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数学问题是为一个数学思维而存在的,要完全解决这个思维必须发现其规律和掌握其方法. 在初中的教学中,要让学生通过解题活动去发现解题规律和掌握解题方法. 而提高教学质量就是要把最好的解题方法教给学生. 在数学的解题教学中,解题方法要简单自然,兼顾学生的可接受性和可操作性,学生学习之后就能顺利“再生产”. 然而,在实际的教学中,解题教学有时会处于两难的境地,即教学的深度、尺度的把握. 教的简单,就显得解法从天而降,缺少了生成性;顺着学生的思维走,可能难把握重心,显得琐碎. 最后还是以学生能接受、可操作的方法才是最适合的方法.
一、例题讲解
例1 按下图的方式,用火柴棒搭三角形.
搭1个三角形需要火柴棒_____根;
搭2个三角形需要火柴棒_____根;
搭3个三角形需要火柴棒_____根;
搭10个三角形需要火柴棒_____根;
搭100个三角形需要火柴棒_____根.
解法一 根据图形可知:前三个空应填3,5,7,因为搭第1个三角形需要3根火柴棒,每增加1个三角形就增加2根火柴棒,所以搭10个三角形需要火柴棒3 9 × 2 = 21根,搭100个三角形需要火柴棒3 99 × 2 = 201根.
解法二 可以将搭1个三角形看作1 2根火柴棒,像这样搭2个三角形需要1 2 × 2 = 5火柴棒,搭3个三角形需要1 3 × 2 = 7火柴棒,搭10个三角形需要火柴棒1 10 × 2 = 21根,搭100个三角形需要火柴棒1 100 × 2 = 201根.
解法三 可以将搭每1个三角形看作用3根火柴棒,搭2个三角形需要2 × 3 - 1 = 5火柴棒,搭3个三角形需要3 × 3 - 2 = 7火柴棒,搭10个三角形需要火柴棒10 × 3 - 9 = 21根,搭100个三角形需要火柴棒100 × 3 - 99 = 201根.
解法四 根据图形:可得一组数列:3,5,7,9,…
用作差法(从第二个数开始,将每个数和它的前一个数作差),可得差值始终是2,所以可猜想第n个数为2n ?,再取一个n的值代入,例如取n = 1代入可得2 × 1 ?= 3,则? = 1,所以第n个数可表示为2n 1. (再任取几个n的值代入验证. )
变式训练:
求下列各组数列中的第100个数.
(1)2,4,6,8,…
(2)1,4,7,10,…
(3)1, , , ,…
例2 剪绳子:
(1)将一根绳子对折1次后从中间剪一刀(如图),绳子变成 段;
将一根绳子对折2次后从中间剪一刀,绳子变成 段;将一根绳子对折3次后从中间剪一刀,绳子变成 段.
(2)将一根绳子对折n次后从中间剪一刀,绳子变成 段.
解 根据操作可知:
将一根绳子对折1次后从中间剪一刀,绳子变成3段;
将一根绳子对折2次后从中间剪一刀,绳子变成5段;
将一根绳子对折3次后从中间剪一刀,绳子变成9段;
将一根绳子对折4次后从中间剪一刀,绳子变成17段;
按此规律可得一组数列:3,5,9,17,…
解法一 作差法. 可得其差值分别为:2,4,8,…,其数值增长的速度超过之前数列的数值增长的速度,所以应该比n2的变化更快,而且其差值是以2的乘方在增长,因此,尝试用2n ?来描述;再取一个n的值代入,例如取n = 2代入可得22 ? = 5,则?= 1. 所以,第n个数可表示为2n 1. (再任取几个n的值代入验证. )
解法二 对比序号. 把变数和序号放在一起进行对比,本题中将3,5,9,17对应①②③④可以发现数列中的数,都可以表示为2乘方数多1. 由此可得第n个数可表示为2n 1.
变式训练:
求下列各组数列中的第n个数.
(1)2,4,8,16,32,64,…
(2)5,7,11,19,35,67,…
(3)1,- , ,- ,…
二、教学反思
(一)归纳思想的运用
解以上这道规律题都是先通过图形的直观性,得出几个特殊的例子的数据,再由特殊到一般探索这类问题的规律、提出猜想,这个过程运用了一个重要的数学思想——归纳. 归纳思想是数学探索发现的一种重要的思想,学生的创造力在很大程度上都是依赖于归纳的能力. 没有归纳就相当于没有创新的源泉. 推广到将来的工作、生活中,如果一个人将归纳应用于生活中,那么他也将更好的完善自我,更可能实现自己的奋斗目标. 所以,归纳思想不仅仅是重要的数学思想,更是使人终身受益的重要思想.
(二)转化思想的运用
就解题的本质而言,解题既意味着转化:即把生疏问题转化为熟悉问题,把抽象问题转化为具体问题,把复杂问题转化为简单问题,把一般问题转化为特殊问题,等等. 在解这些题目的过程中,先将图形信息转化为数据信息,再将数据信息转化为符号语言,有了符号就又可以对应所要求的任意一个具体的问题.
总之,在解一个数学问题中,可以通过先发现它的解题规律再掌握它的解题方法. 如何发现解题规律,是解题的关键所在. 因此,通过仔细观察,了解其结构特点,通过比较,发现相互之间的内在联系,再归纳出一般规律. 这种由特殊到一般的思维方式,不仅是发现解题规律的重要方法,而且是数学创新的重要思想基础.
一、例题讲解
例1 按下图的方式,用火柴棒搭三角形.
搭1个三角形需要火柴棒_____根;
搭2个三角形需要火柴棒_____根;
搭3个三角形需要火柴棒_____根;
搭10个三角形需要火柴棒_____根;
搭100个三角形需要火柴棒_____根.
解法一 根据图形可知:前三个空应填3,5,7,因为搭第1个三角形需要3根火柴棒,每增加1个三角形就增加2根火柴棒,所以搭10个三角形需要火柴棒3 9 × 2 = 21根,搭100个三角形需要火柴棒3 99 × 2 = 201根.
解法二 可以将搭1个三角形看作1 2根火柴棒,像这样搭2个三角形需要1 2 × 2 = 5火柴棒,搭3个三角形需要1 3 × 2 = 7火柴棒,搭10个三角形需要火柴棒1 10 × 2 = 21根,搭100个三角形需要火柴棒1 100 × 2 = 201根.
解法三 可以将搭每1个三角形看作用3根火柴棒,搭2个三角形需要2 × 3 - 1 = 5火柴棒,搭3个三角形需要3 × 3 - 2 = 7火柴棒,搭10个三角形需要火柴棒10 × 3 - 9 = 21根,搭100个三角形需要火柴棒100 × 3 - 99 = 201根.
解法四 根据图形:可得一组数列:3,5,7,9,…
用作差法(从第二个数开始,将每个数和它的前一个数作差),可得差值始终是2,所以可猜想第n个数为2n ?,再取一个n的值代入,例如取n = 1代入可得2 × 1 ?= 3,则? = 1,所以第n个数可表示为2n 1. (再任取几个n的值代入验证. )
变式训练:
求下列各组数列中的第100个数.
(1)2,4,6,8,…
(2)1,4,7,10,…
(3)1, , , ,…
例2 剪绳子:
(1)将一根绳子对折1次后从中间剪一刀(如图),绳子变成 段;
将一根绳子对折2次后从中间剪一刀,绳子变成 段;将一根绳子对折3次后从中间剪一刀,绳子变成 段.
(2)将一根绳子对折n次后从中间剪一刀,绳子变成 段.
解 根据操作可知:
将一根绳子对折1次后从中间剪一刀,绳子变成3段;
将一根绳子对折2次后从中间剪一刀,绳子变成5段;
将一根绳子对折3次后从中间剪一刀,绳子变成9段;
将一根绳子对折4次后从中间剪一刀,绳子变成17段;
按此规律可得一组数列:3,5,9,17,…
解法一 作差法. 可得其差值分别为:2,4,8,…,其数值增长的速度超过之前数列的数值增长的速度,所以应该比n2的变化更快,而且其差值是以2的乘方在增长,因此,尝试用2n ?来描述;再取一个n的值代入,例如取n = 2代入可得22 ? = 5,则?= 1. 所以,第n个数可表示为2n 1. (再任取几个n的值代入验证. )
解法二 对比序号. 把变数和序号放在一起进行对比,本题中将3,5,9,17对应①②③④可以发现数列中的数,都可以表示为2乘方数多1. 由此可得第n个数可表示为2n 1.
变式训练:
求下列各组数列中的第n个数.
(1)2,4,8,16,32,64,…
(2)5,7,11,19,35,67,…
(3)1,- , ,- ,…
二、教学反思
(一)归纳思想的运用
解以上这道规律题都是先通过图形的直观性,得出几个特殊的例子的数据,再由特殊到一般探索这类问题的规律、提出猜想,这个过程运用了一个重要的数学思想——归纳. 归纳思想是数学探索发现的一种重要的思想,学生的创造力在很大程度上都是依赖于归纳的能力. 没有归纳就相当于没有创新的源泉. 推广到将来的工作、生活中,如果一个人将归纳应用于生活中,那么他也将更好的完善自我,更可能实现自己的奋斗目标. 所以,归纳思想不仅仅是重要的数学思想,更是使人终身受益的重要思想.
(二)转化思想的运用
就解题的本质而言,解题既意味着转化:即把生疏问题转化为熟悉问题,把抽象问题转化为具体问题,把复杂问题转化为简单问题,把一般问题转化为特殊问题,等等. 在解这些题目的过程中,先将图形信息转化为数据信息,再将数据信息转化为符号语言,有了符号就又可以对应所要求的任意一个具体的问题.
总之,在解一个数学问题中,可以通过先发现它的解题规律再掌握它的解题方法. 如何发现解题规律,是解题的关键所在. 因此,通过仔细观察,了解其结构特点,通过比较,发现相互之间的内在联系,再归纳出一般规律. 这种由特殊到一般的思维方式,不仅是发现解题规律的重要方法,而且是数学创新的重要思想基础.