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教学难点是指学生在学习中感到困难的地方,一般表现于超出学生已有发展水平的教学目标和要求。在数学教学中如何突破难点是摆在每个数学教师面前的重要课题。如果不能突破这些难点,会直接影响学生掌握数学知识,造成教学上难以弥补的损失。要突破教学难点,应该先了解难点形成的原因,这样才能对症下药,化难为易。
从学生的角度分析。首先,在学习过程中新知识的输入、同化和操作取决于原有的认知结构,即原有的认知结构对新知识的学习具有制约作用。如果学生原有的认知结构不完善,对新知识的学习缺乏必要的基础,就会使新知识难以纳入到原有的认知结构之中,形成教学的难点。其次,高中学生抽象思维水平尚处于起步阶段,而数学知识的本质往往被形式化的表达所掩盖,学生的抽象概括能力未达到一定程度,就很难从表象中认识到数学的本质。
从教师的角度分析。首先,由于教育理论水平的限制,一些教师意识不到数学概念的抽象给学生带来哪些认知上的困惑,在教学中照本宣科、盲目灌输成分较多,分析引导、激发思考成分较少,从而影响了学生抽象思维能力的发展。其次,由于专业水平的限制,一些教师对教材理解不深不透,处理不当,甚至出现偏差,造成学生接受知识的困难。
从数学教材内容的呈现方式分析。为了体现系统性、完整性及简约性等特点,数学教材一般按照演绎方式展开,往往掩盖了知识的来龙去脉及原始的思考过程,从而使学习内容显得突兀和抽象。现行课标教材的编排尽可能解决这一问题,但对一些具有高度抽象性和概括性的数学概念,学生的学习仍存在困难。
因此,在吃透教材、深入研究学生思维水平的基础上,采用适当的教学策略,把抽象的数学概念加以处理,充分暴露概念的形成过程,让学生经历提炼和完善定义的抽象归纳过程。在突破教学难点的同时,培养学生的抽象思维能力,是数学教师用好课标教材的必由之路。笔者在优秀教学设计案例中摘录两则,和大家共同商榷“用好”教材、巧思妙构、突破教学难点之“道”。
案例1 巧设疑问,布设台阶,有效剖析难点知识的元素。(人教B版课标教材选修2-3“条件概率”教学设计摘录)
导语:生活中存在着很多优美而又奇特的数学,而数学里同样也蕴含着很多生活中的哲理和启示。今天,让我们一同进入数学殿堂,体会身边的数学。
巧设疑问,布设台阶
【实例1】3张奖券中只有1张能中奖,现分别由3名同学无放回地抽取,最后一名同学抽到中奖奖券的概率是多少?若第一个同学没有抽到中奖奖券,则最后一名同学抽到中奖奖券的概率是多少?
为让学生充分感受条件概率的特征,教者以学生熟悉的生活背景为载体编拟实例1,通过浅显的例子,反映生活中的条件概率,与后面实例2(教科书中的引例)形成由浅入深,层层递进的探究情境的创设。
【实例2】抛掷红、蓝两颗骰子的实验。记事件A=“蓝骰子的点数为3或6”,事件B=“ 两颗骰子点数之和大于8”,当蓝骰子的点数为3或6时,两颗骰子点数之和大于8的概率是多少?
学生将抛掷红蓝两颗骰子的所有结果用数对一一枚举,在教师引导下适当排列,借助图示的直观性,探求基本事件空间下事件A、B发生的概率。(剖析难点知识的元素)
问题1:在小组范围讨论事件B在“事件A已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件的概率之间的区别和联系。
学生通过相互交流,得出“事件A发生的条件下事件B发生的概率等价于局限在事件A发生的范围内考虑事件A和事件B同时发生的概率”这一结论,从而将条件概率问题与古典概型的概率问题相联系,为用古典概型的概率公式推导条件概率的计算公式设下伏笔。在剖析条件概率内涵的基础上,师生共同归纳条件概率定义。
以上过程,学生在研究实例1的基础上,进一步认识条件概率所涉及的知识元素P(A)、P(A∩B)、P(B|A)的意义,亲历概念发生过程。
归纳定义:对于任何两个事件A和B,在已知事件A发生的条件下,事件B发生的概率叫做条件概率,用符号"P(B|A)“来表示。
【练习】判断下列概率问题是否为条件概率。(略)
判断事件的类型对选择概率公式起着决定性作用,在引入定义后让学生完成一组判断练习,对巩固概念的理解十分必要。
问题2:条件概率和我们学过的古典概型有怎样的区别与联系?请就实例2的研究过程给出条件概率计算方法(小组讨论)
教者提出进一步的合作探究任务,引导学生深入研究条件概率的结构特征。学生在得出条件概率计算公式P(B|A)= ■的同时,又总结出:“条件概率相当于随机试验及随机试验的基本事件空间发生了变化,事件A发生的条件下事件B发生的概率可以看成在事件A发生情形下的基本事件构成基本事件空间时,事件B发生的概率”,从而得到求条件概率的另一种方法——缩减基本事件空间法。
学生通过对条件概率的结构特征的深入探索,进一步完善了对概念的理解,使新知识水到渠成地纳入原有认知结构。
案例2类比迁移,分散难点,巧妙揭示形式化表述下的知识内涵(人教B版课标教材选修2-1 “曲线与方程的概念”教学设计摘录)
新课导入问题1、圆是如何定义的?说出圆的标准方程。
学生回顾相关知识,教师分析圆的定义所反映“形”与“数” 的两个方面,在引导学生研究概念内涵与外延的同时,为导入曲线与方程的概念做好铺垫。
■
方程x2+y2=1
类比迁移 问题2、试将以上讨论抽象到一般情形。
曲线:满足某种条件的动点的轨迹;方程:f(x,y)=0。
教者选择学生最为熟悉的曲线——圆作为特例,从数与形角度的分析,引发曲线与方程概念的思考。合理利用学生已有数学知识及学习经验,准确把握新知识的生长点。
分散难点,由特殊到一般,逐步抽象概括定义问题3、求直角坐标系下一三象限的角平分线方程,下列方法是否正确?
方法1:设一三象限的角平分线上的点为P(x,y),根据角平分线的性质得:■=1,因此一三象限角平分线的方程为:■=1。
方法2:设一三象限的角分线上的点为P(x,y),根据角平分线的性质得:|y|=|x|,因此一三象限角平分线的方程为: |y|=|x|。
方法3:设一三象限的角分线上的点为P(x,y),根据角平分线的性质得:|y|=|x|?圳y=x,因此一三象限角平分线的方程为:y=x.
■
浅显的问题中,蕴含着深刻的思辨性,反映出设计的科学、合理。通过对上述三种方法的研究,学生亲历了曲线与方程概念的发生过程,感悟了曲线的完备性与纯粹性之本质。接下来,教者又通过下面的分析,采用严谨的数学表述,规范学生的表达,让学生的数学表达水平上升到新的层面。
问题分析:集合A={P|P为曲线上任一点},集合B={(x,y)|f(x,y)=0},则
方法1:A?埭B且B?奂A;方法2:A?奂B且B?埭A;方法3:A?哿B且B?哿A.
至此,学生已充分感悟曲线与方程概念的本质,师生共同归纳定义:
在直角直角坐标系中,如果某曲线C与方程 F(x, y)=0的之间具有如下的关系:
(1)曲线C上的点的坐标都是方程F(x, y)=0的解;
(2)以方程F(x, y)=0的解为坐标的点都在曲线C上。
那么曲线C叫做方程F(x, y)=0的曲线,方程F(x, y)=0叫做曲线C的方程。
教师引导学生进一步剖析定义:
(1)“曲线上的点的坐标都是这个方程的解”,说明曲线上没有不满足方程的点,也就是说曲线上所有的点都符合方程条件而无一例外。
(2)“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”说明满足方程的所有点都在曲线上而无一遗漏。
以上两则难点课的教学设计给我们的启示是:教学难点具有两重性,一方面,它可能成为学生学习上的分化点;另一方面,它又可以是学生智慧的开窍点。因此,教师若能深入研究教材,深入研究学生,巧思妙构,突破难点,既可以帮助学生克服畏难情绪,爱学数学,又可以引导学生不断完善认知结构,会学数学,从整体上提高学生的数学素养。
有效突破教学难点,可以考虑以下策略。
1. 帮助学生寻找恰当的、起支撑作用的新知识固着点
要突破难点,首先需要恰当确定学生认知结构中某个与教学难点最接近的知识或经验作为“固着点”。由于数学内容是按一定的逻辑顺序展开的,因此,总可找到合适的“固着点”作为学生学习的支撑,以有效地实现学生认知的同化或顺应。
2. 引导学生在合作学习中实现思维的发展
教师放手让学生以合作学习的形式探索解决问题的多种方法,有助于学生在比较中发现问题,讨论中启迪思维,探索中优化思考问题的方式,使教学难点在合作学习的过程中得到有效化解。
3. 实现教学手段的技术互补
在突破教学难点的过程中,应注意融合现代信息技术手段与传统教学手段各自的优越性,实现必要的联合与互补,从而有效突破教学难点,有效提高学生学习效率。
学之道在于“悟”,教之道在于“度”。通过教师合理把握,科学设计,教学难点可以转化为学生数学学习的“启智点”和数学思维发展的“突破点”。
(责任编辑:张华伟)
从学生的角度分析。首先,在学习过程中新知识的输入、同化和操作取决于原有的认知结构,即原有的认知结构对新知识的学习具有制约作用。如果学生原有的认知结构不完善,对新知识的学习缺乏必要的基础,就会使新知识难以纳入到原有的认知结构之中,形成教学的难点。其次,高中学生抽象思维水平尚处于起步阶段,而数学知识的本质往往被形式化的表达所掩盖,学生的抽象概括能力未达到一定程度,就很难从表象中认识到数学的本质。
从教师的角度分析。首先,由于教育理论水平的限制,一些教师意识不到数学概念的抽象给学生带来哪些认知上的困惑,在教学中照本宣科、盲目灌输成分较多,分析引导、激发思考成分较少,从而影响了学生抽象思维能力的发展。其次,由于专业水平的限制,一些教师对教材理解不深不透,处理不当,甚至出现偏差,造成学生接受知识的困难。
从数学教材内容的呈现方式分析。为了体现系统性、完整性及简约性等特点,数学教材一般按照演绎方式展开,往往掩盖了知识的来龙去脉及原始的思考过程,从而使学习内容显得突兀和抽象。现行课标教材的编排尽可能解决这一问题,但对一些具有高度抽象性和概括性的数学概念,学生的学习仍存在困难。
因此,在吃透教材、深入研究学生思维水平的基础上,采用适当的教学策略,把抽象的数学概念加以处理,充分暴露概念的形成过程,让学生经历提炼和完善定义的抽象归纳过程。在突破教学难点的同时,培养学生的抽象思维能力,是数学教师用好课标教材的必由之路。笔者在优秀教学设计案例中摘录两则,和大家共同商榷“用好”教材、巧思妙构、突破教学难点之“道”。
案例1 巧设疑问,布设台阶,有效剖析难点知识的元素。(人教B版课标教材选修2-3“条件概率”教学设计摘录)
导语:生活中存在着很多优美而又奇特的数学,而数学里同样也蕴含着很多生活中的哲理和启示。今天,让我们一同进入数学殿堂,体会身边的数学。
巧设疑问,布设台阶
【实例1】3张奖券中只有1张能中奖,现分别由3名同学无放回地抽取,最后一名同学抽到中奖奖券的概率是多少?若第一个同学没有抽到中奖奖券,则最后一名同学抽到中奖奖券的概率是多少?
为让学生充分感受条件概率的特征,教者以学生熟悉的生活背景为载体编拟实例1,通过浅显的例子,反映生活中的条件概率,与后面实例2(教科书中的引例)形成由浅入深,层层递进的探究情境的创设。
【实例2】抛掷红、蓝两颗骰子的实验。记事件A=“蓝骰子的点数为3或6”,事件B=“ 两颗骰子点数之和大于8”,当蓝骰子的点数为3或6时,两颗骰子点数之和大于8的概率是多少?
学生将抛掷红蓝两颗骰子的所有结果用数对一一枚举,在教师引导下适当排列,借助图示的直观性,探求基本事件空间下事件A、B发生的概率。(剖析难点知识的元素)
问题1:在小组范围讨论事件B在“事件A已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件的概率之间的区别和联系。
学生通过相互交流,得出“事件A发生的条件下事件B发生的概率等价于局限在事件A发生的范围内考虑事件A和事件B同时发生的概率”这一结论,从而将条件概率问题与古典概型的概率问题相联系,为用古典概型的概率公式推导条件概率的计算公式设下伏笔。在剖析条件概率内涵的基础上,师生共同归纳条件概率定义。
以上过程,学生在研究实例1的基础上,进一步认识条件概率所涉及的知识元素P(A)、P(A∩B)、P(B|A)的意义,亲历概念发生过程。
归纳定义:对于任何两个事件A和B,在已知事件A发生的条件下,事件B发生的概率叫做条件概率,用符号"P(B|A)“来表示。
【练习】判断下列概率问题是否为条件概率。(略)
判断事件的类型对选择概率公式起着决定性作用,在引入定义后让学生完成一组判断练习,对巩固概念的理解十分必要。
问题2:条件概率和我们学过的古典概型有怎样的区别与联系?请就实例2的研究过程给出条件概率计算方法(小组讨论)
教者提出进一步的合作探究任务,引导学生深入研究条件概率的结构特征。学生在得出条件概率计算公式P(B|A)= ■的同时,又总结出:“条件概率相当于随机试验及随机试验的基本事件空间发生了变化,事件A发生的条件下事件B发生的概率可以看成在事件A发生情形下的基本事件构成基本事件空间时,事件B发生的概率”,从而得到求条件概率的另一种方法——缩减基本事件空间法。
学生通过对条件概率的结构特征的深入探索,进一步完善了对概念的理解,使新知识水到渠成地纳入原有认知结构。
案例2类比迁移,分散难点,巧妙揭示形式化表述下的知识内涵(人教B版课标教材选修2-1 “曲线与方程的概念”教学设计摘录)
新课导入问题1、圆是如何定义的?说出圆的标准方程。
学生回顾相关知识,教师分析圆的定义所反映“形”与“数” 的两个方面,在引导学生研究概念内涵与外延的同时,为导入曲线与方程的概念做好铺垫。
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方程x2+y2=1
类比迁移 问题2、试将以上讨论抽象到一般情形。
曲线:满足某种条件的动点的轨迹;方程:f(x,y)=0。
教者选择学生最为熟悉的曲线——圆作为特例,从数与形角度的分析,引发曲线与方程概念的思考。合理利用学生已有数学知识及学习经验,准确把握新知识的生长点。
分散难点,由特殊到一般,逐步抽象概括定义问题3、求直角坐标系下一三象限的角平分线方程,下列方法是否正确?
方法1:设一三象限的角平分线上的点为P(x,y),根据角平分线的性质得:■=1,因此一三象限角平分线的方程为:■=1。
方法2:设一三象限的角分线上的点为P(x,y),根据角平分线的性质得:|y|=|x|,因此一三象限角平分线的方程为: |y|=|x|。
方法3:设一三象限的角分线上的点为P(x,y),根据角平分线的性质得:|y|=|x|?圳y=x,因此一三象限角平分线的方程为:y=x.
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浅显的问题中,蕴含着深刻的思辨性,反映出设计的科学、合理。通过对上述三种方法的研究,学生亲历了曲线与方程概念的发生过程,感悟了曲线的完备性与纯粹性之本质。接下来,教者又通过下面的分析,采用严谨的数学表述,规范学生的表达,让学生的数学表达水平上升到新的层面。
问题分析:集合A={P|P为曲线上任一点},集合B={(x,y)|f(x,y)=0},则
方法1:A?埭B且B?奂A;方法2:A?奂B且B?埭A;方法3:A?哿B且B?哿A.
至此,学生已充分感悟曲线与方程概念的本质,师生共同归纳定义:
在直角直角坐标系中,如果某曲线C与方程 F(x, y)=0的之间具有如下的关系:
(1)曲线C上的点的坐标都是方程F(x, y)=0的解;
(2)以方程F(x, y)=0的解为坐标的点都在曲线C上。
那么曲线C叫做方程F(x, y)=0的曲线,方程F(x, y)=0叫做曲线C的方程。
教师引导学生进一步剖析定义:
(1)“曲线上的点的坐标都是这个方程的解”,说明曲线上没有不满足方程的点,也就是说曲线上所有的点都符合方程条件而无一例外。
(2)“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”说明满足方程的所有点都在曲线上而无一遗漏。
以上两则难点课的教学设计给我们的启示是:教学难点具有两重性,一方面,它可能成为学生学习上的分化点;另一方面,它又可以是学生智慧的开窍点。因此,教师若能深入研究教材,深入研究学生,巧思妙构,突破难点,既可以帮助学生克服畏难情绪,爱学数学,又可以引导学生不断完善认知结构,会学数学,从整体上提高学生的数学素养。
有效突破教学难点,可以考虑以下策略。
1. 帮助学生寻找恰当的、起支撑作用的新知识固着点
要突破难点,首先需要恰当确定学生认知结构中某个与教学难点最接近的知识或经验作为“固着点”。由于数学内容是按一定的逻辑顺序展开的,因此,总可找到合适的“固着点”作为学生学习的支撑,以有效地实现学生认知的同化或顺应。
2. 引导学生在合作学习中实现思维的发展
教师放手让学生以合作学习的形式探索解决问题的多种方法,有助于学生在比较中发现问题,讨论中启迪思维,探索中优化思考问题的方式,使教学难点在合作学习的过程中得到有效化解。
3. 实现教学手段的技术互补
在突破教学难点的过程中,应注意融合现代信息技术手段与传统教学手段各自的优越性,实现必要的联合与互补,从而有效突破教学难点,有效提高学生学习效率。
学之道在于“悟”,教之道在于“度”。通过教师合理把握,科学设计,教学难点可以转化为学生数学学习的“启智点”和数学思维发展的“突破点”。
(责任编辑:张华伟)