,二直线CF、ED包含在该曲线系中,令,一次项系数为0,则,即,即|PM|=|MQ|。
3 “有限与无限”对立、统一、转化的应用
有限与无限是矛盾的对立双方,在一定条件下可以互相转化,有关无限的数学问题常可转化为有限处理。以求极值为例,求无穷和与无穷积常可转化为有限和与有限积处理,转化的常用方法为应用公式与交错抵消与约分。
例二:求极限1．(无穷多项的和
2．(无穷多项的和
3．(无穷多因子乘积)
4．
解:1．原极限=
2．原极限==(有限项)=1
3．原极限=(无限多因子)
=(有限)=
4．原极限=
4 结束语
“矛盾对立统一、转化”的规律是客观世界的普遍规律,中学数学内容中有着丰富的矛盾对立统一的元素,在求解这类数学问题时,利用矛盾对立统一转化的思想来处理是一个重要的常用思路,这可能会收到较好的效果。笔者认为在中学数学的教学中,老师们应重视选取适当的材料加强唯物辨证法哲学思想的启发教育,这对学生从数学这个侧面加深对唯物辨证法重要哲学思想的理解。并自觉应用这些重要哲学思想理解教学内容,处理数学问题是有很大帮助的。这对培养学生的多方面文化素养与综合素质以及看问题处理问题有较大视野,融合各学科知识也是有帮助的。古往今来,凡是成学术大家者,莫不是有大视野融会贯通多门学科知识内容的人。
参考文献
[1] 徐利治.数学方法论十二讲[M].大连:大连理工大学出版社,2007.
[2] 郑毓信.数学方法论[M].南宁:广西教育出版社,2003.
[3] [美]保罗·贝纳赛拉夫.数学哲学[M].朱水林等译.北京:商务印书馆,2003.
[4] [美]莫里哀·克莱因.古今数学思想[M].上海:上海科学技术出版社,2002.