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摘 要
“倍”是比较两个数量大小的一种基本方法，是学生后续学习“分数”“比”等其他“比率”概念的重要支撑。然而，学生在建构“倍”及其他“比率”概念时，不同程度地出现了一些困难。通过对学生、教师、教材的调查，分析了“倍的认识”这一单元的教学问题与其他比率概念与“倍”的联系问题，并根据建构主义理论，从“同化”和“顺应”这两个维度，提出了若干建议。
[关键词]
建构；同化；顺应；倍；比率
一、问题提出
建构主义认为，“同化”和“顺应”是认知结构发展的主要过程。“同化”是把客观环境因素纳入主体已有的认知结构中。“顺应”是主体的认知结构不能同化客体，必须建立新的或调整原有认知结构。在学习“倍”等“比率”概念时，学生需要通过同化和顺应这两个过程来发展认知结构。
人教版修订后的教材将原来分散在二年级的关于“整数倍”的内容集中在三年级“倍的认识”这一单元中，降低了学生的学习难度，有利于学生建构认知结构。“倍”的本质就是“比率”，关于比率这一重要概念在修订版的人教版教材中编排如下。
人教版中“比率”相关概念的安排表
可见“倍”的概念是学生建构“比率”这一“乘法结构”的伊始。原来已经建立的“加法结构”的平衡被打破，需要通过“顺应”来达到新的平衡。而小数倍、分数（表示率）、百分数、比等内容，都可以看成是在“整数倍”基础上的“同化”。那么，学生在建构“倍”及其他“比率”概念时还存在困难吗？教师在教学中又有哪些困惑？研究这些问题，有助于学生更好地实现“顺应”和“同化”，从而帮助学生自主发展认知结构。
二、调查分析
（一）对学生的调查
为了解学生对“倍”“分数”“比”“百分数”这四个关于比率的子概念的认知情况，设计了如下调查内容，各个项目的正确率见下表。
三年级学生对“倍”的认识调查情况表
数据反映出学生对“倍”的认识还存在一定问题，主要有以下几方面。
1.对“倍”与“几个几”的联系还不够明了
在问题1中，部分学生把“6是2的3倍”这一表征错误地表达成了“2个3”。可以看出，这类学生对“倍”与“几个几”联系还未完全建立，没有实现新旧两个认知结构的沟通。
2.对应用“图形”这一工具还不够自觉
在问题3中，部分学生认为条件不充足，没有发现隐含的倍数关系，缺少寻找“倍数”的方法，缺乏利用倍的本质含义去解决具体的问题。
3.对“倍”这一乘法结构关系还不够清晰
在问题4中，典型错误就是“20×4=80”，他们看到“倍”就用乘法来解决，仿佛“倍”就是“乘法”的代名词。说明学生对求“倍”这一乘法结构没有形成完整的认识，对求其中的“标准量”这一数量关系不清晰。
4.对“非整数倍”的认识还缺少基础
在问题5和6中，选择无法解答的学生比例较高，其中对大于1倍的非整数倍的认可程度要高于对小于1倍的非整数倍认可度。显示出学生的认知结构已然是在整数范畴，要向“非整数倍”发展，仍然存在较大的屏障。
5.对“比率”子概念之间的联系还不够明了
数据反映出六年级学生对“倍”“分数”“比”“百分数”这四个关于“比率”的核心子概念之间的联系没有很好的沟通，阻碍了“比率”这一乘法结构中的重要概念的建构。
（二）对教师的调查
为了解教师对“倍”及其他相关概念的了解，进行了如下调查。
教师对“倍”的了解情况调查表
从调查情况看，部分教师还存在如下问题。
1.对“倍”的理解不到位
什么是“倍”？《新华字典》对应的解释是“跟原数的相等数”，那么几倍就表示与几个原数相等的数，应该说这个解释是不全面的，从数学角度看“倍”，倍实质是一个数除以另一个数所得的商，即“比率”。而很多老师对此不完全清晰。还有部分老师对“非整数倍”持有怀疑态度。
2.对相关概念之间的联系认识不到位
“倍”是“比率”的一个子概念，与“分数”“比”“百分数”有密切的联系，这四个子概念之间是可以互相转化的，但教师对“倍”与其他子概念的联系认识是模糊的，进而可能在教学中也无法将这些概念联系起来进行教学，从而影响学生建构起完整“比率”结构。
3.对学生的认知水平掌握不到位
在一堂“求一个数是另一个数的几倍”教研课中，笔者发现执教老师意图将“大于1的非整数倍”和“小于1的非整数倍”进行渗透，出现了学生由于缺少小数除法、分数等基础知识的支撑而感到茫然的情况。显然，教师对学生的认知水平估计过高，没有找准学生认知的最近发展区。
（三）对教材的调查
为进一步了解教材对“倍”等比率概念的编排特点，笔者对人教版教材进行了调查。总体上看教材的编排符合学生的认知特点，同时也存在进一步改善的空间。
1.“1倍”的结构性材料尚需补充
在教材中，例题1的任务是帮助学生建立“倍”的概念，出现的是“红萝卜是胡萝卜的3倍”和“白萝卜是胡萝卜的5倍”，而后面的所有材料都有出现“1倍”这个基本关系。而1倍是一个重要的概念，甚至是“倍”的核心。因为在比较两个数量大小时，“同样多”和“1倍”的意义完全相同，是沟通“作差法”和“倍比法”的连接点。
2.“倍”的数量关系结构尚需完善
在三年级上册“倍的认识”单元中，例题2是求一个数是另一个数的几倍，即求“倍数”。例题3是求一个数的几倍是多少，即求“比较量”。显然数量关系结构是不完整的，缺少了“已知一个数的几倍是多少，求这个数”这一类型，即求“标准量”。虽然在三年级下册的教材中出现了这一类型（安排在练习中），但这种编排割裂了学生的认知时间，是值得商榷的。 3.“比率”子概念之间的联系尚需明晰
本套人教版数学教材（修订版）在五年级下册安排了分数、六年级上册安排了“比”和“百分数”的内容，从教材提供的材料来看，对“倍”只字不提，没有给予师生很好的沟通概念之间联系的引导，丧失了“同化”的机会。
（四）调查小结
综合上述调查，笔者发现学生对“倍”这一概念的建构还存在一定问题，体现出多元表征之间转换的自觉性不高，数量关系结构不全等“顺应”问题，对“倍”与其他比率子概念之间的沟通还不明晰等“同化”情况。部分教师对“倍”这一概念的前后联系不清晰，也影响了学生对“倍”及其他“比率”概念的意义建构。
三、建议策略
（一）增强材料结构，降低顺应难度
“倍”对于学生来说是一个全新的认知结构，无法同化到原有的加法结构中，因此需要建立新的结构（即乘法结构）。因此，在教学中，需要提供结构性强的材料，以帮助学生降低顺应的难度。
1.让“几个几”成为“倍”的生长点
在“倍”的引入环节中，建议补充关于“几个几”的学习材料。把抽象的“倍”的概念与学生已经掌握的“几个几”建立联系，同时要提供逆向思考的材料，让学生能从把“几倍“转化为“几个几”，如“蓝花有4朵，红花的朵数是蓝花的3倍，那么红花里有3个4朵”，通过正反两方面的转化，以帮助学生寻找到新知的生长点，初步建立“倍”的概念。
2.让“1倍”成为“倍”的发展点
在“倍”概念理解阶段，建议补充“1倍”这一节点。在人教版的例题及习题中，关于“1倍”的关系难觅踪影，而“1倍”是今后学生认知结构从“大于1倍”向“小于1倍”发展的关键点，具有承前启后的作用。因此，可以先设定标准量不变，比较量变化，直至变成两个量相等，此时就产生了1倍关系。在后续教学中，比较量继续缩小，当连1倍都不到时，用分数来表征就顺理成章了。
3.让“数量关系”成为“倍”的完善点
在用“倍”的概念解决实际问题环节，建议将关系结构补充完整。可以在“求一个数是另一个数的几倍”和“求一个数的几倍是多少”这两类问题后，补充“已知一个数的几倍是多少，求这个数”这一结构的问题，以帮助学生完善认知结构。同时加强“求一个数的几倍是多少”和“已知一个数的几倍是多少，求这个数”这两个类型的比较，更好地帮助学生加深对“倍”的理解。
（二）利用多元表征，建构“倍”的模型
“表征”是指用某种形式表达数学概念的行为，学生借助各种表征来表达数学概念，在不同数学表征之间建立联系，有助于模型的建立。
1.用图形表征让“倍”更加直观
在初步认识倍的阶段，建议用实物图形帮助建立“倍”的模型。为帮助学生进一步抽象和概括，可以确定不同的标准，去表示相同倍数的材料，如“小明买了8个苹果，4个桔子，苹果的数量是桔子的2倍，小红家买了6个桔子，3个苹果，桔子的个数是苹果的2倍”，并抽象成“标准结构”的模型（如图一）。同时还要注意提供“变式结构”（如图二）和“错误结构”（如图三），让学生在辨析中进一步理解“倍”，并向线段图进一步抽象（如图四）。
2.用语言表征抽象“倍”的概念
语言是思维的重要载体。在经历丰富的图形表征后，要让学生逐步用语言来描述两个数量之间的关系。重点要让学生描述“一个量里包含几个另一个量，所以一个量是另一个量的几倍”，用语言不断强化对“倍”的本质认识。
3.用算式表征加深“倍”的理解
在应用“倍”概念解决问题环节，建议从“求倍数、求标准量、求比较量”三个维度出发，安排统一情境的对比材料，如“小明有科技书8本，故事4本，科技书是故事书的几倍”，“小明有科技书8本，故事书是科技书的2倍，故事书有几本？”，“小明有科技书8本，是故事书的2倍，故事书有几本？”。通过类似的对比，让学生加深对倍的理解。
4.沟通各表征之间的联系
在教学中，建议将语言表征、图形表征、算式表征进行转化和沟通。在概念的初步理解阶段，可以先从图形开始，帮助学生对“倍”先有一个直观的认识，从而向语言表征转化。对“倍”有了初步认识后，可以让学生将语言表征向图形表征转化，用圈一圈的方法表征倍数关系，引导学生在头脑中建立起“一个量中包含几个另一个量”的图形，加深对“倍”的本质理解。在解决问题阶段，建议沟通好图示表征和算式表征，发现这两种方法在解决问题中的联系后，要让学生体会这两种方法各自的优点。“图形”能更直观地表达语言表征，“算式”则在解决问题时更具有一般性。尤其要关注“图形”这一几何直观的思想方法，是帮助学生理解题意，准确分析数量关系的重要方法，对解决较复杂的“和倍”“差倍”“几倍多几”“几倍少几”等问题中有特有的优势，要让学生充分感受到这一方法的优越性。
（三）同化相关概念，完善“比率”结构
1.同化“倍”中的各子概念
首先，要在后续教学中完善“倍”自身的结构。在学习了分数除法、小数除法后，要让学生意识到“倍数“不仅可以有“正整数倍”，还可以有“分数倍”“小数倍”。如利用“山羊有5只，绵羊有10只，山羊的只数是绵羊的几倍？”这样的问题打开学生的认知边界，消除倍数只能是整数倍的误区，从而将这些子概念都同化到“倍”的认知结构中，在头脑中完善认知结构。
2.同化“比率”中的子概念
其次，在教学比率的其他子概念时，教师可适当沟通“倍”与他们的关系。如在教学分数时，可以让学生认识到“甲是乙的3倍”与“乙是甲的[13]”所表示的关系是一样的；在教学百分数可以让学生认识到“甲是乙的3倍”与“甲是乙的300%”所表示的关系是一样。在教学比时，让学生的认识到“甲是乙的3倍”也可以表示成甲∶乙=3∶1。并在总复习阶段，再次沟通“倍、分数、百分数、比”这几个比率概念之间的关系，帮助学生从一定程度上同化相关概念，完善“比率”结构，让学生融会贯通。
四、结语
“同化”和“顺应”是学生实现认知发展“两翼”。作为教师要找准“倍”的“顺应”起点，把握“倍”与其他比率子概念之间的“同化”关系，遵循学生的认知规律，才能为新知识融入已有的认知结构创造条件，健全学生头脑中的数学知识的内容、观念和组织，完善和发展学生的数学认知结构，从而促进学生思维的发展。
[参 考 文 献]
[1]孙昌识，姚平子.儿童数学认知结构的发展与教育[M].北京：人民教育出版社，2005.
[2]吴正宪，周伟红，陈凤伟.吴正宪课堂教学策略[M].上海：华东师范大学出版社，2013.
（责任编辑：李雪虹）
“倍”是比较两个数量大小的一种基本方法，是学生后续学习“分数”“比”等其他“比率”概念的重要支撑。然而，学生在建构“倍”及其他“比率”概念时，不同程度地出现了一些困难。通过对学生、教师、教材的调查，分析了“倍的认识”这一单元的教学问题与其他比率概念与“倍”的联系问题，并根据建构主义理论，从“同化”和“顺应”这两个维度，提出了若干建议。
[关键词]
建构；同化；顺应；倍；比率
一、问题提出
建构主义认为，“同化”和“顺应”是认知结构发展的主要过程。“同化”是把客观环境因素纳入主体已有的认知结构中。“顺应”是主体的认知结构不能同化客体，必须建立新的或调整原有认知结构。在学习“倍”等“比率”概念时，学生需要通过同化和顺应这两个过程来发展认知结构。
人教版修订后的教材将原来分散在二年级的关于“整数倍”的内容集中在三年级“倍的认识”这一单元中，降低了学生的学习难度，有利于学生建构认知结构。“倍”的本质就是“比率”，关于比率这一重要概念在修订版的人教版教材中编排如下。
人教版中“比率”相关概念的安排表
可见“倍”的概念是学生建构“比率”这一“乘法结构”的伊始。原来已经建立的“加法结构”的平衡被打破，需要通过“顺应”来达到新的平衡。而小数倍、分数（表示率）、百分数、比等内容，都可以看成是在“整数倍”基础上的“同化”。那么，学生在建构“倍”及其他“比率”概念时还存在困难吗？教师在教学中又有哪些困惑？研究这些问题，有助于学生更好地实现“顺应”和“同化”，从而帮助学生自主发展认知结构。
二、调查分析
（一）对学生的调查
为了解学生对“倍”“分数”“比”“百分数”这四个关于比率的子概念的认知情况，设计了如下调查内容，各个项目的正确率见下表。
三年级学生对“倍”的认识调查情况表
数据反映出学生对“倍”的认识还存在一定问题，主要有以下几方面。
1.对“倍”与“几个几”的联系还不够明了
在问题1中，部分学生把“6是2的3倍”这一表征错误地表达成了“2个3”。可以看出，这类学生对“倍”与“几个几”联系还未完全建立，没有实现新旧两个认知结构的沟通。
2.对应用“图形”这一工具还不够自觉
在问题3中，部分学生认为条件不充足，没有发现隐含的倍数关系，缺少寻找“倍数”的方法，缺乏利用倍的本质含义去解决具体的问题。
3.对“倍”这一乘法结构关系还不够清晰
在问题4中，典型错误就是“20×4=80”，他们看到“倍”就用乘法来解决，仿佛“倍”就是“乘法”的代名词。说明学生对求“倍”这一乘法结构没有形成完整的认识，对求其中的“标准量”这一数量关系不清晰。
4.对“非整数倍”的认识还缺少基础
在问题5和6中，选择无法解答的学生比例较高，其中对大于1倍的非整数倍的认可程度要高于对小于1倍的非整数倍认可度。显示出学生的认知结构已然是在整数范畴，要向“非整数倍”发展，仍然存在较大的屏障。
5.对“比率”子概念之间的联系还不够明了
数据反映出六年级学生对“倍”“分数”“比”“百分数”这四个关于“比率”的核心子概念之间的联系没有很好的沟通，阻碍了“比率”这一乘法结构中的重要概念的建构。
（二）对教师的调查
为了解教师对“倍”及其他相关概念的了解，进行了如下调查。
教师对“倍”的了解情况调查表
从调查情况看，部分教师还存在如下问题。
1.对“倍”的理解不到位
什么是“倍”？《新华字典》对应的解释是“跟原数的相等数”，那么几倍就表示与几个原数相等的数，应该说这个解释是不全面的，从数学角度看“倍”，倍实质是一个数除以另一个数所得的商，即“比率”。而很多老师对此不完全清晰。还有部分老师对“非整数倍”持有怀疑态度。
2.对相关概念之间的联系认识不到位
“倍”是“比率”的一个子概念，与“分数”“比”“百分数”有密切的联系，这四个子概念之间是可以互相转化的，但教师对“倍”与其他子概念的联系认识是模糊的，进而可能在教学中也无法将这些概念联系起来进行教学，从而影响学生建构起完整“比率”结构。
3.对学生的认知水平掌握不到位
在一堂“求一个数是另一个数的几倍”教研课中，笔者发现执教老师意图将“大于1的非整数倍”和“小于1的非整数倍”进行渗透，出现了学生由于缺少小数除法、分数等基础知识的支撑而感到茫然的情况。显然，教师对学生的认知水平估计过高，没有找准学生认知的最近发展区。
（三）对教材的调查
为进一步了解教材对“倍”等比率概念的编排特点，笔者对人教版教材进行了调查。总体上看教材的编排符合学生的认知特点，同时也存在进一步改善的空间。
1.“1倍”的结构性材料尚需补充
在教材中，例题1的任务是帮助学生建立“倍”的概念，出现的是“红萝卜是胡萝卜的3倍”和“白萝卜是胡萝卜的5倍”，而后面的所有材料都有出现“1倍”这个基本关系。而1倍是一个重要的概念，甚至是“倍”的核心。因为在比较两个数量大小时，“同样多”和“1倍”的意义完全相同，是沟通“作差法”和“倍比法”的连接点。
2.“倍”的数量关系结构尚需完善
在三年级上册“倍的认识”单元中，例题2是求一个数是另一个数的几倍，即求“倍数”。例题3是求一个数的几倍是多少，即求“比较量”。显然数量关系结构是不完整的，缺少了“已知一个数的几倍是多少，求这个数”这一类型，即求“标准量”。虽然在三年级下册的教材中出现了这一类型（安排在练习中），但这种编排割裂了学生的认知时间，是值得商榷的。 3.“比率”子概念之间的联系尚需明晰
本套人教版数学教材（修订版）在五年级下册安排了分数、六年级上册安排了“比”和“百分数”的内容，从教材提供的材料来看，对“倍”只字不提，没有给予师生很好的沟通概念之间联系的引导，丧失了“同化”的机会。
（四）调查小结
综合上述调查，笔者发现学生对“倍”这一概念的建构还存在一定问题，体现出多元表征之间转换的自觉性不高，数量关系结构不全等“顺应”问题，对“倍”与其他比率子概念之间的沟通还不明晰等“同化”情况。部分教师对“倍”这一概念的前后联系不清晰，也影响了学生对“倍”及其他“比率”概念的意义建构。
三、建议策略
（一）增强材料结构，降低顺应难度
“倍”对于学生来说是一个全新的认知结构，无法同化到原有的加法结构中，因此需要建立新的结构（即乘法结构）。因此，在教学中，需要提供结构性强的材料，以帮助学生降低顺应的难度。
1.让“几个几”成为“倍”的生长点
在“倍”的引入环节中，建议补充关于“几个几”的学习材料。把抽象的“倍”的概念与学生已经掌握的“几个几”建立联系，同时要提供逆向思考的材料，让学生能从把“几倍“转化为“几个几”，如“蓝花有4朵，红花的朵数是蓝花的3倍，那么红花里有3个4朵”，通过正反两方面的转化，以帮助学生寻找到新知的生长点，初步建立“倍”的概念。
2.让“1倍”成为“倍”的发展点
在“倍”概念理解阶段，建议补充“1倍”这一节点。在人教版的例题及习题中，关于“1倍”的关系难觅踪影，而“1倍”是今后学生认知结构从“大于1倍”向“小于1倍”发展的关键点，具有承前启后的作用。因此，可以先设定标准量不变，比较量变化，直至变成两个量相等，此时就产生了1倍关系。在后续教学中，比较量继续缩小，当连1倍都不到时，用分数来表征就顺理成章了。
3.让“数量关系”成为“倍”的完善点
在用“倍”的概念解决实际问题环节，建议将关系结构补充完整。可以在“求一个数是另一个数的几倍”和“求一个数的几倍是多少”这两类问题后，补充“已知一个数的几倍是多少，求这个数”这一结构的问题，以帮助学生完善认知结构。同时加强“求一个数的几倍是多少”和“已知一个数的几倍是多少，求这个数”这两个类型的比较，更好地帮助学生加深对“倍”的理解。
（二）利用多元表征，建构“倍”的模型
“表征”是指用某种形式表达数学概念的行为，学生借助各种表征来表达数学概念，在不同数学表征之间建立联系，有助于模型的建立。
1.用图形表征让“倍”更加直观
在初步认识倍的阶段，建议用实物图形帮助建立“倍”的模型。为帮助学生进一步抽象和概括，可以确定不同的标准，去表示相同倍数的材料，如“小明买了8个苹果，4个桔子，苹果的数量是桔子的2倍，小红家买了6个桔子，3个苹果，桔子的个数是苹果的2倍”，并抽象成“标准结构”的模型（如图一）。同时还要注意提供“变式结构”（如图二）和“错误结构”（如图三），让学生在辨析中进一步理解“倍”，并向线段图进一步抽象（如图四）。
2.用语言表征抽象“倍”的概念
语言是思维的重要载体。在经历丰富的图形表征后，要让学生逐步用语言来描述两个数量之间的关系。重点要让学生描述“一个量里包含几个另一个量，所以一个量是另一个量的几倍”，用语言不断强化对“倍”的本质认识。
3.用算式表征加深“倍”的理解
在应用“倍”概念解决问题环节，建议从“求倍数、求标准量、求比较量”三个维度出发，安排统一情境的对比材料，如“小明有科技书8本，故事4本，科技书是故事书的几倍”，“小明有科技书8本，故事书是科技书的2倍，故事书有几本？”，“小明有科技书8本，是故事书的2倍，故事书有几本？”。通过类似的对比，让学生加深对倍的理解。
4.沟通各表征之间的联系
在教学中，建议将语言表征、图形表征、算式表征进行转化和沟通。在概念的初步理解阶段，可以先从图形开始，帮助学生对“倍”先有一个直观的认识，从而向语言表征转化。对“倍”有了初步认识后，可以让学生将语言表征向图形表征转化，用圈一圈的方法表征倍数关系，引导学生在头脑中建立起“一个量中包含几个另一个量”的图形，加深对“倍”的本质理解。在解决问题阶段，建议沟通好图示表征和算式表征，发现这两种方法在解决问题中的联系后，要让学生体会这两种方法各自的优点。“图形”能更直观地表达语言表征，“算式”则在解决问题时更具有一般性。尤其要关注“图形”这一几何直观的思想方法，是帮助学生理解题意，准确分析数量关系的重要方法，对解决较复杂的“和倍”“差倍”“几倍多几”“几倍少几”等问题中有特有的优势，要让学生充分感受到这一方法的优越性。
（三）同化相关概念，完善“比率”结构
1.同化“倍”中的各子概念
首先，要在后续教学中完善“倍”自身的结构。在学习了分数除法、小数除法后，要让学生意识到“倍数“不仅可以有“正整数倍”，还可以有“分数倍”“小数倍”。如利用“山羊有5只，绵羊有10只，山羊的只数是绵羊的几倍？”这样的问题打开学生的认知边界，消除倍数只能是整数倍的误区，从而将这些子概念都同化到“倍”的认知结构中，在头脑中完善认知结构。
2.同化“比率”中的子概念
其次，在教学比率的其他子概念时，教师可适当沟通“倍”与他们的关系。如在教学分数时，可以让学生认识到“甲是乙的3倍”与“乙是甲的[13]”所表示的关系是一样的；在教学百分数可以让学生认识到“甲是乙的3倍”与“甲是乙的300%”所表示的关系是一样。在教学比时，让学生的认识到“甲是乙的3倍”也可以表示成甲∶乙=3∶1。并在总复习阶段，再次沟通“倍、分数、百分数、比”这几个比率概念之间的关系，帮助学生从一定程度上同化相关概念，完善“比率”结构，让学生融会贯通。
四、结语
“同化”和“顺应”是学生实现认知发展“两翼”。作为教师要找准“倍”的“顺应”起点，把握“倍”与其他比率子概念之间的“同化”关系，遵循学生的认知规律，才能为新知识融入已有的认知结构创造条件，健全学生头脑中的数学知识的内容、观念和组织，完善和发展学生的数学认知结构，从而促进学生思维的发展。
[参 考 文 献]
[1]孙昌识，姚平子.儿童数学认知结构的发展与教育[M].北京：人民教育出版社，2005.
[2]吴正宪，周伟红，陈凤伟.吴正宪课堂教学策略[M].上海：华东师范大学出版社，2013.
（责任编辑：李雪虹）