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数学是揭示事物中数量与形体的本质关系与联系的科学，数学中的两大研究对象“数”与“形”的矛盾统一是数学发展的内在因素，“数形结合”贯穿于数学发展中的一条主线，使数学在实践中的应用更加广泛和深远。华罗庚先生说过：“数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”，这句话体现了“数”与 “形”两者不可偏废的唯物主义思想。数形结合就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思索，使抽象思维与形象思维结合，通过“以形助数”、“由数构形”、“以数解形”，可使得复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。运用数形结合思想解题，不仅直观易于寻找解题途径，而且能避免繁杂的计算和推理，简化解题过程。数形结合在解题过程中应用十分广泛，巧妙运用数形结合的数学思想方法来解决一些抽象数学问题，可起到事半功倍的效果。九义初中《数学教学大纲》把数学的精髓——数学思想方法纳入了基础知识的范畴，这是加强数学素质教育的一项创举。数学思想方法既是数学的基础知识，是知识的精髓，又是将知识转化为能力的桥梁，用好了就是能力。因此，在新课程背景下让数形结合成为一种数学教学策略已是必然趋势。而作为教师，不仅培养学生数形结合的数学学习习惯，自己也应把数形结合当成一种数学教学习惯。
一、 利用数形结合创设情景，引导学生正确理解概念掌握知识
笛卡尔曾说过 ：“没有任何东西比几何图形更容易印入脑子了”。初中数学各册各章的开头都有章前图，每节课都有节前图，例、习题中叶多辅以图形，而所有这些插图都能体现本章、本例、本习题的主要知识和方法。在教学中，我们应充分利用这些插图，结合实际例子，创设数形结合情景，更好地引入概念，讲解知识。如：七上中，利用温度计的上升与下降，帮助学生理解“有理数中的正、负数”；利用数轴引入“有理数加法法则”；利用天平称帮助学生理解“等式和它的性质”等等，尽量创设数形结合的气氛。
二、在教学中引导学生运用数形结合的方法，巧妙解决数学问题
利用数形结合解题，有着明显的优越性，直观形象，使复杂、抽象的问题成为简单的数学问题。数形结合思想主要的呈现形式为：“以形助数”、“由数构形”、“以数解形”。
1、以形助数：
数学具有高度的抽象性，运用数形结合思想，可以把抽象的“数”转化为直观的“形”，加大解题的透明度。浙教版教材中许多概念、性质、公式都是借助于图形直观表现出来，如有理数借助于数轴，方程和不等式借助于天平称，列方程解应用题借助于示意图，频数分布借助频数分布直方图，这样可以帮助学生理解和掌握抽象的数学知识，起到以形助数的作用。例如，在有理数一章里引入数轴，利用“形”-数轴得到“数”-有理数一系列概念；教学中应借助数轴这个形，加强数形结合思想的培养，这对提高学生分析问题和解决问题的能力是非常重要的。
【案例1】我曾在一堂九年级复习课上，讲评过这样一个题目：
（1）阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为∣AB∣。
（2）回答下列问题：
① 数轴上表示2和5的两点之间的距离是_____，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是_____ ，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是_____；
② 数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是_____ ，如果∣AB∣=2，那么x为_____；
③ 当代数式∣x+1∣+∣x-2∣取最小值时，相应的x的取值范围是_____。
④ 求∣x-1∣+∣x-2∣+∣x-3∣+……+∣x-2005∣的最小值.
分析：本题是一个中考题，如果直接从绝对值定义去解决比较困难，往往会把学生思维搞乱，难得其解，若借助于数轴分析，则可使问题求解清晰、明朗。
解：①3，3，4；② ，1或-3；③-1≤x≤2；
④从数轴上看，求这最小值，即在数轴上找出表示x的点，使它到表示1，2，3，……，2005的点的距离之和最小，如图3所示：当x=1003时，原式的值最小，为：
（2005-1）+（2004-2）+（2003-3）
+……+（1004-1002）+（1003-1003）
=2004+2002+2000+……+4+2=1005006
2、由数构形：
在解较为复杂的代数题时，运用数形结合思想，通过由数构形求解，可以避开繁琐的运算过程，使解法既简捷又易于理解。
【案例2】在竞赛辅导时，曾有过这样一个题目：
已知正数a、b、c和x、y、z满足a+x=b+y=c+z=k，试说明：ay+bz+cx 分析：根据题设的特点构造几何模型：
解法一：取边长为k的正△PQR，分别在各边上取点L，M，N，使QL=x，LR=a， RM=y，MP=b，PN=z，NQ=c，如图4，由图看出：
S△RML+S△PNM+S△QNL 所以： 12aysin60°+ 12bzsin60°+ 12cxsin60°< 12k·ksin60°，
即：ay+bz+cx< k2
解法二：如图5，取边长为k的正方形，由a+x=b+y=c+z=k，把正方形四边分割，这时：S阴影=ay+bz+cx；S正方形= k2 ；
∵S阴影 3、以数解形：
数形结合思想不仅体现在用代数知识来解决几何问题，在初中几何题中，有不少题目需要通过代数知识来求解，这就是数形结合思想中的“以数解形”，运用得当可以达到事半功倍的效果。
【案例3】如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=9，BC=12，AB=a，在线段BC上任取一点P，连结DP，作射线PE⊥DP，PE与直线AB交于点E。
（1）试确定CP=3时，点E的位置；
（2）若设CP=x，BE=y，试写出y与自变量x的关系式；
（3）若在线段BC上能找到不同的两点 ，使按上述作法得到的点E都与点A重合，试求a的取值范围。
分析：随着a值及点P在BC上位置的变化，运动过程中可能出现以下几种状态：
①图7中，易分析得DP⊥BC时，CP=3，此时E与B重合；
②图6、图8、图9中，均易得∠PDH=90°-∠DPH=∠EPB，从而△PDH∽△EPB，进而利用比例线段确定y与x关系式；
③对于图10，若E与A重合且∠EPD=90°，则必有 、 在以AD为直径的圆上，亦即BC与此圆相交，由此可确定a的取值范围，这体现了数形结合中以数解形的优势。
总之，数形结合能开拓学生的思想，发展智能，在平时的教学中，我们作为教师，应该重视新课程标准的要求，在教学设计、教学方法、教学手段等方面对数形结合的思想和实践经验加以应用，使学生逐渐养成数形结合的习惯，才能真正提高学生的发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力。
一、 利用数形结合创设情景，引导学生正确理解概念掌握知识
笛卡尔曾说过 ：“没有任何东西比几何图形更容易印入脑子了”。初中数学各册各章的开头都有章前图，每节课都有节前图，例、习题中叶多辅以图形，而所有这些插图都能体现本章、本例、本习题的主要知识和方法。在教学中，我们应充分利用这些插图，结合实际例子，创设数形结合情景，更好地引入概念，讲解知识。如：七上中，利用温度计的上升与下降，帮助学生理解“有理数中的正、负数”；利用数轴引入“有理数加法法则”；利用天平称帮助学生理解“等式和它的性质”等等，尽量创设数形结合的气氛。
二、在教学中引导学生运用数形结合的方法，巧妙解决数学问题
利用数形结合解题，有着明显的优越性，直观形象，使复杂、抽象的问题成为简单的数学问题。数形结合思想主要的呈现形式为：“以形助数”、“由数构形”、“以数解形”。
1、以形助数：
数学具有高度的抽象性，运用数形结合思想，可以把抽象的“数”转化为直观的“形”，加大解题的透明度。浙教版教材中许多概念、性质、公式都是借助于图形直观表现出来，如有理数借助于数轴，方程和不等式借助于天平称，列方程解应用题借助于示意图，频数分布借助频数分布直方图，这样可以帮助学生理解和掌握抽象的数学知识，起到以形助数的作用。例如，在有理数一章里引入数轴，利用“形”-数轴得到“数”-有理数一系列概念；教学中应借助数轴这个形，加强数形结合思想的培养，这对提高学生分析问题和解决问题的能力是非常重要的。
【案例1】我曾在一堂九年级复习课上，讲评过这样一个题目：
（1）阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为∣AB∣。
（2）回答下列问题：
① 数轴上表示2和5的两点之间的距离是_____，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是_____ ，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是_____；
② 数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是_____ ，如果∣AB∣=2，那么x为_____；
③ 当代数式∣x+1∣+∣x-2∣取最小值时，相应的x的取值范围是_____。
④ 求∣x-1∣+∣x-2∣+∣x-3∣+……+∣x-2005∣的最小值.
分析：本题是一个中考题，如果直接从绝对值定义去解决比较困难，往往会把学生思维搞乱，难得其解，若借助于数轴分析，则可使问题求解清晰、明朗。
解：①3，3，4；② ，1或-3；③-1≤x≤2；
④从数轴上看，求这最小值，即在数轴上找出表示x的点，使它到表示1，2，3，……，2005的点的距离之和最小，如图3所示：当x=1003时，原式的值最小，为：
（2005-1）+（2004-2）+（2003-3）
+……+（1004-1002）+（1003-1003）
=2004+2002+2000+……+4+2=1005006
2、由数构形：
在解较为复杂的代数题时，运用数形结合思想，通过由数构形求解，可以避开繁琐的运算过程，使解法既简捷又易于理解。
【案例2】在竞赛辅导时，曾有过这样一个题目：
已知正数a、b、c和x、y、z满足a+x=b+y=c+z=k，试说明：ay+bz+cx
解法一：取边长为k的正△PQR，分别在各边上取点L，M，N，使QL=x，LR=a， RM=y，MP=b，PN=z，NQ=c，如图4，由图看出：
S△RML+S△PNM+S△QNL
即：ay+bz+cx< k2
解法二：如图5，取边长为k的正方形，由a+x=b+y=c+z=k，把正方形四边分割，这时：S阴影=ay+bz+cx；S正方形= k2 ；
∵S阴影
数形结合思想不仅体现在用代数知识来解决几何问题，在初中几何题中，有不少题目需要通过代数知识来求解，这就是数形结合思想中的“以数解形”，运用得当可以达到事半功倍的效果。
【案例3】如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=9，BC=12，AB=a，在线段BC上任取一点P，连结DP，作射线PE⊥DP，PE与直线AB交于点E。
（1）试确定CP=3时，点E的位置；
（2）若设CP=x，BE=y，试写出y与自变量x的关系式；
（3）若在线段BC上能找到不同的两点 ，使按上述作法得到的点E都与点A重合，试求a的取值范围。
分析：随着a值及点P在BC上位置的变化，运动过程中可能出现以下几种状态：
①图7中，易分析得DP⊥BC时，CP=3，此时E与B重合；
②图6、图8、图9中，均易得∠PDH=90°-∠DPH=∠EPB，从而△PDH∽△EPB，进而利用比例线段确定y与x关系式；
③对于图10，若E与A重合且∠EPD=90°，则必有 、 在以AD为直径的圆上，亦即BC与此圆相交，由此可确定a的取值范围，这体现了数形结合中以数解形的优势。
总之，数形结合能开拓学生的思想，发展智能，在平时的教学中，我们作为教师，应该重视新课程标准的要求，在教学设计、教学方法、教学手段等方面对数形结合的思想和实践经验加以应用，使学生逐渐养成数形结合的习惯，才能真正提高学生的发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力。