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基本不等式是高中数学中的重点知识,其应用范围较广,尤其在求最值时,运用基本不等式能使问题快速获解.而在运用基本不等式求最值时,我们需要注意以下两个问题.
一、把握应用基本不等式的条件
运用基本不等式求最值需把握三个条件:一正、二定、三相等.“一正”是指两个数或两个式子都是大于 0的;“二定”是指两个数或两个式子的积或和为定值;“三相等”指在两个数或两个式子相等时不等式可取等號.运用基本不等式求最值,这三个条件缺一不可.
例1 .
很多同学在运用基本不等式时往往会注意到“一正”“二定”两个条件,却忽略“三相等”这个条件.大家在解题时要警惕,避免出现这样的错误.
二、灵活运用配凑技巧
运用基本不等式求最值,关键是配凑出两式的和或积的定值.如何配凑呢?常见的配凑技巧有拆项、裂项、添项等,下面我们结合实例来说明.
1.拆项
在拆项时,我们要学会将某些项拆为两项之和、差、积的形式,以便配凑出两式的和或积.常见的拆项形式有:等.
例2 .
分析:
解:
2.裂项
裂项是指将某一项分裂为两项、三项之和或者差的形式,然后将各式重新组合,配凑出两式的和或积,运用基本不等式求得最值.裂项常用于求分式的最值.
例3 .
分析:要运用基本不等式求得 y 的最小值,需先将函数式中的分式裂项,配凑出分母 x +1 ,才可利用基本不等式求得最值.
解:
3.添项
添项,即通过恒等变换,在代数式中添加某些项,从而配凑出两式的和或者积.常见的添项形式有:等.
例4 .
分析:
解:
因此 a +b 的最小值为
虽然,基本不等式法是一种常用的解题方法,也是大家比较熟悉的方法,但是同学们在解题时一定要注意这两个问题,只有把握了应用基本不等式的条件,学会灵活运用配凑的技巧,才能顺利求得问题的答案.
(作者单位:江苏省海门证大中学)
一、把握应用基本不等式的条件
运用基本不等式求最值需把握三个条件:一正、二定、三相等.“一正”是指两个数或两个式子都是大于 0的;“二定”是指两个数或两个式子的积或和为定值;“三相等”指在两个数或两个式子相等时不等式可取等號.运用基本不等式求最值,这三个条件缺一不可.
例1 .
很多同学在运用基本不等式时往往会注意到“一正”“二定”两个条件,却忽略“三相等”这个条件.大家在解题时要警惕,避免出现这样的错误.
二、灵活运用配凑技巧
运用基本不等式求最值,关键是配凑出两式的和或积的定值.如何配凑呢?常见的配凑技巧有拆项、裂项、添项等,下面我们结合实例来说明.
1.拆项
在拆项时,我们要学会将某些项拆为两项之和、差、积的形式,以便配凑出两式的和或积.常见的拆项形式有:等.
例2 .
分析:
解:
2.裂项
裂项是指将某一项分裂为两项、三项之和或者差的形式,然后将各式重新组合,配凑出两式的和或积,运用基本不等式求得最值.裂项常用于求分式的最值.
例3 .
分析:要运用基本不等式求得 y 的最小值,需先将函数式中的分式裂项,配凑出分母 x +1 ,才可利用基本不等式求得最值.
解:
3.添项
添项,即通过恒等变换,在代数式中添加某些项,从而配凑出两式的和或者积.常见的添项形式有:等.
例4 .
分析:
解:
因此 a +b 的最小值为
虽然,基本不等式法是一种常用的解题方法,也是大家比较熟悉的方法,但是同学们在解题时一定要注意这两个问题,只有把握了应用基本不等式的条件,学会灵活运用配凑的技巧,才能顺利求得问题的答案.
(作者单位:江苏省海门证大中学)