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平面向量集数与形于一身,是数形结合的重要体现.处理向量有关问题时,我们可从两个方面切入,一是寻找与挖掘向量对应图形,借助图形的丰富的几何性质与直观性将问题转化;二是利用条件中或隐含的垂直关系建立直角坐标系,将图形量化后求解,即将向量坐标化.下面举例分析.
一、几何法——以形助数
例1 (2009全国卷I文8)设非零向量a、b、c满足|a|=|b|=|c|,a+b=c,
则=
解析:设a=OA,b=OB,c=OC,由向量加法的平行四边形法则,知OA,OB可构成菱形的两条相邻边,且菱形OACB对角线OC长等于菱形的边长,故∠AOB=120°.
评注:本题虽可以将a+b=c平方,利用向量数量积也不难求解,而利用向量加法,借助平行四边形法则,善用菱形几何性质,问题可快速获解.
例2 (2008浙江卷9)已知a,b是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量c满足(a-c)•(b-c)=0,则c的最大值是
解析:利用数形结合,不妨设a=OA,b=OB,c=OC,则a-c=-AC,b-c=-BC,由(a-c)•(b-c)=0知,AC⊥BC,可知点C在以AB为直径的圆上,如下图,OC的最大值是该圆的直径,又OA=OB=1,则AB=2,故c的最大值是2.
评注:向量中出现两个向量数量积等于零,易联想到直线垂直,根据圆的直径所对圆周角是直角的特征来构造圆,巧妙新颖,解题过程变得直观而简捷.
例3 已知向量OB=(2,0),OC=(2,2),CA=(2cosα,2sinα),则OA与OB夹角的取值范围是
解析:因CA的终点A在以C(2,2)为圆心,2为半径的圆上.OA1,OA2是圆的两条切线,Rt△OCA1中,OC=22,CA=2,则∠COA1=∠COA2=π6,因∠COB=π4,则∠A1OB=π4-π6=π12,∠A2OB=π4+π6=5π12,故OA与OB夹角的取值范围是[π12,5π12].
评注:由cos2α+sin2α=1进而联想到圆,在得到A的轨迹是圆,借助圆丰富的几何性质,将问题转化到圆中解决,简单易操作.
二、坐标法—以数解形
例4 (2009湖南15)如图,两块斜边长相等的直角三角板拼在一块,若AD=xAB+yAC,则x= ,y=
解析:以AB,AC所在的直线分别为x轴,y轴,建立如图所示的直角坐标系,不妨设BC=DE=2,过点D做DF⊥x轴于点F.则AB=AC=2,BD=3,又∠DBF=45°,
则BF=DF=3×22=62,
故AB=(2,0),AC=(0,2)
AD=(2+62,62),因AD=xAB+yAC,
可得x=1+32,y=32.
评注:由直角三角形,易想到建立直角坐标系,让向量坐标化,只要求出A,B,C,D的坐标,问题便迎刃而解.
例5 (2009天津15)若等边△ABC的边长为23,平面内一点M满足CM=16CB+23CA,则MA•MB=
解:以BC的中点O为坐标原点,BC所在直线为x轴建立直角坐标系,则A(0,3),B(-3,0),C(3,0),设M(x,y),
则CA=(-3,3),CB=(-23,0),CM=(x-3,y),
由CM=16CB+23CA,可得x=0,y=2,则MA=(0,1),MB=(-3,-2),
故MA•MB=-2
评注:由等边△ABC,利用其对称性,通常是以底边的中点为坐标原点建立直角坐标系,这样比较方便,易于求A,B,C坐标.向量坐标化的关键是适当建立直角坐标系,并使给出向量(或点)的坐标形式尽可能简单,又具有一般性.
例6 (2009安徽14)给定两个长度为1的单位向量OA和OB,它们的夹角为120°,如图所示,点C在以O为圆心的圆弧AB上变动,若OC=xOA+yOB,其中x,y∈R,则x+y的最大值为
解:以O为坐标原点,OA所在直线为x轴建立直角坐标系,则A(1,0),B(-12,32),又OC=xOA+yOB,则C(x-y2,32y),又(x-y2)2+(32y)2=1,整理得x2-xy+y2=1
则(x+y)2=1+3xy≤1+3(x+y2)2,解得x+y≤2,故x+y的最大值为2.
评注:本题通过建系,让向量坐标化,结合条件可得关于x,y一个等式,为快速、准确解题铺就坦途,借助不等式知识即可顺利获解.
对于向量有关问题,从以上两个方面考虑,常能找到解决问题的突破口,快速明确思路.善于利用向量中的“形”,将问题转化平面几何问题,能有效简化运算,收到直观、明快之效.向量的坐标表示是将几何问题代数化,很多题目中没有明确给出向量坐标,不少同学苦于不知如何入手,其实将向量坐标化便是良策之一.
练习:
1.设向量a,b,c满足a+b+c=0,(a-b)⊥c,a⊥b,若a=1,则a2+b2+c2的值是
2.如图,平面内有三个向量OA、OB、OC,其中与OA与OB的夹角为120°,OA与OC的夹角为30°,且OA=OB=1,OC=23,
若OC=λOA+μOB,(λ,μ∈R),则λ+μ= .
答案:6
(提示:用坐标法)
(作者:印琴红,江苏省连云港市板浦高级中学)
一、几何法——以形助数
例1 (2009全国卷I文8)设非零向量a、b、c满足|a|=|b|=|c|,a+b=c,
则
解析:设a=OA,b=OB,c=OC,由向量加法的平行四边形法则,知OA,OB可构成菱形的两条相邻边,且菱形OACB对角线OC长等于菱形的边长,故∠AOB=120°.
评注:本题虽可以将a+b=c平方,利用向量数量积也不难求解,而利用向量加法,借助平行四边形法则,善用菱形几何性质,问题可快速获解.
例2 (2008浙江卷9)已知a,b是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量c满足(a-c)•(b-c)=0,则c的最大值是
解析:利用数形结合,不妨设a=OA,b=OB,c=OC,则a-c=-AC,b-c=-BC,由(a-c)•(b-c)=0知,AC⊥BC,可知点C在以AB为直径的圆上,如下图,OC的最大值是该圆的直径,又OA=OB=1,则AB=2,故c的最大值是2.
评注:向量中出现两个向量数量积等于零,易联想到直线垂直,根据圆的直径所对圆周角是直角的特征来构造圆,巧妙新颖,解题过程变得直观而简捷.
例3 已知向量OB=(2,0),OC=(2,2),CA=(2cosα,2sinα),则OA与OB夹角的取值范围是
解析:因CA的终点A在以C(2,2)为圆心,2为半径的圆上.OA1,OA2是圆的两条切线,Rt△OCA1中,OC=22,CA=2,则∠COA1=∠COA2=π6,因∠COB=π4,则∠A1OB=π4-π6=π12,∠A2OB=π4+π6=5π12,故OA与OB夹角的取值范围是[π12,5π12].
评注:由cos2α+sin2α=1进而联想到圆,在得到A的轨迹是圆,借助圆丰富的几何性质,将问题转化到圆中解决,简单易操作.
二、坐标法—以数解形
例4 (2009湖南15)如图,两块斜边长相等的直角三角板拼在一块,若AD=xAB+yAC,则x= ,y=
解析:以AB,AC所在的直线分别为x轴,y轴,建立如图所示的直角坐标系,不妨设BC=DE=2,过点D做DF⊥x轴于点F.则AB=AC=2,BD=3,又∠DBF=45°,
则BF=DF=3×22=62,
故AB=(2,0),AC=(0,2)
AD=(2+62,62),因AD=xAB+yAC,
可得x=1+32,y=32.
评注:由直角三角形,易想到建立直角坐标系,让向量坐标化,只要求出A,B,C,D的坐标,问题便迎刃而解.
例5 (2009天津15)若等边△ABC的边长为23,平面内一点M满足CM=16CB+23CA,则MA•MB=
解:以BC的中点O为坐标原点,BC所在直线为x轴建立直角坐标系,则A(0,3),B(-3,0),C(3,0),设M(x,y),
则CA=(-3,3),CB=(-23,0),CM=(x-3,y),
由CM=16CB+23CA,可得x=0,y=2,则MA=(0,1),MB=(-3,-2),
故MA•MB=-2
评注:由等边△ABC,利用其对称性,通常是以底边的中点为坐标原点建立直角坐标系,这样比较方便,易于求A,B,C坐标.向量坐标化的关键是适当建立直角坐标系,并使给出向量(或点)的坐标形式尽可能简单,又具有一般性.
例6 (2009安徽14)给定两个长度为1的单位向量OA和OB,它们的夹角为120°,如图所示,点C在以O为圆心的圆弧AB上变动,若OC=xOA+yOB,其中x,y∈R,则x+y的最大值为
解:以O为坐标原点,OA所在直线为x轴建立直角坐标系,则A(1,0),B(-12,32),又OC=xOA+yOB,则C(x-y2,32y),又(x-y2)2+(32y)2=1,整理得x2-xy+y2=1
则(x+y)2=1+3xy≤1+3(x+y2)2,解得x+y≤2,故x+y的最大值为2.
评注:本题通过建系,让向量坐标化,结合条件可得关于x,y一个等式,为快速、准确解题铺就坦途,借助不等式知识即可顺利获解.
对于向量有关问题,从以上两个方面考虑,常能找到解决问题的突破口,快速明确思路.善于利用向量中的“形”,将问题转化平面几何问题,能有效简化运算,收到直观、明快之效.向量的坐标表示是将几何问题代数化,很多题目中没有明确给出向量坐标,不少同学苦于不知如何入手,其实将向量坐标化便是良策之一.
练习:
1.设向量a,b,c满足a+b+c=0,(a-b)⊥c,a⊥b,若a=1,则a2+b2+c2的值是
2.如图,平面内有三个向量OA、OB、OC,其中与OA与OB的夹角为120°,OA与OC的夹角为30°,且OA=OB=1,OC=23,
若OC=λOA+μOB,(λ,μ∈R),则λ+μ= .
答案:6
(提示:用坐标法)
(作者:印琴红,江苏省连云港市板浦高级中学)