论文部分内容阅读
【摘 要】 HPM视角下的“平面直角坐标系”教学以“提出问题—分析问题—解决问题—讲解新知—应用提升—数学文化—课堂小结”为主线，通过介绍笛卡尔的“普遍数学”设想，发现和提出以下问题。几何对象与代数对象如何互相转化;如何采用描点法，重构式地再现数学家笛卡尔、费马、沃利斯等探索平面坐标系的过程，实现从单轴数轴到双轴平面直角坐标系的过渡，揭示数学史的知识之谐、探究之乐、能力之助、文化之魅、德育之效的多元价值，培育学生解决问题的能力，浸润数学学科德育的芬芳。
【关键词】HPM;平面直角坐标系;问题解决;数学文化;数学学科德育
一、引言
“平面直角坐标系”是沪教版数学教科书七年级下册第十五章第1节的内容，强调借助平面直角坐标系刻画平面上的点与有序实数对之间的一一对应关系，突出数形结合的思想方法。《上海市中小学数学课程标准（试行稿）》指出，理解平面直角坐标系的构成，建立平面上的点与有序实数对之间的联系，体会直角坐标平面上的点与坐标之间具有一一对应的关系[1]。“平面直角坐标系”的内容具有承上启下的重要作用，既承接学生已经学习的平面中点的确定、实数、一维的数轴、数轴上两点间的距离公式等内容，又为八年级进一步学习函数、平面直角坐标系中两点间的距离公式，乃至高中阶段的向量、解析几何等知识做好铺垫，开启解析几何学习的新篇章。
实践发现，在沪教版数学教科书中，借助寻找电影院座位的排数、号数等活动，以开门见山式的问题“怎样建立平面上的点与实数之间的联系”，引导学生思考平面上点与实数的对应关系，帮助学生掌握平面直角坐标系的构成，确定平面内点的位置。另一方面，基于现有的教学设计，本节课的教学重点和难点在于如何从一维突破至二维，关注有序实数对的形成、直角坐标平面上的点与坐标之间的一一对应关系。为了达成教学目标，教学设计者往往创设确定国际象棋、做操排队、蜘蛛爬行等位置的情境进行直接引入。然而，这些内容并没有很好地基于学生的基本学情，缺乏从一维数轴到二维平面直角坐标系等认知内容的过渡，常常出现无法深刻理解引入有序实数对、构建平面直角坐标系的必要性的情况，影响学生解析几何的深入学习。更重要的是，这些创设的情境和平面直角坐标系的真实历史是有差异的，学生难以从以上教学中领悟平面直角坐标系的重要作用。
在初中阶段，平面解析几何作为一种数形结合思想的良好载体，渗透在数轴、平面直角坐标系、函数、方程等基础内容的学习中。同时，在数学史中，研究方程与曲线之间的关系是平面坐标系发展的滥觞。法国数学家费马与笛卡尔，英国数学家沃利斯在平面坐标系的演进历史中均做出过卓越的贡献。
鉴于此，笔者尝试基于解析几何预备课这一理念进行教学设计，基于历史相似性原理，在教学中重构式地复现了数学家构建与改进平面坐标系的过程，引导学生突破认知障碍。这些史料能够追寻知识本源，丰富学习内容，完善知识体系，揭示平面直角坐标系产生的必要性，特别是对于“纵轴是如何产生的”“为什么需要纵轴”等问题会有更加深刻的理解。
基于HPM视角，笔者设计了“平面直角坐标系”的教学内容并拟订教学目标如下。
（1）经历从一维数轴过渡到二维平面直角坐标系的学习过程，理解平面直角坐标系的构成，理解平面上的点与有序实数对一一对应的关系。
（2）掌握平面内点的位置与坐标表示之间的相互转化，加强问题解决的能力，领悟解析几何中数形结合的思想方法。
（3）古今对比，了解不同数学家对平面坐标系发展的贡献、平面直角坐标系在社会生活中的重要作用等数学文化，体会数学的理性精神与人文情怀，形成动态的数学观，提升学生学习数学的兴趣和信心。
二、史料运用
基于史料研究，笔者发现平面解析几何起源于公元前3世纪末亚历山大晚期，著名几何学家帕普斯将轨迹分为三类：（1）平面轨迹，指直线与圆;（2）立体轨迹，指圆锥曲线，如椭圆、双曲线与抛物线;（3）线轨迹，指除上述两类轨迹外的曲线。古希腊数学家大多数研究前两类轨迹问题[2]。德国科学史家冈特曾将平面解析几何的历史划分为三个重要阶段：第一阶段是引入两条坐标轴，如阿波罗尼斯与圆锥曲线的性质研究;第二阶段是基于横、纵坐标的曲线作图，如法国数学家奥雷姆首次采用几何图形表示运动;第三阶段是关于横、纵坐标的方程建立，如法国数学家费马与笛卡尔借助韦达的符号代数工具，研究古希腊轨迹问题[3-4]。
其中，平面坐标系的发展史大致可以分为三个阶段（如图1）：第一阶段，建立单轴。法国数学家费马和笛卡尔在研究方程与曲线的关系时只采用横轴这一单轴，未使用纵轴，纵坐标通常是斜的，横坐标和纵坐标仅限于正数范围。不同之处是费马主要研究方程的曲线，而笛卡尔主要研究曲线的方程。第二阶段，引入负坐标。英国数学家沃利斯对坐标系进行改进，有意识地引入负的横、纵坐标，解析几何的曲线范围扩展到整个平面。第三阶段，建立平面坐标系。18 世纪，数学家逐渐开始使用双轴，但普遍使用斜坐标系。从斜坐标系到直角坐标系的转变是一个漫长的过程，大约在19 世纪中叶，人们才普遍使用直角坐标系。
（六）数学文化
借助HPM微视频，教师首先介绍“解析几何之父”数学家笛卡尔的生平与17世纪的“笛卡尔之梦”[5]。接着介绍中国“人民科学家”、中国科学院院士吴文俊先生在数学机械化研究领域的贡献，揭示數形结合思想的历史源流与传承。
笛卡尔曾提出“普遍数学”的伟大设想，即将所有问题转化为数学问题，又将一切数学问题转化为代数问题，再将代数问题转化为方程来求解问题。笛卡尔创建解析几何，在空间形式与数量关系之间架起一座桥梁，实现了初等几何问题的代数化[6]。其思想蕴含了数形结合思想，是解析几何的基本思想之一。
吴文俊先生在中国传统数学史研究的基础上，继承并发展了中国古代以“问题解决”为主旨的算法体系，创立了“数学机械化”方法。几何问题的代数化是几何问题机械化的第一步，为此需要引进数系，构建坐标系，把几何问题转化为代数问题进行描述。 （七）课堂小结
通过课堂小结，教师指出本节课的核心内容——“平面直角坐标系”，并说明从一维数轴过渡到二维平面直角坐标系构建的必要性。
四、教学反思
本节“平面直角坐标系”教学以解析几何预备课的课型切入。首先，基于历史相似性原理，在教学中重构式地复现了数学家笛卡尔、费马、沃利斯构建与改进平面坐标系的过程，经历从一维的数轴过渡到二维的平面直角坐标系的学习过程，揭示纵轴产生的原因、平面直角坐标系诞生的必要性，突出平面内点的位置与坐标表示之间的相互转化，领悟解析几何中数形结合的思想方法，培育问题解决能力。接着介绍“解析几何之父”数学家笛卡尔的故事，中国“人民科学家”吴文俊院士在数学机械化研究领域的工作，了解中外不同数学家对平面坐标系发展的贡献，平面直角坐标系在数学内部（如解析几何）、数学外部（如社会生活）的重要作用，体会数学的理性精神与人文情怀，形成动态的数学观，培育学生的爱国主义情怀与文化自信，感受跨时空的数学文化交融。
五、结语
HPM视角下的“平面直角坐标系”教学深刻地揭示了数学史的知识之谐、探究之乐、能力之助、文化之魅、德育之效的多元价值。
（1）知识之谐。以史为源，重构式地融入平面直角坐标系的发展历史，引导学生自然地经历平面直角坐标系的产生过程，理解从一维数轴到二维平面直角坐标系过渡的自然性、必要性，理解坐标平面上的点与有序实数对的对应关系，掌握平面内点的位置与坐标表示之间的相互转化，揭示解析几何发展的历史演进。
（2）探究之乐。以教育取向的数学史为蓝本，巧妙设计数学探究活动，引导学生探寻数学家发现平面坐标系的历史足迹，经历提出问题、分析问题、解决问题的过程，最后以“数学家手稿传递活动”引导学生学以致用，巩固平面直角坐标系的内容，激发学生学习数学的兴趣。
（3）能力之助。平面直角坐标系是学生基于已有的实数、数轴等知识进行的认知迁移，能够帮助学生掌握平面内点的位置与坐标表示之间的相互转化，提升解决问题的能力，领悟解析几何中数形结合的思想方法。
（4）文化之魅。借助历史时间轴，引导学生经历平面坐标系发展史的三个重要阶段：法国数学家费马和笛卡尔基于正数范围的单轴，研究方程与曲线的关系;英国数学家沃利斯对坐标系进行改进，有意识地引入负坐标;19 世纪中叶至今，人们普遍使用直角坐标系，吴文俊先生进行了“数学机械化”的开拓创新。另外，教师布置“数学家手稿传递活动”作业，让课堂学习变得富有人文性。
（5）德育之效。本节课学生感受数学学科的德育芬芳。情感方面，比较学生的方法与历史上数学家的方法，提升学生学习数学的成就感，提升学习数学的信心，讲述吴文俊先生的事迹更有助于增加学生的民族自豪感和文化自信。精神方面，感悟数学家探寻与改进平面坐标系的理性精神。信念方面，了解平面直角坐标系的前世与今生、继承与发展，感悟数学源于生活、服务于生活。品质方面，在分析问题、解决问题的过程中，培养学生倾听他人、交流合作等良好品质。
此外，本节课融合微视频等教育信息技术，体现数学史内容的可视化，实现“平面直角坐标系”的数学史从学术形态向教育形态的转变，展示学生喜闻乐见的数学，激发学生学习数学的兴趣，顺应“互联网+数学教育”的发展趋势。
参考文献：
[1]上海市教育委员会. 上海市中小学数学课程标准（试行稿）[S]. 上海：上海教育出版社，2004.
[2]汪晓勤，柳笛. 平面解析几何的产生（一） ：古希腊的三线和四线轨迹问题[J]. 中学数学教学参考，2007 （9）：58-59.
[3]汪晓勤，柳笛. 平面解析几何的产生（二） ：费马与解析几何[J]. 中学数学教學参考，2008 （1/2）：122-123.
[4]汪晓勤.平面解析几何的产生（四）[J].中学数学教学参考，2008（11）：56-59.
[5]李大潜，王培甫，周月儒，等. 数学文化小丛书[M]. 北京：高等教育出版社，2013.
[6]纪志刚. 吴文俊与数学机械化[J]. 上海交通大学学报（社会科学版），2001 （3）：13-18.
【关键词】HPM;平面直角坐标系;问题解决;数学文化;数学学科德育
一、引言
“平面直角坐标系”是沪教版数学教科书七年级下册第十五章第1节的内容，强调借助平面直角坐标系刻画平面上的点与有序实数对之间的一一对应关系，突出数形结合的思想方法。《上海市中小学数学课程标准（试行稿）》指出，理解平面直角坐标系的构成，建立平面上的点与有序实数对之间的联系，体会直角坐标平面上的点与坐标之间具有一一对应的关系[1]。“平面直角坐标系”的内容具有承上启下的重要作用，既承接学生已经学习的平面中点的确定、实数、一维的数轴、数轴上两点间的距离公式等内容，又为八年级进一步学习函数、平面直角坐标系中两点间的距离公式，乃至高中阶段的向量、解析几何等知识做好铺垫，开启解析几何学习的新篇章。
实践发现，在沪教版数学教科书中，借助寻找电影院座位的排数、号数等活动，以开门见山式的问题“怎样建立平面上的点与实数之间的联系”，引导学生思考平面上点与实数的对应关系，帮助学生掌握平面直角坐标系的构成，确定平面内点的位置。另一方面，基于现有的教学设计，本节课的教学重点和难点在于如何从一维突破至二维，关注有序实数对的形成、直角坐标平面上的点与坐标之间的一一对应关系。为了达成教学目标，教学设计者往往创设确定国际象棋、做操排队、蜘蛛爬行等位置的情境进行直接引入。然而，这些内容并没有很好地基于学生的基本学情，缺乏从一维数轴到二维平面直角坐标系等认知内容的过渡，常常出现无法深刻理解引入有序实数对、构建平面直角坐标系的必要性的情况，影响学生解析几何的深入学习。更重要的是，这些创设的情境和平面直角坐标系的真实历史是有差异的，学生难以从以上教学中领悟平面直角坐标系的重要作用。
在初中阶段，平面解析几何作为一种数形结合思想的良好载体，渗透在数轴、平面直角坐标系、函数、方程等基础内容的学习中。同时，在数学史中，研究方程与曲线之间的关系是平面坐标系发展的滥觞。法国数学家费马与笛卡尔，英国数学家沃利斯在平面坐标系的演进历史中均做出过卓越的贡献。
鉴于此，笔者尝试基于解析几何预备课这一理念进行教学设计，基于历史相似性原理，在教学中重构式地复现了数学家构建与改进平面坐标系的过程，引导学生突破认知障碍。这些史料能够追寻知识本源，丰富学习内容，完善知识体系，揭示平面直角坐标系产生的必要性，特别是对于“纵轴是如何产生的”“为什么需要纵轴”等问题会有更加深刻的理解。
基于HPM视角，笔者设计了“平面直角坐标系”的教学内容并拟订教学目标如下。
（1）经历从一维数轴过渡到二维平面直角坐标系的学习过程，理解平面直角坐标系的构成，理解平面上的点与有序实数对一一对应的关系。
（2）掌握平面内点的位置与坐标表示之间的相互转化，加强问题解决的能力，领悟解析几何中数形结合的思想方法。
（3）古今对比，了解不同数学家对平面坐标系发展的贡献、平面直角坐标系在社会生活中的重要作用等数学文化，体会数学的理性精神与人文情怀，形成动态的数学观，提升学生学习数学的兴趣和信心。
二、史料运用
基于史料研究，笔者发现平面解析几何起源于公元前3世纪末亚历山大晚期，著名几何学家帕普斯将轨迹分为三类：（1）平面轨迹，指直线与圆;（2）立体轨迹，指圆锥曲线，如椭圆、双曲线与抛物线;（3）线轨迹，指除上述两类轨迹外的曲线。古希腊数学家大多数研究前两类轨迹问题[2]。德国科学史家冈特曾将平面解析几何的历史划分为三个重要阶段：第一阶段是引入两条坐标轴，如阿波罗尼斯与圆锥曲线的性质研究;第二阶段是基于横、纵坐标的曲线作图，如法国数学家奥雷姆首次采用几何图形表示运动;第三阶段是关于横、纵坐标的方程建立，如法国数学家费马与笛卡尔借助韦达的符号代数工具，研究古希腊轨迹问题[3-4]。
其中，平面坐标系的发展史大致可以分为三个阶段（如图1）：第一阶段，建立单轴。法国数学家费马和笛卡尔在研究方程与曲线的关系时只采用横轴这一单轴，未使用纵轴，纵坐标通常是斜的，横坐标和纵坐标仅限于正数范围。不同之处是费马主要研究方程的曲线，而笛卡尔主要研究曲线的方程。第二阶段，引入负坐标。英国数学家沃利斯对坐标系进行改进，有意识地引入负的横、纵坐标，解析几何的曲线范围扩展到整个平面。第三阶段，建立平面坐标系。18 世纪，数学家逐渐开始使用双轴，但普遍使用斜坐标系。从斜坐标系到直角坐标系的转变是一个漫长的过程，大约在19 世纪中叶，人们才普遍使用直角坐标系。
（六）数学文化
借助HPM微视频，教师首先介绍“解析几何之父”数学家笛卡尔的生平与17世纪的“笛卡尔之梦”[5]。接着介绍中国“人民科学家”、中国科学院院士吴文俊先生在数学机械化研究领域的贡献，揭示數形结合思想的历史源流与传承。
笛卡尔曾提出“普遍数学”的伟大设想，即将所有问题转化为数学问题，又将一切数学问题转化为代数问题，再将代数问题转化为方程来求解问题。笛卡尔创建解析几何，在空间形式与数量关系之间架起一座桥梁，实现了初等几何问题的代数化[6]。其思想蕴含了数形结合思想，是解析几何的基本思想之一。
吴文俊先生在中国传统数学史研究的基础上，继承并发展了中国古代以“问题解决”为主旨的算法体系，创立了“数学机械化”方法。几何问题的代数化是几何问题机械化的第一步，为此需要引进数系，构建坐标系，把几何问题转化为代数问题进行描述。 （七）课堂小结
通过课堂小结，教师指出本节课的核心内容——“平面直角坐标系”，并说明从一维数轴过渡到二维平面直角坐标系构建的必要性。
四、教学反思
本节“平面直角坐标系”教学以解析几何预备课的课型切入。首先，基于历史相似性原理，在教学中重构式地复现了数学家笛卡尔、费马、沃利斯构建与改进平面坐标系的过程，经历从一维的数轴过渡到二维的平面直角坐标系的学习过程，揭示纵轴产生的原因、平面直角坐标系诞生的必要性，突出平面内点的位置与坐标表示之间的相互转化，领悟解析几何中数形结合的思想方法，培育问题解决能力。接着介绍“解析几何之父”数学家笛卡尔的故事，中国“人民科学家”吴文俊院士在数学机械化研究领域的工作，了解中外不同数学家对平面坐标系发展的贡献，平面直角坐标系在数学内部（如解析几何）、数学外部（如社会生活）的重要作用，体会数学的理性精神与人文情怀，形成动态的数学观，培育学生的爱国主义情怀与文化自信，感受跨时空的数学文化交融。
五、结语
HPM视角下的“平面直角坐标系”教学深刻地揭示了数学史的知识之谐、探究之乐、能力之助、文化之魅、德育之效的多元价值。
（1）知识之谐。以史为源，重构式地融入平面直角坐标系的发展历史，引导学生自然地经历平面直角坐标系的产生过程，理解从一维数轴到二维平面直角坐标系过渡的自然性、必要性，理解坐标平面上的点与有序实数对的对应关系，掌握平面内点的位置与坐标表示之间的相互转化，揭示解析几何发展的历史演进。
（2）探究之乐。以教育取向的数学史为蓝本，巧妙设计数学探究活动，引导学生探寻数学家发现平面坐标系的历史足迹，经历提出问题、分析问题、解决问题的过程，最后以“数学家手稿传递活动”引导学生学以致用，巩固平面直角坐标系的内容，激发学生学习数学的兴趣。
（3）能力之助。平面直角坐标系是学生基于已有的实数、数轴等知识进行的认知迁移，能够帮助学生掌握平面内点的位置与坐标表示之间的相互转化，提升解决问题的能力，领悟解析几何中数形结合的思想方法。
（4）文化之魅。借助历史时间轴，引导学生经历平面坐标系发展史的三个重要阶段：法国数学家费马和笛卡尔基于正数范围的单轴，研究方程与曲线的关系;英国数学家沃利斯对坐标系进行改进，有意识地引入负坐标;19 世纪中叶至今，人们普遍使用直角坐标系，吴文俊先生进行了“数学机械化”的开拓创新。另外，教师布置“数学家手稿传递活动”作业，让课堂学习变得富有人文性。
（5）德育之效。本节课学生感受数学学科的德育芬芳。情感方面，比较学生的方法与历史上数学家的方法，提升学生学习数学的成就感，提升学习数学的信心，讲述吴文俊先生的事迹更有助于增加学生的民族自豪感和文化自信。精神方面，感悟数学家探寻与改进平面坐标系的理性精神。信念方面，了解平面直角坐标系的前世与今生、继承与发展，感悟数学源于生活、服务于生活。品质方面，在分析问题、解决问题的过程中，培养学生倾听他人、交流合作等良好品质。
此外，本节课融合微视频等教育信息技术，体现数学史内容的可视化，实现“平面直角坐标系”的数学史从学术形态向教育形态的转变，展示学生喜闻乐见的数学，激发学生学习数学的兴趣，顺应“互联网+数学教育”的发展趋势。
参考文献：
[1]上海市教育委员会. 上海市中小学数学课程标准（试行稿）[S]. 上海：上海教育出版社，2004.
[2]汪晓勤，柳笛. 平面解析几何的产生（一） ：古希腊的三线和四线轨迹问题[J]. 中学数学教学参考，2007 （9）：58-59.
[3]汪晓勤，柳笛. 平面解析几何的产生（二） ：费马与解析几何[J]. 中学数学教學参考，2008 （1/2）：122-123.
[4]汪晓勤.平面解析几何的产生（四）[J].中学数学教学参考，2008（11）：56-59.
[5]李大潜，王培甫，周月儒，等. 数学文化小丛书[M]. 北京：高等教育出版社，2013.
[6]纪志刚. 吴文俊与数学机械化[J]. 上海交通大学学报（社会科学版），2001 （3）：13-18.