论文部分内容阅读
【摘 要】深度学习是指在获取知识的过程中，基于充分理解的基础上进行系统设计与深度加工，是以完善认知方式、丰富思维策略和提升发展性学力为主要目标所开展的学习活动，常蕴含在知识的生成过程、方法的完善过程和行为的反思过程中，具有过程性、综合性、批判性和创造性等典型特征。研究者以“梯形的中位线定理”教学为例，在吃透教材、学情和教法的基础上，引导学生开展基于主动思考、深入理解和勇于探究的深度学习。
【关键词】梯形;中位线定理;深度学习;核心素养;发展性学力
【作者简介】刘华为，高级教师，上海市第四期“双名工程”名师，静安区学科带头人;陈超，二级教师。
以数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析为主旨的核心素养，推动了课堂教学改革，引领了教师专业化发展，促进了学生素质提升。因此，课堂教学中如何突出这六大核心素养，是很多教师关注的焦点。对此，笔者以沪教版数学八年级第二学期的“梯形的中位线定理”教学为例，引导学生开展基于主动思考、深入理解和勇于探究的深度学习。
一、立足三个“吃透”，奠定开展深度学习的坚实基础
教材中所涉及的知识是开展学习活动的载体，知识背后所蕴含的思想方法是开展学习活动所需深入挖掘的潜在信息，而认知过程中所要完善的思维方式与培养的发展性学力是开展学习活动的重要价值。因此，吃透教材、学情和教法是开展深度学习的重要基础。
1吃透教材
梯形的中位线定理是继三角形中位线定理后，又一个集位置关系和数量关系于一体的重要定理，是处理两线平行问题和三条线段之间的数量关系的重要策略之一，对后续平行线分线段成比例与相似形的学习具有十分重要的意义。一方面教材只用“与三角形中位线类似”一句过渡语，便直接给出梯形中位线的概念与定理（定理的证明也只介绍一种证法），然后通过一道以梯子为背景的计算题和一道以梯形为基本图形的角平分线的证明题来分别强化梯形中位線定理的数量关系与位置关系的应用。另一方面配套的教师教学参考用书又特别强调要重视从三角形中位线到梯形中位线的引导，促进学生正确进行知识迁移，至于究竟如何类比或类比什么却没有进一步说明，这为如何开展深度学习留下了开发空间与拓展方向。
2吃透学情
有了三角形中位线的学习经验，学生对梯形中位线“概念—性质—应用”的学习架构有了基本认识和迁移基础，但无论是研究的对象，还是对性质定理中数量关系的猜想与描述，两者都存在一定的差异，给类比迁移制造了不小的障碍。另外，利用三角形中位线定理证明梯形中位线定理时需构造三角形，有些构造方法比较显性（如连接梯形对角线），但具体证明却涉及“同一法”思想，学生对“同一法”又一无所知，无法独立完成证明，这给教师课堂教学带来挑战。
3吃透教法
定理教学通常都是以探究性教学为主，即通过创设情境—观察猜想—合情推理—操作验证—演绎证明—举例应用等活动，把定理的探究、证明与应用变为学生的学习成果。“梯形的中位线定理”的教学当然也不例外，应当基于三角形中位线的学习经验，借助类比迁移情境，从图形的认知规律入手，引导学生由三角形迁移到四边形，再把视角由一般四边形转到研究特殊四边形，最终深入到梯形的探究，发掘定理并展开应用。这样的教学设计优势在于，注重对几何图形研究的学法指导，强化了学生的探究意识，提升了发展性学力。
二、着手四点“开发”，丰富开展深度学习的基本策略
1开发知识生成过程，强化探究方法的深度学习
与教材直接提出梯形中位线的概念与定理的处理方式不同，笔者基于怎么想到研究梯形的中位线及梯形的中位线定理中的数量关系是如何被挖掘这两个问题进行深入思考，从中位线的构成要素与图形的动态发展入手，借助以下一系列驱动性问题，引导学生对知识生成进行深度学习。
问题1：什么是三角形的中位线？它有什么性质？
问题2：在研究了三角形的中位线后，接下来还能研究哪些多边形的中位线？
问题3：连接四边形两边中点的线段是不是也有类似结论呢？
如图1，若连接四边形ABCD两邻边的中点E、F，易知EF就是△ABD的中位线，不必进一步研究;如图2，若连接四边形对边中点E、F，对于一般四边形来说，EF与另两边AD、BC间显然不存在平行的位置关系，借助度量（或用几何画板演示）也可猜测三者不存在特殊的数量关系。
问题4：在图2中，当AD与BC满足什么条件时，EF与两者平行？
学生易猜想，当AD∥BC（即四边形ABCD为梯形）时，EF∥AD∥BC（如图3）。
问题5：连接梯形两腰中点的线段与上下底之间是否存在特殊的数量关系？
从图象上看，EF与AD或BC均不相等，学生自然想到寻求三条线段间的数量关系。既然是寻求数量关系，教师不妨先放手让学生大胆猜想，然后测量验证;或者借助问题“当AD与BC除平行外，还需满足什么数量关系时EF才与二者分别相等”，即由四边形ABCD是平行四边形时，三条线段间存在特殊的数量关系EF=AD=BC=12（AD+BC）（如图4），启发学生猜想对于梯形ABCD，等式EF=12（AD+BC）成立。
上述系列问题主要依据中位线是连接两边中点的线段的特征，紧扣中位线与其他边的位置关系和数量关系两个研究方向，引导学生从三角形逐步类比迁移到梯形，让学生经历观察、猜想、验证、应用的探究过程，进一步体验归纳、类比和转化等数学思想，完善定理探究的认知方式。与教材的处理方式相比，虽然课堂教学节奏慢了，但活动量和思维量却得到有效强化，学习力度也得以全面提升。
2开发证明思路的生成过程，强化逻辑推理的深度学习
在教学中，笔者发现学生学习能力弱常常表现为“一听就懂，一做就错”，其根本原因是找不到解决问题的突破口，缺乏调控受阻思维的基本策略。因此，从“教学生怎样想”入手，以再现“怎么想到这样做”的思维历程为抓手，笔者设计了以突出转化思想为主题的操作环节，引导学生进一步开展深度学习，厘清证明方法形成的基本原理，把握由梯形向三角形转化的构图（添加辅助线）本质，提升学生迁移能力。 问题6：你能仿照三角形中位线的定义与定理，说出什么叫梯形的中位线及其性质吗？
定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。
性质：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
问题7：如何证明性质呢？
教师引导学生写出已知与求证。如图5，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别为腰AB、CD的中点，连接EF。求证：EF∥AD∥BC，且EF=12（AD+BC）。若学生思维受阻，可借助所有数学问题都是运用所学过的知识加以解决的转化思想，启发学生通过添加辅助线把梯形问题转化为三角形问题求解。
转化一：直接连接梯形的对角线AC，交EF于点G（如图6），则把梯形ABCD分割为△ABC与△ACD，但如何证明点G为AC的中点却成了最为棘手的问题。教师可用逆向思维启发学生，既然直接证明点G为AC的中点不容易，何不反其道而行之，取AC的中点G再证明点G在线段EF上呢？由三角形中位线定理可知，FG∥AD∥BC且EG∥BC，依据平行公理“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”，可知直线FG与直线EG重合，即点G在线段EF上，所以可得EF∥AD∥BC，且EF=EG+FG=12（AD+BC）。
上述转化思路虽然涉及“同一法”基本思想，但鉴于教材对“同一法”不作要求，所以教师不必向学生对“同一法”做过多解读，以减轻学生的学习负担。其实，在解题中用逆向思维进行思考，既可化难为易，又可优化学生的思维品质。
转化二：若以EF为中位线构造三角形，由点E为AB的中点，自然想到连接AF并延长交BC的延长线于点P，易证△ADF≌△PCF，得AD=PC且AF=PF，进而得出EF∥AD∥BC，且EF=12BP=12（BC+CP）=12（AD+BC）。
图7的辅助线也可以从AD+BC的结构特征入手，即如何把AD与BC整合成一条线段，进而想到把线段AD绕点F旋转180°到CP的位置（连接AF、PF后，由△AFD≌△PFC知∠AFD=∠PFC，进而得A、F、P三点共线，也可证明结论成立）;当然也可以从“截长补短”的角度切入，即延长BC至点P，使CP=DA（也需证明A、F、P三点共线）;或者直接把△ADF绕点F旋转180°到△PCF的位置，等等。但这些作辅助线的思路均没有把EF作为中位线构造三角形更能凸显转化思想。
转化三：受图4启发，也可以从构造平行四边形入手添加辅助线（如图8～10）。其中图8与图10也需仿照转化一证明E、N、F三点共线，即作AB的平行线DM（或CM）后，取DM（或CM）的中点N，通过证明EN∥BC与FN∥BC，得E、N、F三点共线，进而利用平行四边形的性质与三角形中位线定理证明性质成立。
其实，对于上述辅助线从不同的角度思考还可得到更多不同的证法，由于时间限制，课堂上不可能逐一呈现或证明，但教师至少要向学生介绍三种转化方式的思路生成过程，让学生明白怎么想到这样添加辅助线，教学生思考解题的思路，突出学法指导。另外，经过多角度的严格推理证明，不仅完成了由猜想到定理的学习体验，而且对培养学生发散性思维、创新能力，以及逻辑推理的核心素养也有很大帮助。
3开发层层推进的变式教学，强化应用能力的深度学习
沪教版八年级数学第二学期第99页的例7原题如下。
原题 一把梯子如图11所示，其中四边形AKLB是梯形。已知AC=CE=EG=GK，BD=DF=FH=HL，AB=06 m，CD=08 m，求EF、GH、KL的值。
显然，该例题存在图形过于复杂（线条过多）、起点较高（需直接逆向运用定理的数量关系且干扰线较多）、层次性不强、重复操练过多（三条线段之长均可按同一方法求解）、思维深度不大和功能性不强等不足之处。于是，笔者通过设计层层递进的变式问题链对原题进行改造，激发学生深度学习的探究欲，培养深入思考的良好习惯。
例1 在梯形ABCD中，已知AD∥BC，点E、F分别是腰AB、CD的中点。若AD=6，BC=14，求EF的長。
本题只需直接运用梯形中位线定理中的数量关系即可求出EF的值为10，但题目隐去图形，让学生体验构图的过程，可以加深学生对定理的理解与记忆。
变式1 如图12，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，点G、H分别是腰AB、CD上一点，且AG=14AB，DH=14DC。若AD=6，GH=8，求BC的长。
本题需构造梯形ABCD的中位线EF，并两次逆向运用梯形中位线定理中的数量关系，方可求出BC的值为14。与例1相比，该变式题需“跳一跳才能摘到果实”，增加了学生思维容量。
变式2 在梯形ABCD中，已知AD∥BC，点G、H分别是腰AB、CD上的四等分点，且GH∥AD。若AD=6，GH=8，求BC的长。
该变式题再次隐去图形，增加了分类讨论的情形，强化了学生思维的严谨性。
当然，笔者在这组层层递进的变式中并没有对相关数字做刻意调整，意在避免由数字变化带来的重复计算与操练，减少学生心理负担，以留下更多时间进行思维训练，全面提升学生多角度运用公式处理问题的能力。
4开发时效性阶段性小结，强化思想方法的深度学习
如果说课堂小结是对整节课知识的系统归纳与技能的综合提升，是突出重点与拔高认知水平的有效途径，那么侧重思想方法提炼的阶段性小结则如贯穿课堂的明珠，既有利于及时巩固提升，又有穿针引线和推思助想之妙。如在梯形中位线的概念和定理生成后就可引导学生对研究几何图形基本思路进行梳理（由简单到复杂，由一般到特殊），对类比迁移方法进行提炼;在定理推理证明后则可引导学生对转化思想进行深度挖掘（由梯形到三角形的转化中凸显了由新知到旧知的转化之源），对思维能力进行优化（受阻思维的调控技巧与多法优化之策）;在例1及其变式题教学后又可引导学生对习题变式技巧进行反思，重在思想深度的挖掘。 当然，课堂小结也不能淡化，笔者从“本节课学到什么知识”“掌握了哪些方法”“你的感悟是什么”三个方面引导学生归纳整理。虽然问题比较发散，但注重提升，意在发展，给学生足够的想象与畅言空间。对于学生的回答，笔者及时做好补充与点评，强调探究过程与思想方法，落实数学核心素养。
三、放眼六大核心素养，强化开展深度学习的核心价值
毫无疑问，与常规教学相比，本教学设计基于深度学习的处理方式让教学节奏“慢”了下来。不过，如此一“慢”却让注重核心素养培养的教学目标得到有效落实。一是在中位线概念和定理由三角形到梯形的探究与迁移类比过程中，感悟数学抽象与数学建模的核心理念;二是在多角度的定理证明转化思路生成过程中培养了逻辑推理的核心能力;三是在图形的递进变化与几何画板的动态演示中强化了直观想象能力;四是在多层次的线段长度计算与算理分析推进中优化了数学运算核心素养;五是在依据线段间的数量关系并借“截长补短”之策略中，挖掘解题思路的生成，凸显数据分析之魅力。
众所周知，课堂容量包括知识量、活动量和思维量三部分，其中知识量是根、活动量是茎、思维量是果。从表面上看，本节课虽然只处理了一个定义、一个定理和一道例题，单从知识量来看似乎過于单薄，但正是基于深度学习的教材二次开发却使活动量与思维量大大增强，凸显了对数学教学的本质追求。如对梯形中位线数量关系的处理，教师并没有直接灌输给学生，也没有简单地用尺子量一量或者观察一下就得出结果，而是创设连接平行四边形对边中点，通过观察与另外两边的特殊关系，猜想出梯形中位线等于上底与下底之和的一半，遵循了从特殊到一般的认知规律，强化了活动量与思维量。特别是梯形中位线概念的生成与定理的证明，教师组织学生自主探究，给予充分的想象空间和思考时间，通过类比迁移和多角度的思维挖掘，深化了知识构建的学习过程，完善了学习方式，优化了发展性学力。换言之，数学教学不仅仅是教知识，更重要的是通过知识的建构，训练学生的思维方式，培养学生处理问题的能力，或许这才是数学教学的核心价值之所在。
总之，开展深度学习的主要目的不仅在于引导学生学会学习，还要指导学生提炼地学、反思地学、优化地学和创新地学。教师要在知识生成处、难点突破处、方法形成处和思维生长处精心设计教学内容，放手让学生主动探究，不断反思与内化，全面强化综合性思维和提升发展性学力。
（责任编辑：陆顺演）
【关键词】梯形;中位线定理;深度学习;核心素养;发展性学力
【作者简介】刘华为，高级教师，上海市第四期“双名工程”名师，静安区学科带头人;陈超，二级教师。
以数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析为主旨的核心素养，推动了课堂教学改革，引领了教师专业化发展，促进了学生素质提升。因此，课堂教学中如何突出这六大核心素养，是很多教师关注的焦点。对此，笔者以沪教版数学八年级第二学期的“梯形的中位线定理”教学为例，引导学生开展基于主动思考、深入理解和勇于探究的深度学习。
一、立足三个“吃透”，奠定开展深度学习的坚实基础
教材中所涉及的知识是开展学习活动的载体，知识背后所蕴含的思想方法是开展学习活动所需深入挖掘的潜在信息，而认知过程中所要完善的思维方式与培养的发展性学力是开展学习活动的重要价值。因此，吃透教材、学情和教法是开展深度学习的重要基础。
1吃透教材
梯形的中位线定理是继三角形中位线定理后，又一个集位置关系和数量关系于一体的重要定理，是处理两线平行问题和三条线段之间的数量关系的重要策略之一，对后续平行线分线段成比例与相似形的学习具有十分重要的意义。一方面教材只用“与三角形中位线类似”一句过渡语，便直接给出梯形中位线的概念与定理（定理的证明也只介绍一种证法），然后通过一道以梯子为背景的计算题和一道以梯形为基本图形的角平分线的证明题来分别强化梯形中位線定理的数量关系与位置关系的应用。另一方面配套的教师教学参考用书又特别强调要重视从三角形中位线到梯形中位线的引导，促进学生正确进行知识迁移，至于究竟如何类比或类比什么却没有进一步说明，这为如何开展深度学习留下了开发空间与拓展方向。
2吃透学情
有了三角形中位线的学习经验，学生对梯形中位线“概念—性质—应用”的学习架构有了基本认识和迁移基础，但无论是研究的对象，还是对性质定理中数量关系的猜想与描述，两者都存在一定的差异，给类比迁移制造了不小的障碍。另外，利用三角形中位线定理证明梯形中位线定理时需构造三角形，有些构造方法比较显性（如连接梯形对角线），但具体证明却涉及“同一法”思想，学生对“同一法”又一无所知，无法独立完成证明，这给教师课堂教学带来挑战。
3吃透教法
定理教学通常都是以探究性教学为主，即通过创设情境—观察猜想—合情推理—操作验证—演绎证明—举例应用等活动，把定理的探究、证明与应用变为学生的学习成果。“梯形的中位线定理”的教学当然也不例外，应当基于三角形中位线的学习经验，借助类比迁移情境，从图形的认知规律入手，引导学生由三角形迁移到四边形，再把视角由一般四边形转到研究特殊四边形，最终深入到梯形的探究，发掘定理并展开应用。这样的教学设计优势在于，注重对几何图形研究的学法指导，强化了学生的探究意识，提升了发展性学力。
二、着手四点“开发”，丰富开展深度学习的基本策略
1开发知识生成过程，强化探究方法的深度学习
与教材直接提出梯形中位线的概念与定理的处理方式不同，笔者基于怎么想到研究梯形的中位线及梯形的中位线定理中的数量关系是如何被挖掘这两个问题进行深入思考，从中位线的构成要素与图形的动态发展入手，借助以下一系列驱动性问题，引导学生对知识生成进行深度学习。
问题1：什么是三角形的中位线？它有什么性质？
问题2：在研究了三角形的中位线后，接下来还能研究哪些多边形的中位线？
问题3：连接四边形两边中点的线段是不是也有类似结论呢？
如图1，若连接四边形ABCD两邻边的中点E、F，易知EF就是△ABD的中位线，不必进一步研究;如图2，若连接四边形对边中点E、F，对于一般四边形来说，EF与另两边AD、BC间显然不存在平行的位置关系，借助度量（或用几何画板演示）也可猜测三者不存在特殊的数量关系。
问题4：在图2中，当AD与BC满足什么条件时，EF与两者平行？
学生易猜想，当AD∥BC（即四边形ABCD为梯形）时，EF∥AD∥BC（如图3）。
问题5：连接梯形两腰中点的线段与上下底之间是否存在特殊的数量关系？
从图象上看，EF与AD或BC均不相等，学生自然想到寻求三条线段间的数量关系。既然是寻求数量关系，教师不妨先放手让学生大胆猜想，然后测量验证;或者借助问题“当AD与BC除平行外，还需满足什么数量关系时EF才与二者分别相等”，即由四边形ABCD是平行四边形时，三条线段间存在特殊的数量关系EF=AD=BC=12（AD+BC）（如图4），启发学生猜想对于梯形ABCD，等式EF=12（AD+BC）成立。
上述系列问题主要依据中位线是连接两边中点的线段的特征，紧扣中位线与其他边的位置关系和数量关系两个研究方向，引导学生从三角形逐步类比迁移到梯形，让学生经历观察、猜想、验证、应用的探究过程，进一步体验归纳、类比和转化等数学思想，完善定理探究的认知方式。与教材的处理方式相比，虽然课堂教学节奏慢了，但活动量和思维量却得到有效强化，学习力度也得以全面提升。
2开发证明思路的生成过程，强化逻辑推理的深度学习
在教学中，笔者发现学生学习能力弱常常表现为“一听就懂，一做就错”，其根本原因是找不到解决问题的突破口，缺乏调控受阻思维的基本策略。因此，从“教学生怎样想”入手，以再现“怎么想到这样做”的思维历程为抓手，笔者设计了以突出转化思想为主题的操作环节，引导学生进一步开展深度学习，厘清证明方法形成的基本原理，把握由梯形向三角形转化的构图（添加辅助线）本质，提升学生迁移能力。 问题6：你能仿照三角形中位线的定义与定理，说出什么叫梯形的中位线及其性质吗？
定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。
性质：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
问题7：如何证明性质呢？
教师引导学生写出已知与求证。如图5，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别为腰AB、CD的中点，连接EF。求证：EF∥AD∥BC，且EF=12（AD+BC）。若学生思维受阻，可借助所有数学问题都是运用所学过的知识加以解决的转化思想，启发学生通过添加辅助线把梯形问题转化为三角形问题求解。
转化一：直接连接梯形的对角线AC，交EF于点G（如图6），则把梯形ABCD分割为△ABC与△ACD，但如何证明点G为AC的中点却成了最为棘手的问题。教师可用逆向思维启发学生，既然直接证明点G为AC的中点不容易，何不反其道而行之，取AC的中点G再证明点G在线段EF上呢？由三角形中位线定理可知，FG∥AD∥BC且EG∥BC，依据平行公理“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”，可知直线FG与直线EG重合，即点G在线段EF上，所以可得EF∥AD∥BC，且EF=EG+FG=12（AD+BC）。
上述转化思路虽然涉及“同一法”基本思想，但鉴于教材对“同一法”不作要求，所以教师不必向学生对“同一法”做过多解读，以减轻学生的学习负担。其实，在解题中用逆向思维进行思考，既可化难为易，又可优化学生的思维品质。
转化二：若以EF为中位线构造三角形，由点E为AB的中点，自然想到连接AF并延长交BC的延长线于点P，易证△ADF≌△PCF，得AD=PC且AF=PF，进而得出EF∥AD∥BC，且EF=12BP=12（BC+CP）=12（AD+BC）。
图7的辅助线也可以从AD+BC的结构特征入手，即如何把AD与BC整合成一条线段，进而想到把线段AD绕点F旋转180°到CP的位置（连接AF、PF后，由△AFD≌△PFC知∠AFD=∠PFC，进而得A、F、P三点共线，也可证明结论成立）;当然也可以从“截长补短”的角度切入，即延长BC至点P，使CP=DA（也需证明A、F、P三点共线）;或者直接把△ADF绕点F旋转180°到△PCF的位置，等等。但这些作辅助线的思路均没有把EF作为中位线构造三角形更能凸显转化思想。
转化三：受图4启发，也可以从构造平行四边形入手添加辅助线（如图8～10）。其中图8与图10也需仿照转化一证明E、N、F三点共线，即作AB的平行线DM（或CM）后，取DM（或CM）的中点N，通过证明EN∥BC与FN∥BC，得E、N、F三点共线，进而利用平行四边形的性质与三角形中位线定理证明性质成立。
其实，对于上述辅助线从不同的角度思考还可得到更多不同的证法，由于时间限制，课堂上不可能逐一呈现或证明，但教师至少要向学生介绍三种转化方式的思路生成过程，让学生明白怎么想到这样添加辅助线，教学生思考解题的思路，突出学法指导。另外，经过多角度的严格推理证明，不仅完成了由猜想到定理的学习体验，而且对培养学生发散性思维、创新能力，以及逻辑推理的核心素养也有很大帮助。
3开发层层推进的变式教学，强化应用能力的深度学习
沪教版八年级数学第二学期第99页的例7原题如下。
原题 一把梯子如图11所示，其中四边形AKLB是梯形。已知AC=CE=EG=GK，BD=DF=FH=HL，AB=06 m，CD=08 m，求EF、GH、KL的值。
显然，该例题存在图形过于复杂（线条过多）、起点较高（需直接逆向运用定理的数量关系且干扰线较多）、层次性不强、重复操练过多（三条线段之长均可按同一方法求解）、思维深度不大和功能性不强等不足之处。于是，笔者通过设计层层递进的变式问题链对原题进行改造，激发学生深度学习的探究欲，培养深入思考的良好习惯。
例1 在梯形ABCD中，已知AD∥BC，点E、F分别是腰AB、CD的中点。若AD=6，BC=14，求EF的長。
本题只需直接运用梯形中位线定理中的数量关系即可求出EF的值为10，但题目隐去图形，让学生体验构图的过程，可以加深学生对定理的理解与记忆。
变式1 如图12，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，点G、H分别是腰AB、CD上一点，且AG=14AB，DH=14DC。若AD=6，GH=8，求BC的长。
本题需构造梯形ABCD的中位线EF，并两次逆向运用梯形中位线定理中的数量关系，方可求出BC的值为14。与例1相比，该变式题需“跳一跳才能摘到果实”，增加了学生思维容量。
变式2 在梯形ABCD中，已知AD∥BC，点G、H分别是腰AB、CD上的四等分点，且GH∥AD。若AD=6，GH=8，求BC的长。
该变式题再次隐去图形，增加了分类讨论的情形，强化了学生思维的严谨性。
当然，笔者在这组层层递进的变式中并没有对相关数字做刻意调整，意在避免由数字变化带来的重复计算与操练，减少学生心理负担，以留下更多时间进行思维训练，全面提升学生多角度运用公式处理问题的能力。
4开发时效性阶段性小结，强化思想方法的深度学习
如果说课堂小结是对整节课知识的系统归纳与技能的综合提升，是突出重点与拔高认知水平的有效途径，那么侧重思想方法提炼的阶段性小结则如贯穿课堂的明珠，既有利于及时巩固提升，又有穿针引线和推思助想之妙。如在梯形中位线的概念和定理生成后就可引导学生对研究几何图形基本思路进行梳理（由简单到复杂，由一般到特殊），对类比迁移方法进行提炼;在定理推理证明后则可引导学生对转化思想进行深度挖掘（由梯形到三角形的转化中凸显了由新知到旧知的转化之源），对思维能力进行优化（受阻思维的调控技巧与多法优化之策）;在例1及其变式题教学后又可引导学生对习题变式技巧进行反思，重在思想深度的挖掘。 当然，课堂小结也不能淡化，笔者从“本节课学到什么知识”“掌握了哪些方法”“你的感悟是什么”三个方面引导学生归纳整理。虽然问题比较发散，但注重提升，意在发展，给学生足够的想象与畅言空间。对于学生的回答，笔者及时做好补充与点评，强调探究过程与思想方法，落实数学核心素养。
三、放眼六大核心素养，强化开展深度学习的核心价值
毫无疑问，与常规教学相比，本教学设计基于深度学习的处理方式让教学节奏“慢”了下来。不过，如此一“慢”却让注重核心素养培养的教学目标得到有效落实。一是在中位线概念和定理由三角形到梯形的探究与迁移类比过程中，感悟数学抽象与数学建模的核心理念;二是在多角度的定理证明转化思路生成过程中培养了逻辑推理的核心能力;三是在图形的递进变化与几何画板的动态演示中强化了直观想象能力;四是在多层次的线段长度计算与算理分析推进中优化了数学运算核心素养;五是在依据线段间的数量关系并借“截长补短”之策略中，挖掘解题思路的生成，凸显数据分析之魅力。
众所周知，课堂容量包括知识量、活动量和思维量三部分，其中知识量是根、活动量是茎、思维量是果。从表面上看，本节课虽然只处理了一个定义、一个定理和一道例题，单从知识量来看似乎過于单薄，但正是基于深度学习的教材二次开发却使活动量与思维量大大增强，凸显了对数学教学的本质追求。如对梯形中位线数量关系的处理，教师并没有直接灌输给学生，也没有简单地用尺子量一量或者观察一下就得出结果，而是创设连接平行四边形对边中点，通过观察与另外两边的特殊关系，猜想出梯形中位线等于上底与下底之和的一半，遵循了从特殊到一般的认知规律，强化了活动量与思维量。特别是梯形中位线概念的生成与定理的证明，教师组织学生自主探究，给予充分的想象空间和思考时间，通过类比迁移和多角度的思维挖掘，深化了知识构建的学习过程，完善了学习方式，优化了发展性学力。换言之，数学教学不仅仅是教知识，更重要的是通过知识的建构，训练学生的思维方式，培养学生处理问题的能力，或许这才是数学教学的核心价值之所在。
总之，开展深度学习的主要目的不仅在于引导学生学会学习，还要指导学生提炼地学、反思地学、优化地学和创新地学。教师要在知识生成处、难点突破处、方法形成处和思维生长处精心设计教学内容，放手让学生主动探究，不断反思与内化，全面强化综合性思维和提升发展性学力。
（责任编辑：陆顺演）