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人民教育出版社出版的普通高中课程标准实验教科书《数学③》（必修）第一章“算法初步”中的1.3节“算法案例”中引入了“辗转相除法”与“更相减损术”的算法案例，教科书主要通过举例集中呈现“辗转相除法”与“更相减损术”的算法过程和递归的算法思想，但没有细致揭露其中蕴含的算理，回答了是什么的问题，没有回答为什么的问题.作为教师，需要超越教科书的视野限制，懂得知识的来龙去脉，特别是教科书中涉及到的古代数学史部分，需要探究其发生发展的过程，这样才能在教学时有更深刻的体会，才会情不自禁地感染学生.据此，本文觉得有必要对“辗转相除法”与“更相减损术”做一下梳理，并以此为例，探究教师解读教科书的方法.
1 什么是“辗转相除法”与“更相减损术”
根据数学史料记载，“辗转相除法”是公元前三百多年前的古希腊数学家欧几里得（Euclid）在《几何原本》（第Ⅶ卷，命题ⅰ和命题ⅱ）中首先提出的求最大公约数的方法，所以“辗转相除法”又称为“欧几里得算法”.目前见到书中介绍的“辗转相除法”主要有以下几种：
第一种来自兰纪正、朱恩宽翻译的陕西科学技术出版社出版的《欧几里得几何原本》：“设有不相等的二数，若依次从大数中不断地减去小数，若余数总是量不尽它前面一个数，直到最后的余数为一个单位，则该二数互素.若两数不互素，则依次从大数中不断减去较小者，将有某个余数能量尽它前面一个，而且这最后的余数不是一个单位”[1].
第二种来自李善兰翻译的《几何原本》中的阐述：“两不（相）等数，辗转相减，余一而止，则为两无等数之数.两数非无等数，求其最大等数.法曰：……辗转以小减大，必有减余数可度两数，而减余非为一.若余一，则为无等之数，而与所设之题相反矣，故最后减余数必为等数也”[2].
第三种来自张奠宙、孔凡哲、黄建弘、黄荣良、唐彩斌著的《小学数学研究》：“若a与b是两数，且a>b，从a减去足够多次的b，一直到余数r小于b；然后再从b中减去足够多次的r，直到余数小于r，如此往下进行.若a与b互质，最后余数是1，那么1就是它们的最大公因数；若a与b不互质，就会在某一阶段出现最后一致除尽前一个数的情况，于是这最后的数便是a与b的最大公因数”[3].
第四种来自普通高中课程标准实验教科书《数学③》（必修）中的阐述：“例如用辗转相除法求8251与6105的最大公约数，我们可以考虑用两数中较大的数除以较小的数求得商和余数：8251=6105×1+2146.由此可得，6105与2146的公约数也是8251与6105的公约数，反过来，8251与6105的公约数也是6105与2146的公约数，所以它们的最大公约数相等.对6105与2146重复上述步骤：6105=2146×2+1813，继续重复上述步骤：2146=1813×1+333，1813=333×5+148，333=148×2+37，148=37×4.最后的除数37是148和37的最大公约数，也就是8251与6105的最大公约数，这就是辗转相除法”[4].
从上述的第一种阐述和第二种阐述可以看出，二者对“辗转相除法”求最大公约数的基本描述都是“将大数减小数”，但第一种强调“依次”，第二种强调“辗转”.欧几里得强调“依次”可能为辗转相除法的命名埋下了伏笔，李善兰强调“辗转”可能受到了中国“更相减损术”的影响[5].
第三种和第四种的阐述方式就比较明显地看出“辗转相除法”求最大公约数的基本数学形式.即，若a与b是两个自然数，且a>b，则
“更相减损术”记载在公元1世纪前后、我国最重要的数学文献《九章算术》第一章“方田”中，是对约分方法的完整总结.《九章算术·方田》第六题：“有九十一分之四十九.问约之得几何？答曰：十三分之七.术曰：可半者半之.不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也.以等数约之”[6].
《九章算术》是以算筹为算具的数学书，以算筹演示约分过程如下所示：
翻译为现代语言如下：
第一步：任意给定分数[SX（]m[]n[SX）]（m，n为两个正整数）；判断m，n是否都是偶数.如是，则用2约简；若不是，则执行第二步.
第二步：对分子和分母辗转相减，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减去小数.继续这个操作，直到所得的数相等为止.
第三步：以等数约之，可得到（最简）既约分数.
如果直接使用“更相减损术”来求两个数的最大公约数，则有两种做法：
一种是按照上述约分的步骤，所求的最大公约数就是这个等数或是这个数与约简的数的乘积，例如，求30和18的最大公约数，第一步用2约简得15和9，第二步，15-9=6，9-6=3，6-3=3，则30和18的最大公约数就是2×3=6.人民教育出版社出版的普通高中课程标准实验教科书《数学③》（必修）中即采用此种算法.
另一种是直接采取“更相减损术”的第二步，有学者称其为“辗转相减法”[7]，即任意给定两个正整数，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减去小数.继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数.例如，求30和18的最大公约数，30-18=12，18-12=6，12-6=6，则6就是30和18 的最大公约数.
通过上述分析，可以发现“辗转相除法”和“更相减损术”求最大公约数的方法的实质都是相同的，均强调“大数辗转减小数”，现进行举例说明：
例如求80和24的最大公约数：
“辗转相除法”表示如下：
80÷24=3……8 → 24÷8=3 → 80和24的最大公约数为8.
“更相减损术”表示如下：
①先用2约简 → 40-12=28 → 28-12=16 → 16-12=4 → 12-4=8 → 8-4=4 → 80和24的最大公约数为2×4=8.
②80-24=56→56-24=32→32-24=8→24-8=16→16-8=8→80和24的最大公约数为8. 通过比较发现“更相减损术”求最大公约数的运算过程可以简化为“辗转相除法”求最大公约数的运算过程，但第一步比“辗转相除法”多了一个约简的过程.此外，“更相减损术”在某些时候比“辗转相除法”要优越，例如在求两个以上正整数的最大公约数时，“辗转相除法”是先求出其中两数的最大公因数，再求出它与第三个数的最大公因数，而“更相减损术”可一次求出任意多个数的最大公约数，算法是：将最小数乘以不同的因子与其余各数进行减法运算，将差为0的数据筛选掉，若只剩下两个数，其中一个为0时，则结束，此时的非0数据便是所求的最大公约数，否则重复上述步骤[8].
2 “辗转相除法”与“更相减损术”的基本原理
最大公约数（greatest common divisor）简写为gcd，如果求a和b两个正整数的最大公约数，可以表示为gcd（a，b）.正如前文所述，若a>b，依照“辗转相除法”和“更相减损术”的算法思想，则求最大公约数的过程如下所示：
欧几里得在《几何原本》中用线段进行了直观演示和逻辑论证[9]：
设AB，CD是不互素的两数，如果CD量尽AB，这时它也量尽它自己，那么CD就是CD和AB的一个公度数，并且显然CD也是最大公度数.
这是因为没有比CD更大的数能量尽CD.但是如果CD量不尽AB，那么从AB和CD中的较大者不断减去较小者，如此，将有某个余数能量尽它前面一个.这最后的余数不是一个单位，否则AB和CD就是互素的，这与假设矛盾.所以某数将是量尽它前面的一个余数.
现在设CD量出BE，余数EA小于CD，设EA量出DF，余数FC小于EA，又设CF量尽AE.这样由于CF量尽AE，以及AE量尽DF，所以CF也量尽DF.因为它也量尽它自己，所以它也量尽整体CD.然而CD量尽BE，所以CF也量尽BE.因为CF也量尽EA，所以它也量尽整体BA.然而CF也量尽CD，所以CF量尽AB，CD.所以CF是AB和CD的一个公度数.接下来证明它也是最大公度数.
因为，如果CF不是AB和CD的最大公度数，那么必有大于CF的某数将量尽AB和CD，设这样的数为G.现在，由于G量尽CD，而CD量尽BE，那么G也量尽BE.因为它也量尽整体BA，所以它也量尽余数AE.因为AE量尽DF，所以G也量尽DF.因为G也量尽整体DC，所以G也量尽余数CF，即较大的数量尽较小的数，这是不可能的，所以没有大于CF的数能量尽AB和CD，因而CF是AB和CD的最大公度数.
3 小结
如上所述，数学教师只有清楚了什么是“辗转相除法”和“更相减损术”，才能够站在数学的视角看教科书；清楚了“辗转相除法”与“更相减损术”为什么可以求出两个正整数的最大公约数的问题，教师才能够从数学本质回答学生的问题和困惑，才能真正使学生感受和理解古代数学知识的魅力，超越教科书“弱水三千，只需取一瓢饮”所带来的思维局限性.
除了清楚所要教的数学知识的来龙去脉，教师在解读教科书时还需做到“两个比较，一个参照”，以便更好地将课程标准、教科书以及教师融为一体：
两个方面的比较：一是将教科书内容安排与教师用书作比较，看教师用书中所要表达的意图是否在教科书中得到了充分体现.例如，教师用书中“感受算法在解决实际问题中的重要作用”这点在教科书中未得到充分体现，教科书中举的实例都是纯数学的实例，这就需要进行调整和补充；二是将教师用书中的编写意图与课程标准比较，看是否遵循了课程标准的基本精神和基本要求，例如，课标中提出“通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献”，教科书同时引入了西方和中国古代的数学案例，但在编写意图里没有强调“体会中国古代数学对世界数学发展的贡献”，只是强调了其中的“算法思想”，这样的安排可能会误导教师在教学中忽略了情感、态度和价值观目标的培养.这是教师评判意识的重要体现，也是教师主观能动作用发挥的重要体现.因为这可以决定教师对教科书进行“再创造”的方向和空间.
教师还需要做到“一个参照”，即参照其它版本的教科书对这部分内容的处理，以便获得启发，例如北师版通过具体问题情境引入算法，以及引入“韩信点兵”的故事更能反映算法在解决实际问题中的作用.
参考文献
[1] [9]兰纪正，朱恩宽译.欧几里得几何原本[M].西安：陕西科学技术出版社，2003.194-195，196-197.
[2] [5][6]沈康身.更相减损术源流[J].自然科学史研究，1982，1（03）：193-194.
[3] 张奠宙，孔凡哲，黄建弘，黄荣良，唐采斌.小学数学研究[M].北京：高等教育出版社，2008.65.
[4] 刘绍学，张淑梅主编.普通高中课程标准实验教科书③（必修）[M].北京：人民教育出版社，2007.34.
[7] 马再鸣，蒋晓云.更相减损术不是求最大公约数的算法[J].西昌学院学报·自然科学版，2006，20（02）：32.
[8] 白海东，朱丽敏.辗转相除法求多个数的最大公约数的递归实现[J].鸡西大学学报，2005，5（03）：39.
作者简介：严家丽（1986-），女，安徽六安人，东北师范大学教育科学学院博士研究生，主要研究方向为课程与教学论，数学教育.
1 什么是“辗转相除法”与“更相减损术”
根据数学史料记载，“辗转相除法”是公元前三百多年前的古希腊数学家欧几里得（Euclid）在《几何原本》（第Ⅶ卷，命题ⅰ和命题ⅱ）中首先提出的求最大公约数的方法，所以“辗转相除法”又称为“欧几里得算法”.目前见到书中介绍的“辗转相除法”主要有以下几种：
第一种来自兰纪正、朱恩宽翻译的陕西科学技术出版社出版的《欧几里得几何原本》：“设有不相等的二数，若依次从大数中不断地减去小数，若余数总是量不尽它前面一个数，直到最后的余数为一个单位，则该二数互素.若两数不互素，则依次从大数中不断减去较小者，将有某个余数能量尽它前面一个，而且这最后的余数不是一个单位”[1].
第二种来自李善兰翻译的《几何原本》中的阐述：“两不（相）等数，辗转相减，余一而止，则为两无等数之数.两数非无等数，求其最大等数.法曰：……辗转以小减大，必有减余数可度两数，而减余非为一.若余一，则为无等之数，而与所设之题相反矣，故最后减余数必为等数也”[2].
第三种来自张奠宙、孔凡哲、黄建弘、黄荣良、唐彩斌著的《小学数学研究》：“若a与b是两数，且a>b，从a减去足够多次的b，一直到余数r小于b；然后再从b中减去足够多次的r，直到余数小于r，如此往下进行.若a与b互质，最后余数是1，那么1就是它们的最大公因数；若a与b不互质，就会在某一阶段出现最后一致除尽前一个数的情况，于是这最后的数便是a与b的最大公因数”[3].
第四种来自普通高中课程标准实验教科书《数学③》（必修）中的阐述：“例如用辗转相除法求8251与6105的最大公约数，我们可以考虑用两数中较大的数除以较小的数求得商和余数：8251=6105×1+2146.由此可得，6105与2146的公约数也是8251与6105的公约数，反过来，8251与6105的公约数也是6105与2146的公约数，所以它们的最大公约数相等.对6105与2146重复上述步骤：6105=2146×2+1813，继续重复上述步骤：2146=1813×1+333，1813=333×5+148，333=148×2+37，148=37×4.最后的除数37是148和37的最大公约数，也就是8251与6105的最大公约数，这就是辗转相除法”[4].
从上述的第一种阐述和第二种阐述可以看出，二者对“辗转相除法”求最大公约数的基本描述都是“将大数减小数”，但第一种强调“依次”，第二种强调“辗转”.欧几里得强调“依次”可能为辗转相除法的命名埋下了伏笔，李善兰强调“辗转”可能受到了中国“更相减损术”的影响[5].
第三种和第四种的阐述方式就比较明显地看出“辗转相除法”求最大公约数的基本数学形式.即，若a与b是两个自然数，且a>b，则
“更相减损术”记载在公元1世纪前后、我国最重要的数学文献《九章算术》第一章“方田”中，是对约分方法的完整总结.《九章算术·方田》第六题：“有九十一分之四十九.问约之得几何？答曰：十三分之七.术曰：可半者半之.不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也.以等数约之”[6].
《九章算术》是以算筹为算具的数学书，以算筹演示约分过程如下所示：
翻译为现代语言如下：
第一步：任意给定分数[SX（]m[]n[SX）]（m，n为两个正整数）；判断m，n是否都是偶数.如是，则用2约简；若不是，则执行第二步.
第二步：对分子和分母辗转相减，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减去小数.继续这个操作，直到所得的数相等为止.
第三步：以等数约之，可得到（最简）既约分数.
如果直接使用“更相减损术”来求两个数的最大公约数，则有两种做法：
一种是按照上述约分的步骤，所求的最大公约数就是这个等数或是这个数与约简的数的乘积，例如，求30和18的最大公约数，第一步用2约简得15和9，第二步，15-9=6，9-6=3，6-3=3，则30和18的最大公约数就是2×3=6.人民教育出版社出版的普通高中课程标准实验教科书《数学③》（必修）中即采用此种算法.
另一种是直接采取“更相减损术”的第二步，有学者称其为“辗转相减法”[7]，即任意给定两个正整数，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减去小数.继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数.例如，求30和18的最大公约数，30-18=12，18-12=6，12-6=6，则6就是30和18 的最大公约数.
通过上述分析，可以发现“辗转相除法”和“更相减损术”求最大公约数的方法的实质都是相同的，均强调“大数辗转减小数”，现进行举例说明：
例如求80和24的最大公约数：
“辗转相除法”表示如下：
80÷24=3……8 → 24÷8=3 → 80和24的最大公约数为8.
“更相减损术”表示如下：
①先用2约简 → 40-12=28 → 28-12=16 → 16-12=4 → 12-4=8 → 8-4=4 → 80和24的最大公约数为2×4=8.
②80-24=56→56-24=32→32-24=8→24-8=16→16-8=8→80和24的最大公约数为8. 通过比较发现“更相减损术”求最大公约数的运算过程可以简化为“辗转相除法”求最大公约数的运算过程，但第一步比“辗转相除法”多了一个约简的过程.此外，“更相减损术”在某些时候比“辗转相除法”要优越，例如在求两个以上正整数的最大公约数时，“辗转相除法”是先求出其中两数的最大公因数，再求出它与第三个数的最大公因数，而“更相减损术”可一次求出任意多个数的最大公约数，算法是：将最小数乘以不同的因子与其余各数进行减法运算，将差为0的数据筛选掉，若只剩下两个数，其中一个为0时，则结束，此时的非0数据便是所求的最大公约数，否则重复上述步骤[8].
2 “辗转相除法”与“更相减损术”的基本原理
最大公约数（greatest common divisor）简写为gcd，如果求a和b两个正整数的最大公约数，可以表示为gcd（a，b）.正如前文所述，若a>b，依照“辗转相除法”和“更相减损术”的算法思想，则求最大公约数的过程如下所示：
欧几里得在《几何原本》中用线段进行了直观演示和逻辑论证[9]：
设AB，CD是不互素的两数，如果CD量尽AB，这时它也量尽它自己，那么CD就是CD和AB的一个公度数，并且显然CD也是最大公度数.
这是因为没有比CD更大的数能量尽CD.但是如果CD量不尽AB，那么从AB和CD中的较大者不断减去较小者，如此，将有某个余数能量尽它前面一个.这最后的余数不是一个单位，否则AB和CD就是互素的，这与假设矛盾.所以某数将是量尽它前面的一个余数.
现在设CD量出BE，余数EA小于CD，设EA量出DF，余数FC小于EA，又设CF量尽AE.这样由于CF量尽AE，以及AE量尽DF，所以CF也量尽DF.因为它也量尽它自己，所以它也量尽整体CD.然而CD量尽BE，所以CF也量尽BE.因为CF也量尽EA，所以它也量尽整体BA.然而CF也量尽CD，所以CF量尽AB，CD.所以CF是AB和CD的一个公度数.接下来证明它也是最大公度数.
因为，如果CF不是AB和CD的最大公度数，那么必有大于CF的某数将量尽AB和CD，设这样的数为G.现在，由于G量尽CD，而CD量尽BE，那么G也量尽BE.因为它也量尽整体BA，所以它也量尽余数AE.因为AE量尽DF，所以G也量尽DF.因为G也量尽整体DC，所以G也量尽余数CF，即较大的数量尽较小的数，这是不可能的，所以没有大于CF的数能量尽AB和CD，因而CF是AB和CD的最大公度数.
3 小结
如上所述，数学教师只有清楚了什么是“辗转相除法”和“更相减损术”，才能够站在数学的视角看教科书；清楚了“辗转相除法”与“更相减损术”为什么可以求出两个正整数的最大公约数的问题，教师才能够从数学本质回答学生的问题和困惑，才能真正使学生感受和理解古代数学知识的魅力，超越教科书“弱水三千，只需取一瓢饮”所带来的思维局限性.
除了清楚所要教的数学知识的来龙去脉，教师在解读教科书时还需做到“两个比较，一个参照”，以便更好地将课程标准、教科书以及教师融为一体：
两个方面的比较：一是将教科书内容安排与教师用书作比较，看教师用书中所要表达的意图是否在教科书中得到了充分体现.例如，教师用书中“感受算法在解决实际问题中的重要作用”这点在教科书中未得到充分体现，教科书中举的实例都是纯数学的实例，这就需要进行调整和补充；二是将教师用书中的编写意图与课程标准比较，看是否遵循了课程标准的基本精神和基本要求，例如，课标中提出“通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献”，教科书同时引入了西方和中国古代的数学案例，但在编写意图里没有强调“体会中国古代数学对世界数学发展的贡献”，只是强调了其中的“算法思想”，这样的安排可能会误导教师在教学中忽略了情感、态度和价值观目标的培养.这是教师评判意识的重要体现，也是教师主观能动作用发挥的重要体现.因为这可以决定教师对教科书进行“再创造”的方向和空间.
教师还需要做到“一个参照”，即参照其它版本的教科书对这部分内容的处理，以便获得启发，例如北师版通过具体问题情境引入算法，以及引入“韩信点兵”的故事更能反映算法在解决实际问题中的作用.
参考文献
[1] [9]兰纪正，朱恩宽译.欧几里得几何原本[M].西安：陕西科学技术出版社，2003.194-195，196-197.
[2] [5][6]沈康身.更相减损术源流[J].自然科学史研究，1982，1（03）：193-194.
[3] 张奠宙，孔凡哲，黄建弘，黄荣良，唐采斌.小学数学研究[M].北京：高等教育出版社，2008.65.
[4] 刘绍学，张淑梅主编.普通高中课程标准实验教科书③（必修）[M].北京：人民教育出版社，2007.34.
[7] 马再鸣，蒋晓云.更相减损术不是求最大公约数的算法[J].西昌学院学报·自然科学版，2006，20（02）：32.
[8] 白海东，朱丽敏.辗转相除法求多个数的最大公约数的递归实现[J].鸡西大学学报，2005，5（03）：39.
作者简介：严家丽（1986-），女，安徽六安人，东北师范大学教育科学学院博士研究生，主要研究方向为课程与教学论，数学教育.