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【摘要】 本文从集合的语言美､集合的形式美､集合元素的互异性和集合语言的转译等四个方面谈了对集合教学的思考.
【关键词】 集合 语言美 形式美 互译性 转译
集合概念是数学中的基本概念,要求学生有较强的抽象思维能力,现结合笔者对集合的教学体会,谈谈自己的理解.
1. 集合的语言美
集合是一种数学语言,具有一种独特的语言美.
1.1集合表达的多样性
集合的常见表示法有描述法､列举法､(文氏)图示法､区间法等,同一个集合的不同表达形式是等价类,反映了数学世界的多样性,如奇数集合的表达就有多种:{奇数}､{1,3,5,…}､{x|x = 2n - 1,n∈Z}､{x|x = 2n + 1,n ∈ Z}､{x|x = 4k±1,k ∈Z}等.
1.2集合的概括性
如集合A={x|(x - a)(x - b) < 0,a,b∈R}(或A={x|min(a,b) < x < max(a,b)},它包含3层意思:当a < b时,a < x < b;当a > b时,b < x < a;当a = b时,A= ?准. 集合的概括性可见一斑,实践也表明,许多同学是不太“欣赏”集合概括性的,因为它抽象,这给我们的学习带来了麻烦.
1.3集合的兼容性
(a,b)既表示集合A = {x|a < x < b}(常称开区间),又表示有序实数对,还可表示直角坐标平面上的点,这表明集合语言与其他数学符号语言是相互兼容的.
1.4集合的逻辑性
集合元素具有确定性､互异性､无序性,这注定了集合是一套严密的逻辑系统,有时我们可以利用这种逻辑性快速确定集合的所有元素.
例1 已知集合A = {1,a,b},集合B = {a,a2,ab},若A = B,求实数a,b的值.
分析 若集合A = B,则必有:①元素之和相等;②元素之积相等;③元素的个数相等.
解 ∵ A = B,
∴1ab = aa2ab,1 + a + b = a + a2 + ab,
即ab(a - 1)(a2 + a + 1) = 0,(a -1)(1 + a + b) = 0.
由a≠1,a≠0(元素互异性)及a2 + a + a + 1 > 0知b = 0,a = -1.
2. 集合的形式美
集合在形式上､结构上也很完美.
2.1集合的封闭性
会有这样一种现象,集合中任意两个元素进行和､差､积､商(除数不为零)运算,所得结果始终在这个集合之中,好像永远跳不出这个“圈子”,我们就称这个集合是封闭集.例如:实数集R,有理数集Q,集合A={x|x=m+ ,m,n∈Z}等. 再例如,高二数学“不等式”一章课本上有一个重要习题:已知|a| < 1,|b| < 1,求证:< 1(证明略),我们可以这样理解:记A = {x|-1 < x < 1},定义新运算?茚满足:a?茚b =那么a,b∈A?圯a?茚b∈A,即满足A对运算?茚是封闭的,进一步的例子可以参考后面的例3. 设想再大胆一点,封闭集的所有元素应该可以由少数几个元素繁殖出来,这即是有限与无限､整体与部分的辩证.
2.2集合意义的理解
集合的意义是初学者的一个难点,关键是要抓“代表元”这个“语法”特征.
例2 已知集合A = {y| y = x2 - 2x},B = {y|y = x2 + 6x + 8},求A∩B.
误解1 令x2 - 2x =x2 + 6x + 8,∴ x = -1,y = 3, ∴A∩B = {3}.
误解2 令x2 - 2x =x2 + 6x + 8,∴ x = -1,y = 3, ∴A∩B = {(-1,3)}.
正解 A={y| y = x2 - 2x} = {y|y = (x - 1)2 - 1} = {y| y ≥ -1}.
B = {y|y = x2 + 6x + 8} = {y|y = (x + 3)2 - 1} = {y| y ≥ -1},则A∩B = {y|y ≥ -1}.
注 这里集合表示函数的值域,初学集合者比较茫然,学了函数,则会豁然开朗. 这告诉我们,学习是一个循序渐进的过程,切莫操之过急.
3. 集合元素的互异性
经验告诉我们,集合中元素的互异性常常被学生在解题中忽略,以致造成解题的错误,这需要结合例题的讲解逐步强化学生的认识.
例3 若A={2,4,a3 - 2a2 - a + 7},B={1,a + 1,a2 -2a + 2,- (a2 - 3a - 8),a3 + a2 + 3a + 7}且A∩B={2,5},试求实数a的值.
解 ∵ A∩B={2,5},∴ a3 - 2a2 - a + 7 = 5,
由此求得a = 2 或a = ±1.
至此,不少学生认为大功告成,事实上,这只能保证A = {2,4,5},集合B中的元素是什么,它是否满足元素的互异性,有待于进一步考查.
当a = 1时,a2 - 2a + 2 = 1, 与元素的互异性相违背,故应舍去a = 1.
当a = -1时,B = {{1,0,5,2,4},与A∩B = {2,5}相矛盾,故应舍去a = -1.
当a = 2时,A = {{2,4,5},B = {{1,3,2,5,25},此时,A∩B = {2,5}满足题设.
故a = 2为所求.
通过例题的讲解应使学生认识到:解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解,这需要解题后的反思和检验.
4. 集合语言的转译
集合问题是用符号语言表达的,因而它具有一定的抽象性,在教学中我们要引导学生深刻理解集合的符号语言,并能准确地把它转译为相关的非集合问题,用我们熟知的知识与方法进行解题.
例4 设a•b∈R,A={(x•y)|x = n,y = na + b,n∈Z},B = {(x,y)|x = m,y = 3(m2 + 5),m∈Z}.C={(x,y)|x2 + y2 ≤ 144}是平面xoy内的点集,问:是否存在实数a和b使得:①A∩B ≠ ?准,②(a,b)∈C同时成立?
解决此题的关键是集合语言向非集合数学问题的转化.
A∩B≠ ?准 ?圯 n = m,na + b = 3m2 = 15成立,
即na + b = 3n2 + 15.(1)
又(a,b)∈C?圯a2 + b2 ≤ 144.(2)
若满足(1)和(2)的a,b存在,则关于a,b的方程组na + b =3(n2 + 5),a2 + b ≤ 144 有解,从而在直角坐标系ao′b中,直线l:na + b - 3(n2 + 5) = 0与圆盘a2 + b2 ≤ 144应有公共点.
于是圆心O′(0,0)到直线l的距离不大于半径12, 即 n2 = 3而n∈Z,这是不可能的. 故满足(1),(2)的a,b不存在.
抓住集合语言向非集合问题的转化,是打开解题大门的钥匙.
【参考文献】
[1] 黄顺贵,马晓红.领悟集合语言的魅力[J].高中数理化(高一).2007(9).
[2] 许翠.高中数学集合教学浅论[J].青海教育.2004(9).
[3] 陈巧灵.集合教学中应注意的问题[J].宜宾师范高等专科学校学报.2001(2).
注:“本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文｡”
【关键词】 集合 语言美 形式美 互译性 转译
集合概念是数学中的基本概念,要求学生有较强的抽象思维能力,现结合笔者对集合的教学体会,谈谈自己的理解.
1. 集合的语言美
集合是一种数学语言,具有一种独特的语言美.
1.1集合表达的多样性
集合的常见表示法有描述法､列举法､(文氏)图示法､区间法等,同一个集合的不同表达形式是等价类,反映了数学世界的多样性,如奇数集合的表达就有多种:{奇数}､{1,3,5,…}､{x|x = 2n - 1,n∈Z}､{x|x = 2n + 1,n ∈ Z}､{x|x = 4k±1,k ∈Z}等.
1.2集合的概括性
如集合A={x|(x - a)(x - b) < 0,a,b∈R}(或A={x|min(a,b) < x < max(a,b)},它包含3层意思:当a < b时,a < x < b;当a > b时,b < x < a;当a = b时,A= ?准. 集合的概括性可见一斑,实践也表明,许多同学是不太“欣赏”集合概括性的,因为它抽象,这给我们的学习带来了麻烦.
1.3集合的兼容性
(a,b)既表示集合A = {x|a < x < b}(常称开区间),又表示有序实数对,还可表示直角坐标平面上的点,这表明集合语言与其他数学符号语言是相互兼容的.
1.4集合的逻辑性
集合元素具有确定性､互异性､无序性,这注定了集合是一套严密的逻辑系统,有时我们可以利用这种逻辑性快速确定集合的所有元素.
例1 已知集合A = {1,a,b},集合B = {a,a2,ab},若A = B,求实数a,b的值.
分析 若集合A = B,则必有:①元素之和相等;②元素之积相等;③元素的个数相等.
解 ∵ A = B,
∴1ab = aa2ab,1 + a + b = a + a2 + ab,
即ab(a - 1)(a2 + a + 1) = 0,(a -1)(1 + a + b) = 0.
由a≠1,a≠0(元素互异性)及a2 + a + a + 1 > 0知b = 0,a = -1.
2. 集合的形式美
集合在形式上､结构上也很完美.
2.1集合的封闭性
会有这样一种现象,集合中任意两个元素进行和､差､积､商(除数不为零)运算,所得结果始终在这个集合之中,好像永远跳不出这个“圈子”,我们就称这个集合是封闭集.例如:实数集R,有理数集Q,集合A={x|x=m+ ,m,n∈Z}等. 再例如,高二数学“不等式”一章课本上有一个重要习题:已知|a| < 1,|b| < 1,求证:< 1(证明略),我们可以这样理解:记A = {x|-1 < x < 1},定义新运算?茚满足:a?茚b =那么a,b∈A?圯a?茚b∈A,即满足A对运算?茚是封闭的,进一步的例子可以参考后面的例3. 设想再大胆一点,封闭集的所有元素应该可以由少数几个元素繁殖出来,这即是有限与无限､整体与部分的辩证.
2.2集合意义的理解
集合的意义是初学者的一个难点,关键是要抓“代表元”这个“语法”特征.
例2 已知集合A = {y| y = x2 - 2x},B = {y|y = x2 + 6x + 8},求A∩B.
误解1 令x2 - 2x =x2 + 6x + 8,∴ x = -1,y = 3, ∴A∩B = {3}.
误解2 令x2 - 2x =x2 + 6x + 8,∴ x = -1,y = 3, ∴A∩B = {(-1,3)}.
正解 A={y| y = x2 - 2x} = {y|y = (x - 1)2 - 1} = {y| y ≥ -1}.
B = {y|y = x2 + 6x + 8} = {y|y = (x + 3)2 - 1} = {y| y ≥ -1},则A∩B = {y|y ≥ -1}.
注 这里集合表示函数的值域,初学集合者比较茫然,学了函数,则会豁然开朗. 这告诉我们,学习是一个循序渐进的过程,切莫操之过急.
3. 集合元素的互异性
经验告诉我们,集合中元素的互异性常常被学生在解题中忽略,以致造成解题的错误,这需要结合例题的讲解逐步强化学生的认识.
例3 若A={2,4,a3 - 2a2 - a + 7},B={1,a + 1,a2 -2a + 2,- (a2 - 3a - 8),a3 + a2 + 3a + 7}且A∩B={2,5},试求实数a的值.
解 ∵ A∩B={2,5},∴ a3 - 2a2 - a + 7 = 5,
由此求得a = 2 或a = ±1.
至此,不少学生认为大功告成,事实上,这只能保证A = {2,4,5},集合B中的元素是什么,它是否满足元素的互异性,有待于进一步考查.
当a = 1时,a2 - 2a + 2 = 1, 与元素的互异性相违背,故应舍去a = 1.
当a = -1时,B = {{1,0,5,2,4},与A∩B = {2,5}相矛盾,故应舍去a = -1.
当a = 2时,A = {{2,4,5},B = {{1,3,2,5,25},此时,A∩B = {2,5}满足题设.
故a = 2为所求.
通过例题的讲解应使学生认识到:解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解,这需要解题后的反思和检验.
4. 集合语言的转译
集合问题是用符号语言表达的,因而它具有一定的抽象性,在教学中我们要引导学生深刻理解集合的符号语言,并能准确地把它转译为相关的非集合问题,用我们熟知的知识与方法进行解题.
例4 设a•b∈R,A={(x•y)|x = n,y = na + b,n∈Z},B = {(x,y)|x = m,y = 3(m2 + 5),m∈Z}.C={(x,y)|x2 + y2 ≤ 144}是平面xoy内的点集,问:是否存在实数a和b使得:①A∩B ≠ ?准,②(a,b)∈C同时成立?
解决此题的关键是集合语言向非集合数学问题的转化.
A∩B≠ ?准 ?圯 n = m,na + b = 3m2 = 15成立,
即na + b = 3n2 + 15.(1)
又(a,b)∈C?圯a2 + b2 ≤ 144.(2)
若满足(1)和(2)的a,b存在,则关于a,b的方程组na + b =3(n2 + 5),a2 + b ≤ 144 有解,从而在直角坐标系ao′b中,直线l:na + b - 3(n2 + 5) = 0与圆盘a2 + b2 ≤ 144应有公共点.
于是圆心O′(0,0)到直线l的距离不大于半径12, 即 n2 = 3而n∈Z,这是不可能的. 故满足(1),(2)的a,b不存在.
抓住集合语言向非集合问题的转化,是打开解题大门的钥匙.
【参考文献】
[1] 黄顺贵,马晓红.领悟集合语言的魅力[J].高中数理化(高一).2007(9).
[2] 许翠.高中数学集合教学浅论[J].青海教育.2004(9).
[3] 陈巧灵.集合教学中应注意的问题[J].宜宾师范高等专科学校学报.2001(2).
注:“本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文｡”