模型思想在解决问题教学中的实践与思考

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  [摘 要]《数学课程标准》(2011版)中明确将模型思想确定为十大核心概念之一,并指出:“数学教学应注重发展学生的模型思想。”通过教学“用括线和‘?’表示实际问题”的实践与思考,引导学生在运用括线和“?”表示实际问题的过程中,了解实际问题的构成,不仅能运用数学符号沟通知识间的内在联系,建立数学模型,而且能自觉地用模型思想去分析、解决问题,提高低年段学生解决问题的能力。
  [关键词]数学教学 模型思想 解决问题 数学思想
  [中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068(2016)01-027
  教学环节一:借助符号化语言,分析条件与问题
  师(在复习导入环节创设情境):秋天是收获的季节,大家看,果园的苹果丰收啦!瞧,小兔子们摘来苹果招待大家呢!
  (师出示情境图,引导学生说出四道算式,并让学生根据加减法的意义进行解释)
  师:两部分合起来要用加法,把总数分成两部分要用减法。
  板书如下:
  
  (教学例题时,师动态呈现情境图,先出示盘里的5个苹果)
  师:到底求什么呢?让我们的“新朋友”——括线和“?”来帮助我们解决问题吧!
  师:从图中你知道了什么?
  生1:盘里有5个苹果。[课件相应出示:盘里有(5)个苹果]
  师(课件再出示盘外的3个苹果):还有什么?
  生2:盘外有3个苹果。[课件相应出示:盘外有(3)个苹果]
  师:根据刚才的信息,你想知道什么?
  生3:一共有几个苹果?
  师:为了简单地表示问题,可以用这个符号(相应出示括线)来表示,括线对着哪里就表示那里的物体一共有的个数。
  师:那么,这里的括线表示什么意思呢?
  生4:表示盘里的5个苹果和盘外的3个苹果合起来,一共有的个数。
  师:“一共有几个苹果”是一个问题,可以用“?”来表示。现在请同学们看着用括线和“?”表示的问题情境图,同桌说一说知道了什么,要求什么。(生自由说)
  师:问“一共有几个苹果”,该怎么解决?
  生5:5 3=8。
  师:对于这道算式,你有什么想说的?
  生6:为什么5加3等于8?
  生7:因为5和3合起来是8。
  生8:为什么要用加法来计算?
  生9:要求的问题是“一共有几个苹果”,就要把盘里的5个苹果和盘外的3个苹果合起来。
  生(齐):盘里有5个苹果,盘外有3个苹果,一共有8个苹果。
  师(小结):这里,我们知道了一部分和另一部分,求总数(顺势指着括线下面的“?”)所以用加法,这里的括线可以理解成“合起来”(师相应辅助合起来的动作)的意思。
  ……
  评析:
  在学生已有一图四式表示问题的基础上,教师以问题为引领,引导学生经历有序思考、逐步抽象的过程,寻找解决问题的思路。在此过程中,学生经历从已知到新知的探索过程,从问题情境中逐步抽取出数学问题。这里,教师运用多种方式引导学生思考问题:(1)动态课件引导;(2)符号化语言引导,即用括线和“?”整理有效条件与问题,了解一个完整的问题需要由问题和相关联的条件组成,培养学生整理条件和问题的意识;(3)文字语言引导,即采取图文结合的方式呈现实际问题,借助文字引导学生有序、完整地表达数学问题,感悟数学符号的意义,初步探索解决问题的思路,为用模型思想解决问题奠定基础。
  教学环节二:根据已有的知识经验,理解解题思路
  师(在“试一试”环节):小朋友们真棒!为了奖励大家,小兔子又提来了一篮苹果。
  师(课件先出示一共有的苹果图):从图中,你知道了什么?
  生1:一共有8个苹果。[课件相应出示:一共有(8)个苹果]
  师(出示括线):一共有8个苹果可以用括线表示。(辅以合起来的动作)
  (课件动态演示从8个苹果里移出1个苹果,并用“?”表示篮子里剩下的苹果)
  师:现在又有什么变化呢?
  生2:一共有8个苹果,篮子外有1个,要我们求篮子里有几个苹果。
  [课件相应出示:篮子外有(1)个苹果,篮子里有( )个苹果。](要求学生根据情境图,同桌说说条件和问题)
  师:要求篮子里的苹果数,该怎么办?把你的想法写在数学书第60页的“试一试”上。(指名生2上台板演,列出算式为8-1=7)
  生2:你们明白我的意思吗?
  生3:因为一共有8个苹果,这里的8个苹果是总数,拿出1个苹果,要我们求篮子里有几个苹果,所以用8-1=7。
  师:为什么8减1等于7呢?
  生(齐):8可以分成1和7。
  师(小结):这里,我们知道了总数和一部分,求另一部分(顺势指着括线上面的“?”),所以用减法。这里的括线可以理解为分成了两个部分(师相应的辅助手势,帮助学生理解)。
  ……
  评析:
  本教学环节既是解释与应用的过程,也是深化与巩固的过程。与教学环节一求总数相比,本教学环节出示的实际问题是已知总数和一部分,求另一部分。学生已具备一定的解决问题经验,于是教师放手让学生自主探索解决问题的方法,使学生既经历从具体情境到数学问题的过渡,又经历了从自主探索到解释与验证的过程。在相互质疑中,学生大胆地解释解决问题的过程,并在教师的引导下,根据减法的意义理解括线和“?”在特定情境中所表示的实际意义,同时从中抽象出数量关系,为后面建构数学模型做好准备。   教学环节三:引导学生总结反思,提升数学思想
  师:例题和“试一试”有什么相同点?(生答略)
  师:相同点是都有括线和“?”,这里的括线和“?”是来帮助我们一起解决问题的。(揭示本课所学的主题)那它们有什么不同点?
  生(齐):问号的位置不同。
  师:问号的位置不同,要求的问题也就不同。当我们知道一部分和另一部分,要求总数(将原板书总数改成“?”)就是把两部分合起来(随即用括线把一部分和另一部分连接起来),所以用加法。
  形成以下板书:
  
  师:当我们知道了总数和一部分,要求另一部分,就要把总数分成一部分和另一部分(随即用括线把一部分和另一部分连接起来),所以用减法。
  形成以下板书:
  
  评析:
  本环节,教师着重引导学生自主感悟数学模型建构的过程,使学生通过对比用括线和“?”表示实际问题的相同点与不同点,形成结构化的数学模型。同时,教师引导学生在观察数学模型中,感悟知识间的内在联系;在相同点的思考中,感受括线和“?”在解决问题中的共同特征;在不同点的观察中,深入、具体地感悟括线和“?”在具体问题中表示的实际意义,即括线可以表示合起来,也可以表示分成两个部分,而“?”则指明了问题是求总数还是求部分。在总结和讲解中,教师借助数学符号将关键词以结构化的形式抽象出来,为解决问题提供思路,并引导学生建立模型,使学生积累了解决问题的经验。
  总评:
  《数学课程标准》指出:“教学应结合具体的数学内容,采用‘问题情境——建立模型——解释、应用与拓展’的模式展开,让学生经历知识的形成与应用的过程,从而更好地理解数学知识的意义……”教学“用括线和‘?’表示实际问题”一课时,教师在分析教学内容和学生已有知识经验的基础上,寻找知识间的内在联系,引导学生以建构数学模型的方式,掌握实际问题的框架,理解解决问题的思路,提高了学生分析、解决问题的能力。
  教材分析:第一,内容编排。“用括线和‘?’表示实际问题”隶属“10以内的加法和减法”这一单元的内容,在编排上把运算意义、计算方法和应用运算解决实际问题的内容有机结合起来,发挥了知识之间相互依存、相互促进的作用。第二,内容呈现。根据低年段学生的认知发展特点,本课采用图文结合的方式呈现实际问题。
  学情分析:低年段学生的学习能力较弱,本课是学生第一次接触用图示的方式表示实际问题,表面看似简单,但在思考方式上学生往往存在思维定式,即低年段教学的实际问题较为简单,往往能直接看出答案。由于学生未形成完整的解题思考模式,导致解决问题时往往在不分析条件和问题的情况下,将问题当作已知条件来思考。
  基于上述分析,笔者认为教师应引导学生在解决问题中建立数学模型、感悟模型思想,以培养和提高学生分析问题、解决问题的能力。
  1.沟通知识间的内在联系,理解数学模型的意义
  有学者指出:“数学建模既可以对数学本身进行建模,又可以对实际问题的内在关系来数学建模。”笔者认为,要引导学生经历建模的过程,教师心中首先要有一个数学模型,并能运用数学模型表达知识间的内在联系。根据知识间的内在关系来建构数学模型,才能有效地帮助学生理解解决问题的思路。如上述教学中,教师将实际问题和数的分与合、运算的意义相结合来讲解数学符号表达的意义,既为学生建构数学模型提供依据,又有利于学生理解数学模型的概念。例题中的括线表示合起来的意思,“试一试”中的括线表示分成两个部分,追本溯源就是数的分与合要表达的意义,与应用运算符号“ ”和“-”表达的意义一致,可以沟通部分与部分、总数与部分之间的关系。
  2.逐步抽象知识内容,提供数学建模的素材
  有学者指出:“数学模型是对现实原型的一种理想化处理,是一个科学的抽象的过程,因而具有高度的抽象性和形式化特征。”也有学者指出:“建模应先考虑某些最主要的因素,让其他因素都假定为最特殊的情形,然后对这些主要因素建模。”为使数学模型能够精确地表达出知识的内在意义,上述教学中,教师将抽象贯穿课堂教学的各个环节,试图抽象出建模的最主要因素。如例题和“试一试”教学中,教师引导学生将问题情境逐步抽象成已知条件和要求问题;在解决问题过程中,将学生表达的条件和问题的关系抽象成算式,再根据运算的意义,将数字的意义扩大,抽象出一般的概念。又如,在例题学习中,教师引导学生根据具体情境,借助括线和“?”分析条件与问题,列出算式5 3并解释算式,随后抽象出5表示一部分,3表示另一部分。其中,“试一试”的学习也相同。这样逐步抽象的过程,为学生建构数学模型提供了素材。
  3.引导学生对比分析,感悟结构化的数学模型
  《数学课程标准》明确指出:“在数学教学中应当引导学生感悟建模的过程,发展模型思想。”根据低年段学生的思维以具体形象思维为主的特点,图示的方式能够简明扼要地表示出问题中的数量关系,利于学生形成知识表象。同时,采用图示的方式建立数学模型,有利于学生感悟数学模型,为学生解决问题提供了思路。如在教学环节三的设计上,教师注意引导学生将教学环节一和教学环节二进行对比,总结出用括线和“?”表示实际问题的形式特征,以及括线和“?”在不同问题情境中的实际意义。同时,教师将学生的语言表达,运用直观的板书移动的方式,形成结构化的数学模型,形象地表示出具体情境中解决问题的思路,提高了学生解决问题的能力。
  《数学课程标准》指出:“模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。”毋庸置疑,模型思想对学生的思维发展起着至关重要的作用,在低年段数学课堂教学中,教师应为学生创设多样化的生活情境和提供丰富的学习素材,使学生在感受知识内在联系的过程中逐步建立结构化的数学模型,在运用数学模型解决实际问题的过程中感受问题所表达的实际意义,从而激发学生自主建模的欲望,积累解决问题的经验,提高学生解决问题的能力。
  (责编 蓝 天)
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