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摘 要：小学数学核心内容是指在小学数学课程体系中起奠基作用，能关联一个或数个领域的数学知识。“图形的认识”便可以看作小学数学的核心内容之一。小学数学认识平面图形第二阶段的教学是从了解长方形、正方形特征开始的。《认识长方形和正方形》一课教学，以具体化世界的数学内化学生的元经验，以符号化世界的数学顺应学生的经验与逻辑，以形式化世界的数学帮助学生实现认知平衡。
关键词：小学数学 核心内容 界定 教学
一、小学数学核心内容的界定
聚焦小学数学核心内容，即用高观点分析核心内容的地位与作用，用结构化的视角关联教材内容，它可以使得教师的教学不再是零敲碎打、面面俱到的，而是提纲挈领、一通百通的。学生在课堂因教师鸟瞰式的组织引领，而完整、深刻地探究数学本质，全面、精准地在“森林”中寻找具体的“树木”，不断丰盈着自己的数学素养。这无疑也契合《义务教育数学课程标准（2011年版）》中的建议：“课程内容要反映社会的需要、数学的特点，要符合学生的认知规律。它不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴涵的数学思想方法。”
小学数学核心内容可以从两个角度加以认识：其一，从数学知识形成和发展的逻辑结构来看，往往是具有基础作用和处于关键地位的知识；其二，从数学思想和思维方式的角度来看，往往是概括相关数学内容的共性所反映出的是一般思想和思维方式。
综上分析，小学数学核心內容是指在小学数学课程体系中起奠基作用，能关联一个或数个领域的数学知识。这样的数学知识有利于学生唤醒元认知，形成关键能力，感悟数学的真善美。
二、例谈小学数学核心内容的教学策略
对照前述，“图形的认识”便可以看作小学数学的核心内容之一。它既是“图形与几何”的重要组成部分，也是进一步学习“图形与几何”的基础。学生在经历观察、操作、比较、概括、推理等认识图形的活动中，不仅要探索常见图形的性质，而且要解决与图形有关的实际问题，积累相关的数学经验，并由此获得空间观念和几何直观等的发展，体会图形在现实世界中的广泛存在，感受数学学习的价值。
“图形的认识”从图形间的关系出发，不仅有利于学生构建图形结构，而且有利于学生形成对图形更为深刻的认知。这就是布鲁纳所阐释的：“不论我们选教什么学科，务必使学生理解各门学科的基本结构。经典的迁移问题的核心，与其说是单纯的掌握事实和技巧，不如说是学习结构。”
小学数学认识平面图形第二阶段的教学是从了解长方形、正方形特征开始，逐渐向认识三角形、平行四边形、梯形以及圆和扇形发展的，教学内容的前后发展是有联系性的。但有两种现象不可忽视：其一，学生在掌握图形的定义之前，已经广泛地使用诸如长方形、正方形等概念。其二，学生一般先依靠整体印象，再从特征调试对图形的认知。那么，通过对实物的观察操作，学生便能体会到现实世界与数学图形的联系。这样，“形”就成了解释世界的一种可能。
英国著名数学教育家韬尔将数学分为“三个世界”：具体化世界、符号化世界、形式化世界。而小学数学核心内容的教学依照这样的认识，便可在形象与具象中帮助学生内化、顺应数学经验与逻辑，实现认知平衡，发展数学素养。下面以《认识长方形和正方形》一课为例具体阐述。
（一）以具体化世界的数学内化元经验
教师设计了“变图形”的活动：出示魔盒，想要在魔盒里摸出一个长方形，可是魔盒中变出了圆形（见图1）；第二次再摸，又变出了一个直角梯形（见图2）。
前两次魔盒中摸出的不是长方形，这激活了学生对长方形的直观认知经验。在观察与思辨中，学生反思应从图形的“边”和“角”这两个维度来认识与判断平面图形，从而归纳出“长方形有直的边，还有角”。
教师第三次摸魔盒，可是魔盒中一下子变出了很多图形（见图3）。
教师提出：“哪些是长方形呢？赶紧找一找。”学生根据已经唤醒的认知经验，一下子找全了所有颜色不一、样子不同的长方形，并在教师随后抛出的问题“仔细观察长方形的4条边、4个角，还有什么特点”的引领下，开启对长方形特征的数学化探究。
教学起点对于学生来说，既要引起对相关学习内容的兴趣，进而产生关注，还要唤起学生的联想，使已有的经验结构与新知的结构产生关联，让新的概念和眼前的现象产生沟通，这样的教学才是有效的。上述教学正是以具体的、形象的、经验的、可见的学习对象，引导学生逐步抽象出长方形的本质特征，从而有利于学生形成内部、外部的感知。
接下来的教学中，教师出示图4，学生坚定地说出：“尽管图形位置改变了、长与宽改变了，但是角还是直角，对边还是相等，当然还是长方形。”
这便实现了皮亚杰关于儿童几何认知发展的论述：要让学生理解图形不变的原则，即认识图形不管怎么移动，其性质不变。
（二）以符号化世界的数学顺应结构
符号化世界的数学起始于操作，继而由解决数学问题实现数学地思考。为此，教师安排了三次数学活动，具体如下：
1.“找”图形。
教师呈现校园场景图（见图5），学生在其中寻找长方形和正方形，引出例题教学内容。
基于学段特点，教师在现实生活中精心提取鲜活素材，从而串联起学生的经验，引导学生经历将生活中的“图案”抽象成数学中的“形”的过程，进而将这些鲜活的体验融会贯通，获得从现实场景到具象图形的认知迁移。
2.“量、折、比”图形。
教师出示一个长方形，提问：“对于长方形你已经知道了哪些？”学生回答：“长方形有4条边和4个角。”教师追问：“用数一数的方法，我们可以知道边和角的数量。那仔细观察长方形的4条边、4个角还有什么特点。”学生作答：“上边和下边相等、左边和右边相等、4个角都是直角。”教师提示：“同学们仅凭观察得出这些结论，究竟对不对呢？我们可以用数学的工具和方法进一步验证。” 于是，同桌两人合作，利用直尺、三角尺等工具，用“量、折、比”的方法对长方形边的长短和角的大小展开了探究与验证活动。
学生只有亲历了“对边相等”“4个角都是直角”的结论形成过程，从“边”和“角”两个维度，用“量、折、比”的操作方法才能自然地迁移到对正方形特征的探索中。
3.“做”图形。
教师提供钉子板、三角尺、小棒，鼓励学生在操作中思考：“怎样围、怎样想、围成的图形有什么特点？”
弗赖登特尔说：“学”这一活动最好的办法就是“做”。就本课内容所处的知识体系来看，长方形、正方形的基本特征对还处于几何思维发展“描述/分析”阶段的学生来说是十分抽象的，需要借助丰富的操作活动，在观察、实验、分析、猜测、验证、推理中经历图形的抽象过程，在实践活动中慢慢摸索、细细体会、逐步抽象。
4.“猜”图形。
学生经过前面的操作活動，形成的对图形的认识还不成系统，需要进行整理。整理的主体仍然是学生。教师设计了“猜图形”的游戏，旨在引导学生通过观察、辨析、讨论，完成对长方形、正方形特点的整理，在直观感受长方形与正方形的联系和区别中，勾连和完善知识结构。
5.“拼”图形。
教师出示图6，依此提问：“用两个这样的正方形能拼出什么图形？”“4个呢？”“用几个能拼出更大的正方形？”旨在激发学生应用长方形、正方形认识相关知识，发展空间观念。
以上活动由现实生活中的物体表面抽象出平面图形，由多类平面图形聚焦到长方形、正方形这两个特殊图形，让学生经历了“生活 化—数学化”的抽象，使符号化的数学世界纳入学生新的认知图式。
（三）以形式化世界的数学平衡认知
1.分辨不同的长方形。
教师呈现形状、颜色、长宽不一的长方形（如图7），提问：“为什么它们都是长方形？”
学生对不同的学习素材从边和角两个维度，展开观察、操作、比较等探究活动，进而得出不同的长方形“对边相等”“4个角都是直角”的基本特征。
在对这三个图形的长与宽进行定量刻画之后，学生体验到了用数学的语言来描述图形的精准。
2.对折。
教师出示一个长20厘米、宽10厘米的长方形，提问：“把这个长方形对折后是什么形状？”
学生的思维一下子被激活：如果沿着长对折，则是一个长10厘米、宽5厘米的长方形；如果沿着宽对折，则折成后的图形看起来像一个正方形，而到底是不是正方形，则可以利用正方形的特征做出判断。
学生在“想象—解释—应用”中巩固了对图形的认识。
3.魔盒再现。
课末，教师再次出示魔盒，并让学生根据三条信息判断是什么图形：（1）我是由四条边围成的；（2）我不仅由四条边围成，还有四个直角；（3）我四条边都相等。
学生在逐步内化信息的过程中，感悟了长方形、正方形等图形都是四边形家族中的一员，即长方形、正方形是特殊的四边形；长方形、正方形两种图形之间有着密切的联系，但在相同中又有着不同。
这样螺旋盘绕，可以使学生对长方形、正方形的认识由直观形象逐步走向理性思辨。
综上，通过对符号世界的自反抽象，数学发展成为形式化定义，数学本质与思想方法也就化为了素养，积淀在学生用数学眼光观察世界、用数学思维分析世界、用数学语言表达世界的策略之中。
参考文献：
[1] 沈重予，王林.小学数学内容分析与教学指导[M].南京：江苏凤凰教育出版社，2015.
[2] 陈琦，刘儒德.当代教育心理学[M].北京：北京师范大学出版社，1997.
[3] 周士民.数学三个世界的理论简介[J].数学通报，2012（3）.
关键词：小学数学 核心内容 界定 教学
一、小学数学核心内容的界定
聚焦小学数学核心内容，即用高观点分析核心内容的地位与作用，用结构化的视角关联教材内容，它可以使得教师的教学不再是零敲碎打、面面俱到的，而是提纲挈领、一通百通的。学生在课堂因教师鸟瞰式的组织引领，而完整、深刻地探究数学本质，全面、精准地在“森林”中寻找具体的“树木”，不断丰盈着自己的数学素养。这无疑也契合《义务教育数学课程标准（2011年版）》中的建议：“课程内容要反映社会的需要、数学的特点，要符合学生的认知规律。它不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴涵的数学思想方法。”
小学数学核心内容可以从两个角度加以认识：其一，从数学知识形成和发展的逻辑结构来看，往往是具有基础作用和处于关键地位的知识；其二，从数学思想和思维方式的角度来看，往往是概括相关数学内容的共性所反映出的是一般思想和思维方式。
综上分析，小学数学核心內容是指在小学数学课程体系中起奠基作用，能关联一个或数个领域的数学知识。这样的数学知识有利于学生唤醒元认知，形成关键能力，感悟数学的真善美。
二、例谈小学数学核心内容的教学策略
对照前述，“图形的认识”便可以看作小学数学的核心内容之一。它既是“图形与几何”的重要组成部分，也是进一步学习“图形与几何”的基础。学生在经历观察、操作、比较、概括、推理等认识图形的活动中，不仅要探索常见图形的性质，而且要解决与图形有关的实际问题，积累相关的数学经验，并由此获得空间观念和几何直观等的发展，体会图形在现实世界中的广泛存在，感受数学学习的价值。
“图形的认识”从图形间的关系出发，不仅有利于学生构建图形结构，而且有利于学生形成对图形更为深刻的认知。这就是布鲁纳所阐释的：“不论我们选教什么学科，务必使学生理解各门学科的基本结构。经典的迁移问题的核心，与其说是单纯的掌握事实和技巧，不如说是学习结构。”
小学数学认识平面图形第二阶段的教学是从了解长方形、正方形特征开始，逐渐向认识三角形、平行四边形、梯形以及圆和扇形发展的，教学内容的前后发展是有联系性的。但有两种现象不可忽视：其一，学生在掌握图形的定义之前，已经广泛地使用诸如长方形、正方形等概念。其二，学生一般先依靠整体印象，再从特征调试对图形的认知。那么，通过对实物的观察操作，学生便能体会到现实世界与数学图形的联系。这样，“形”就成了解释世界的一种可能。
英国著名数学教育家韬尔将数学分为“三个世界”：具体化世界、符号化世界、形式化世界。而小学数学核心内容的教学依照这样的认识，便可在形象与具象中帮助学生内化、顺应数学经验与逻辑，实现认知平衡，发展数学素养。下面以《认识长方形和正方形》一课为例具体阐述。
（一）以具体化世界的数学内化元经验
教师设计了“变图形”的活动：出示魔盒，想要在魔盒里摸出一个长方形，可是魔盒中变出了圆形（见图1）；第二次再摸，又变出了一个直角梯形（见图2）。
前两次魔盒中摸出的不是长方形，这激活了学生对长方形的直观认知经验。在观察与思辨中，学生反思应从图形的“边”和“角”这两个维度来认识与判断平面图形，从而归纳出“长方形有直的边，还有角”。
教师第三次摸魔盒，可是魔盒中一下子变出了很多图形（见图3）。
教师提出：“哪些是长方形呢？赶紧找一找。”学生根据已经唤醒的认知经验，一下子找全了所有颜色不一、样子不同的长方形，并在教师随后抛出的问题“仔细观察长方形的4条边、4个角，还有什么特点”的引领下，开启对长方形特征的数学化探究。
教学起点对于学生来说，既要引起对相关学习内容的兴趣，进而产生关注，还要唤起学生的联想，使已有的经验结构与新知的结构产生关联，让新的概念和眼前的现象产生沟通，这样的教学才是有效的。上述教学正是以具体的、形象的、经验的、可见的学习对象，引导学生逐步抽象出长方形的本质特征，从而有利于学生形成内部、外部的感知。
接下来的教学中，教师出示图4，学生坚定地说出：“尽管图形位置改变了、长与宽改变了，但是角还是直角，对边还是相等，当然还是长方形。”
这便实现了皮亚杰关于儿童几何认知发展的论述：要让学生理解图形不变的原则，即认识图形不管怎么移动，其性质不变。
（二）以符号化世界的数学顺应结构
符号化世界的数学起始于操作，继而由解决数学问题实现数学地思考。为此，教师安排了三次数学活动，具体如下：
1.“找”图形。
教师呈现校园场景图（见图5），学生在其中寻找长方形和正方形，引出例题教学内容。
基于学段特点，教师在现实生活中精心提取鲜活素材，从而串联起学生的经验，引导学生经历将生活中的“图案”抽象成数学中的“形”的过程，进而将这些鲜活的体验融会贯通，获得从现实场景到具象图形的认知迁移。
2.“量、折、比”图形。
教师出示一个长方形，提问：“对于长方形你已经知道了哪些？”学生回答：“长方形有4条边和4个角。”教师追问：“用数一数的方法，我们可以知道边和角的数量。那仔细观察长方形的4条边、4个角还有什么特点。”学生作答：“上边和下边相等、左边和右边相等、4个角都是直角。”教师提示：“同学们仅凭观察得出这些结论，究竟对不对呢？我们可以用数学的工具和方法进一步验证。” 于是，同桌两人合作，利用直尺、三角尺等工具，用“量、折、比”的方法对长方形边的长短和角的大小展开了探究与验证活动。
学生只有亲历了“对边相等”“4个角都是直角”的结论形成过程，从“边”和“角”两个维度，用“量、折、比”的操作方法才能自然地迁移到对正方形特征的探索中。
3.“做”图形。
教师提供钉子板、三角尺、小棒，鼓励学生在操作中思考：“怎样围、怎样想、围成的图形有什么特点？”
弗赖登特尔说：“学”这一活动最好的办法就是“做”。就本课内容所处的知识体系来看，长方形、正方形的基本特征对还处于几何思维发展“描述/分析”阶段的学生来说是十分抽象的，需要借助丰富的操作活动，在观察、实验、分析、猜测、验证、推理中经历图形的抽象过程，在实践活动中慢慢摸索、细细体会、逐步抽象。
4.“猜”图形。
学生经过前面的操作活動，形成的对图形的认识还不成系统，需要进行整理。整理的主体仍然是学生。教师设计了“猜图形”的游戏，旨在引导学生通过观察、辨析、讨论，完成对长方形、正方形特点的整理，在直观感受长方形与正方形的联系和区别中，勾连和完善知识结构。
5.“拼”图形。
教师出示图6，依此提问：“用两个这样的正方形能拼出什么图形？”“4个呢？”“用几个能拼出更大的正方形？”旨在激发学生应用长方形、正方形认识相关知识，发展空间观念。
以上活动由现实生活中的物体表面抽象出平面图形，由多类平面图形聚焦到长方形、正方形这两个特殊图形，让学生经历了“生活 化—数学化”的抽象，使符号化的数学世界纳入学生新的认知图式。
（三）以形式化世界的数学平衡认知
1.分辨不同的长方形。
教师呈现形状、颜色、长宽不一的长方形（如图7），提问：“为什么它们都是长方形？”
学生对不同的学习素材从边和角两个维度，展开观察、操作、比较等探究活动，进而得出不同的长方形“对边相等”“4个角都是直角”的基本特征。
在对这三个图形的长与宽进行定量刻画之后，学生体验到了用数学的语言来描述图形的精准。
2.对折。
教师出示一个长20厘米、宽10厘米的长方形，提问：“把这个长方形对折后是什么形状？”
学生的思维一下子被激活：如果沿着长对折，则是一个长10厘米、宽5厘米的长方形；如果沿着宽对折，则折成后的图形看起来像一个正方形，而到底是不是正方形，则可以利用正方形的特征做出判断。
学生在“想象—解释—应用”中巩固了对图形的认识。
3.魔盒再现。
课末，教师再次出示魔盒，并让学生根据三条信息判断是什么图形：（1）我是由四条边围成的；（2）我不仅由四条边围成，还有四个直角；（3）我四条边都相等。
学生在逐步内化信息的过程中，感悟了长方形、正方形等图形都是四边形家族中的一员，即长方形、正方形是特殊的四边形；长方形、正方形两种图形之间有着密切的联系，但在相同中又有着不同。
这样螺旋盘绕，可以使学生对长方形、正方形的认识由直观形象逐步走向理性思辨。
综上，通过对符号世界的自反抽象，数学发展成为形式化定义，数学本质与思想方法也就化为了素养，积淀在学生用数学眼光观察世界、用数学思维分析世界、用数学语言表达世界的策略之中。
参考文献：
[1] 沈重予，王林.小学数学内容分析与教学指导[M].南京：江苏凤凰教育出版社，2015.
[2] 陈琦，刘儒德.当代教育心理学[M].北京：北京师范大学出版社，1997.
[3] 周士民.数学三个世界的理论简介[J].数学通报，2012（3）.