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函数是中学数学的核心内容，它不仅与方程和不等式有着本质的内在联系，而且作为一种重要的思想方法，在所学内容中都能够应用到，这也决定了在高考当中的重要地位，函数的值域经常穿插于高考的大小试题中.函数的值域就是函数值的取值范围，它虽然由函数的定义域及对应法则完全确定，但是确定值域仍是较为困难的，因为函数千变万化，各不相同，对函数值域的求法也各式各样，它常涉及多种知识的综合应用，虽然没有固定的方法和模式，但依据函数解析式的结构特征来确定相应的解法.本文旨在对求函数值域问题做一个系统性的小结，不妥之处，请不吝指正.
一、相关概念
1、值域：函数y=f(x)(x∈I)，所有函数值的集合{y|y=f(x)，x∈A}称为函数的值域.
2、最值：求函数最值常用方法和函数值域的方法基本相同.事实上，如果在函数的值域中存在一个最小(大)数，这个数就是函数的最小(大)值.因此，求函数的最值和值域，其实质是相同的，只是提问不同而已，求函数的值域常常化归为求函数的最值.
3、由于函数的值域受定义域的制约，因此不论用什么方法求函数的值域，均应先考虑定义域.
二、确定函数值域的原则
1.当函数用表格给出时，函数的值域指表格中y实数的集合；
则值域为{1，2，3，4}
2.当函数是图像给出时，函数的值域是指图像在y轴上的投影所覆盖的实数的集合；
3.当函数用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定；
4.由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义决定.
三、基本函数的值域
1.一次函数y=ax+b(a≠0)的值域为R；
2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的值域当a>0时，y∈[ ，+∞），当a<0时，y∈（-∞， ]；
3.反比例函数y= (a≠0)的值域为(-∞,0)∪(0,+∞)；
4.指数函数y=ax(a>0，且a≠1)的值域为(0,+∞)；
5.对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的值域为R；
6.三角函数的有界性.
四、求函数值域的常用方法.
1.观察法：根据函数y=f(x)的解析式，直接观察出y的取值范围
例1 求函数y= +1的值域.
解：∵x≠0，∴ ≠0，∴ +1≠1，
∴函数y= +1的值域为(-∞,1)∪(1,+∞).
2.反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域.
例2 求函数y= 的值域.
解：由y= 解得2x= ，
∵2x>0，∴ >0，∴-1 ∴函数y= 的值域为y∈（-1，1）.
3.分离常数法：分子、分母是一次函数的有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法.
例3 求函数y= 的值域.
解：∵y= = =- + ，
∵ ≠0，∴y≠- ，
∴函数y= 的值域为{y|y≠- }.
4.配方法：配方法是求“二次函数类”值域的基本方法.形如F(x)=af 2(x)+bf(x)+c(a≠0)的函数的值域问题，均可使用配方法求解.
例4 求函数y=x2-4x+1的最大值、最小值与值域：
解：∵y=x2-4x+1=(x-2)2-3，∴顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2.
∵抛物线的开口向上，函数的定义域R，
∴x=2时，ymin=-3,无最大值；函数的值域是{y|y≥-3}.
例5 如果函数y=a2x+2ax-1(a>0,a≠1)在区间[-1,1]上的最大值为14，求a的值.
解：设t=ax,则y=f(t)=t2+2t-1=(t+1)2-2，当a>1时，t∈[a-1,a]，∴ymax=a2+2a-1=14，解得a=3，满足a>1；当0 注：对于二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
（1）若定义域为R时，
①当a>0时，则当x=- 时，其最小值ymin= ；
②当a<0时，则当x=- 时，其最大值ymax= .
（2）若定义域为x∈[a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b].
①若x0∈[a,b],则f(x0)是函数的最小值（a>0）时或最大值（a<0）时，再比较f(a)，f(b)的大小决定函数的最大（小）值.
②若x0 [a,b],则[a,b]是在f(x)的单调区间内，只需比较f(a)，f(b)的大小即可决定函数的最大（小）值.
注：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；
②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.
5.换元法：利用代数或三角代换，将所给函数转化成易求值域的函数，形如y= 的函数，令f(x)=t，形如y=ax+b± （a,b,c,d为常数且a≠0）的函数，令 =t;形如含 的结构的函数，可利用三角代换，令x=acosθ，θ∈[0,π]或令x=asinθ，θ∈[- , ].
例6 求函数y=2x+ 的值域.
解：令t= （t≥0），则x= ，
∴y=-t2+t+1=-(t- )2+
∵当t= ，即x= 时，ymax= ，无最小值.
∴函数y=2x+ 的值域为(-∞, ].
例7 函数y=x+ 的值域.
解：（三角代换法）∵-1≤x≤1，∴设x=cosθ，θ∈[0，π]
y=cosθ+|sinθ|=cosθ+sinθ= sin(θ+ )∈[-1, ]
∴原函数的值域为[-1, ].
6.判别式法：把函数转化成关于x的二次方程F(x,y)=0，通过方程有实根，判别式Δ≥0，从而求得原函数的值域，形如y= .
例8 求函数y= 的值域.
方法一：去分母得(y-1)x2+(y+5)x-6y-6=0①
当y≠1时 ∵x∈R ∴Δ=(y+5)2+4(y-1)×6(y+1)≥0
由此得(5y+1)2≥0.
检验y=- 时，x=- =2代入①求根
∵函数定义域为{x|x≠2且x≠3} ∴y≠-
再检验y=1代入①求得x=2 ∴y≠1
综上所述，函数y= 的值域为{y|y≠1且y≠- }
方法二：把已知函数化为函数y= = =1- (x≠2)，由此可得y≠1.
∵x=2时y=- ,即y≠- .
∴函数y= 的值域为{y|y≠1且y≠- }.
说明：此法是利用方程思想来处理函数问题，一般称判别式法. 判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式.解题中要注意二次项系数是否为0的讨论.
7.不等式法：利用基本不等式a+b≥2 ，用此法求函数值域时，要注意条件“一正、二定、三相等”.如利用a+b≥2 求某些函数值域（或最值）时应满足三个条件：①a>0,b>0；②a+b(或ab)为定值；③取等号条件a=b三个条件缺一不可.
例9 已知x< ，求函数y=4x-2+ 的最大值.
解：∵x< ，∴5-4x>0，∴y=4x-2+ =-(5-4x+ )+3≤-2+3=1当且仅当5-4x= ，即x=1时，上式等号成立，故当x=1时，ymax=1.
8.函数的单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域，形如求函数y=ax+ (a>0,b>0).当利用不等式法等号不能成立时，可考虑函数的单调性.判断函数的单调性，常利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，幂函数等基本初等函数的单调性，或利用导数求函数的单调性.
例10 求函数y=x- 的值域.
解：因为当x增大时，1-2x随x的增大而减少，- 随x的增大而增大，所以函数y=x- 在定义域(-∞, ]上是增函数.
所以y≤ - = ，所以函数y=x- 的值域为(-∞, ].
9.函数的有界性法：形如y= ,可用y表示出sinx.再根据-1≤sinx≤1,解关于y的不等式，可求y的值的范围.
例11 求函数y= 的值域.
解：将原函数化为
sinx+ycosx=2y,即 (sinx• + cosx)=2y且cosφ= 且sinφ= ，
∴sin(x+φ)= ，| |≤1，
平方得3y2≤1,∴- ≤y≤ .
∴原函数的值域为[- , ].
10.数形结合法
例12 求函数y= + 的最小值.
改造为y= + ，并理解为点(x,0)至(-3,8)和(2,2)距离之和，易得最小值为5 .
例13 函数y= 的最大值为 ,最小值为
.
将解析式理解为定点(2,3)与动点(-cosx,sinx)的连线斜率，且不难得出动点(-cosx,sinx)的轨迹为x2+y2=1,则只要求出过(2,3)且与单位圆相切的切线斜率即可，所求最大值与最小值.
例14 求函数y=|x+2- |的单调区间和值域.
改造为y= • ,将其中 理解为动点(x， )至直线x-y+2=0的距离即可，不难得出动点(x， )的轨迹为单位圆的上半部分，从而易得函数y=f(x)在x∈[-1,- ]是减函数，在x∈[- ，1]是增函数，因此求得值域为y∈[2- ,3].
点拨：数形结合法求函数值域的关键在于对函数表达式的几何意义的主观感知，从几何意义上去求解，这需要全面综合多方位地掌握数学基本概念.
11.导数法：设y=f(x)的导数为f′(x)，由f′(x)=0可求得极值点坐标，若函数定义域为[a,b],必定为极值点和区间端点中函数值的最大值和最小值.
例15 求函数y= - 的值域.
解：函数的定义域由2x+4≥0x+3≥0求得，即x≥-2.
y′= - =
=
当x>-2时，y′>0，即函数y= - ，在（-2，+∞）上是增函数，又f(-2)=-1，∴所求函数的值域为[-1，+∞）.
点评：（1）从本题的解答过程可以看到，当单调区间与函数的值域相同时，才可使用此法，否则会产生错误.
（2）求值域时，当x=-2，函数不可导，但函数y= - 在[-2，+∞）上是连续的，函数图象是连续变化的，因此在x=-2时，取得最小值.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。
一、相关概念
1、值域：函数y=f(x)(x∈I)，所有函数值的集合{y|y=f(x)，x∈A}称为函数的值域.
2、最值：求函数最值常用方法和函数值域的方法基本相同.事实上，如果在函数的值域中存在一个最小(大)数，这个数就是函数的最小(大)值.因此，求函数的最值和值域，其实质是相同的，只是提问不同而已，求函数的值域常常化归为求函数的最值.
3、由于函数的值域受定义域的制约，因此不论用什么方法求函数的值域，均应先考虑定义域.
二、确定函数值域的原则
1.当函数用表格给出时，函数的值域指表格中y实数的集合；
则值域为{1，2，3，4}
2.当函数是图像给出时，函数的值域是指图像在y轴上的投影所覆盖的实数的集合；
3.当函数用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定；
4.由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义决定.
三、基本函数的值域
1.一次函数y=ax+b(a≠0)的值域为R；
2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的值域当a>0时，y∈[ ，+∞），当a<0时，y∈（-∞， ]；
3.反比例函数y= (a≠0)的值域为(-∞,0)∪(0,+∞)；
4.指数函数y=ax(a>0，且a≠1)的值域为(0,+∞)；
5.对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的值域为R；
6.三角函数的有界性.
四、求函数值域的常用方法.
1.观察法：根据函数y=f(x)的解析式，直接观察出y的取值范围
例1 求函数y= +1的值域.
解：∵x≠0，∴ ≠0，∴ +1≠1，
∴函数y= +1的值域为(-∞,1)∪(1,+∞).
2.反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域.
例2 求函数y= 的值域.
解：由y= 解得2x= ，
∵2x>0，∴ >0，∴-1
3.分离常数法：分子、分母是一次函数的有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法.
例3 求函数y= 的值域.
解：∵y= = =- + ，
∵ ≠0，∴y≠- ，
∴函数y= 的值域为{y|y≠- }.
4.配方法：配方法是求“二次函数类”值域的基本方法.形如F(x)=af 2(x)+bf(x)+c(a≠0)的函数的值域问题，均可使用配方法求解.
例4 求函数y=x2-4x+1的最大值、最小值与值域：
解：∵y=x2-4x+1=(x-2)2-3，∴顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2.
∵抛物线的开口向上，函数的定义域R，
∴x=2时，ymin=-3,无最大值；函数的值域是{y|y≥-3}.
例5 如果函数y=a2x+2ax-1(a>0,a≠1)在区间[-1,1]上的最大值为14，求a的值.
解：设t=ax,则y=f(t)=t2+2t-1=(t+1)2-2，当a>1时，t∈[a-1,a]，∴ymax=a2+2a-1=14，解得a=3，满足a>1；当0
（1）若定义域为R时，
①当a>0时，则当x=- 时，其最小值ymin= ；
②当a<0时，则当x=- 时，其最大值ymax= .
（2）若定义域为x∈[a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b].
①若x0∈[a,b],则f(x0)是函数的最小值（a>0）时或最大值（a<0）时，再比较f(a)，f(b)的大小决定函数的最大（小）值.
②若x0 [a,b],则[a,b]是在f(x)的单调区间内，只需比较f(a)，f(b)的大小即可决定函数的最大（小）值.
注：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；
②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.
5.换元法：利用代数或三角代换，将所给函数转化成易求值域的函数，形如y= 的函数，令f(x)=t，形如y=ax+b± （a,b,c,d为常数且a≠0）的函数，令 =t;形如含 的结构的函数，可利用三角代换，令x=acosθ，θ∈[0,π]或令x=asinθ，θ∈[- , ].
例6 求函数y=2x+ 的值域.
解：令t= （t≥0），则x= ，
∴y=-t2+t+1=-(t- )2+
∵当t= ，即x= 时，ymax= ，无最小值.
∴函数y=2x+ 的值域为(-∞, ].
例7 函数y=x+ 的值域.
解：（三角代换法）∵-1≤x≤1，∴设x=cosθ，θ∈[0，π]
y=cosθ+|sinθ|=cosθ+sinθ= sin(θ+ )∈[-1, ]
∴原函数的值域为[-1, ].
6.判别式法：把函数转化成关于x的二次方程F(x,y)=0，通过方程有实根，判别式Δ≥0，从而求得原函数的值域，形如y= .
例8 求函数y= 的值域.
方法一：去分母得(y-1)x2+(y+5)x-6y-6=0①
当y≠1时 ∵x∈R ∴Δ=(y+5)2+4(y-1)×6(y+1)≥0
由此得(5y+1)2≥0.
检验y=- 时，x=- =2代入①求根
∵函数定义域为{x|x≠2且x≠3} ∴y≠-
再检验y=1代入①求得x=2 ∴y≠1
综上所述，函数y= 的值域为{y|y≠1且y≠- }
方法二：把已知函数化为函数y= = =1- (x≠2)，由此可得y≠1.
∵x=2时y=- ,即y≠- .
∴函数y= 的值域为{y|y≠1且y≠- }.
说明：此法是利用方程思想来处理函数问题，一般称判别式法. 判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式.解题中要注意二次项系数是否为0的讨论.
7.不等式法：利用基本不等式a+b≥2 ，用此法求函数值域时，要注意条件“一正、二定、三相等”.如利用a+b≥2 求某些函数值域（或最值）时应满足三个条件：①a>0,b>0；②a+b(或ab)为定值；③取等号条件a=b三个条件缺一不可.
例9 已知x< ，求函数y=4x-2+ 的最大值.
解：∵x< ，∴5-4x>0，∴y=4x-2+ =-(5-4x+ )+3≤-2+3=1当且仅当5-4x= ，即x=1时，上式等号成立，故当x=1时，ymax=1.
8.函数的单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域，形如求函数y=ax+ (a>0,b>0).当利用不等式法等号不能成立时，可考虑函数的单调性.判断函数的单调性，常利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，幂函数等基本初等函数的单调性，或利用导数求函数的单调性.
例10 求函数y=x- 的值域.
解：因为当x增大时，1-2x随x的增大而减少，- 随x的增大而增大，所以函数y=x- 在定义域(-∞, ]上是增函数.
所以y≤ - = ，所以函数y=x- 的值域为(-∞, ].
9.函数的有界性法：形如y= ,可用y表示出sinx.再根据-1≤sinx≤1,解关于y的不等式，可求y的值的范围.
例11 求函数y= 的值域.
解：将原函数化为
sinx+ycosx=2y,即 (sinx• + cosx)=2y且cosφ= 且sinφ= ，
∴sin(x+φ)= ，| |≤1，
平方得3y2≤1,∴- ≤y≤ .
∴原函数的值域为[- , ].
10.数形结合法
例12 求函数y= + 的最小值.
改造为y= + ，并理解为点(x,0)至(-3,8)和(2,2)距离之和，易得最小值为5 .
例13 函数y= 的最大值为 ,最小值为
.
将解析式理解为定点(2,3)与动点(-cosx,sinx)的连线斜率，且不难得出动点(-cosx,sinx)的轨迹为x2+y2=1,则只要求出过(2,3)且与单位圆相切的切线斜率即可，所求最大值与最小值.
例14 求函数y=|x+2- |的单调区间和值域.
改造为y= • ,将其中 理解为动点(x， )至直线x-y+2=0的距离即可，不难得出动点(x， )的轨迹为单位圆的上半部分，从而易得函数y=f(x)在x∈[-1,- ]是减函数，在x∈[- ，1]是增函数，因此求得值域为y∈[2- ,3].
点拨：数形结合法求函数值域的关键在于对函数表达式的几何意义的主观感知，从几何意义上去求解，这需要全面综合多方位地掌握数学基本概念.
11.导数法：设y=f(x)的导数为f′(x)，由f′(x)=0可求得极值点坐标，若函数定义域为[a,b],必定为极值点和区间端点中函数值的最大值和最小值.
例15 求函数y= - 的值域.
解：函数的定义域由2x+4≥0x+3≥0求得，即x≥-2.
y′= - =
=
当x>-2时，y′>0，即函数y= - ，在（-2，+∞）上是增函数，又f(-2)=-1，∴所求函数的值域为[-1，+∞）.
点评：（1）从本题的解答过程可以看到，当单调区间与函数的值域相同时，才可使用此法，否则会产生错误.
（2）求值域时，当x=-2，函数不可导，但函数y= - 在[-2，+∞）上是连续的，函数图象是连续变化的，因此在x=-2时，取得最小值.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。