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对数函数是重要的基本函数之一,是高考考查函数的载体,是高考考查的重点和热点高考中对对数函数的考查形式稳中求变、求活,考查学生们分析问题和解决问题的能力
下面通过对一对姊妹题的剖析,加深对对数函数的性质的认识,供同学们参考:
1.性质再现
(1)一般地,函数y=logax(a>0且a≠1)叫做对数函数,它的定义域是 0,+00;
(2)对数函数y=logax(a>0且a≠1)的图像和性质如下表:
a>10 图像C12TIC13TI
定义域 0,+00
值域R
性质
过定点 0,1,即x=0时,y=1
在 0,+00上是增函数在 0,+00上是减函数
2.典例剖析
(1)对数函数型定义域是R,求参数a的范围
例已知函数f x=lg\ a2-1x2+ a+1x+1,若函数f x定义域是R,求实数a的取值范围;
分析:由对数函数的性质和图像知,函数f x定义域是R,即真数大于0恒成立
解析:由题意知, a2-1x2+ a+1x+1>0,对于一切实数恒成立
①当a2-1=0时,若a=-1,则 a2-1x2+ a+1x+1=1,此时f x=0,所以函数f x定义域是R;若a=1,此时f x=lg 2x+1,不合题意
②当a2-1≠0时,要使 a2-1x2+ a+1x+1>0,对于一切实数恒成立的,
4只需 a2-1>0Δ= a+12-4 a2-1<0 ,即a<-1或a>53
综上,实数a的取值范围是a≤-1或a>53
点评:函数的定义域是是函数有意义的自变量的取值范围,函数定义域是R,即对一切实数x∈R函数均有意义因此,结合对数函数性质,将原问题转化成 a2-1x2+ a+1x+1>0恒成立的问题,解题时注意对二次项系数的讨论
(2)对数函数型值域是R,求参数a的范围
例 2已知函数f x=lg\ a2-1x2+ a+1x+1,若函数f x值域是R,求实数a的取值范围
分析:本题从形式上与上题非常相似,但本质却是截然不同的由对数函数性质知,对数函数的定义域是 0,+00,值域是R,且在定义域内是单调函数因此,要使f x=lg\ a2-1x2+ a+1x+1的值域是R,则真数应该能取到大于0的所有的数
解析:依题意,函数f x值域是R,只需y= a2-1x2+ a+1x+1能取到 0,+00上的任何值
①当a2-1=0时,若a=1,则f x=lg 2x+1,此时2x+1能取到 0,+00上任何值,所以函数f x值域是R;若a=-1,则 a2-1x2+ a+1x+1=1,此时f x=0,不合题意
②当a2-1≠0时,要使y= a2-1x2+ a+1x+1能取到 0,+00上的任何值,
只需 a2-1>0Δ= a+12-4 a2-1≥0 ,即1 综上,实数a的取值范围是1≤a≤53
点评:本题借助对数函数模型,以对数函数性质为背景,考查含参数一元二次函数的性质注意判别究竟是“Δ<0”还是“Δ≥0”,同时应注意对二次项系数的讨论
(作者:吴定业,江苏省海头高级中学)
下面通过对一对姊妹题的剖析,加深对对数函数的性质的认识,供同学们参考:
1.性质再现
(1)一般地,函数y=logax(a>0且a≠1)叫做对数函数,它的定义域是 0,+00;
(2)对数函数y=logax(a>0且a≠1)的图像和性质如下表:
a>10
定义域 0,+00
值域R
性质
过定点 0,1,即x=0时,y=1
在 0,+00上是增函数在 0,+00上是减函数
2.典例剖析
(1)对数函数型定义域是R,求参数a的范围
例已知函数f x=lg\ a2-1x2+ a+1x+1,若函数f x定义域是R,求实数a的取值范围;
分析:由对数函数的性质和图像知,函数f x定义域是R,即真数大于0恒成立
解析:由题意知, a2-1x2+ a+1x+1>0,对于一切实数恒成立
①当a2-1=0时,若a=-1,则 a2-1x2+ a+1x+1=1,此时f x=0,所以函数f x定义域是R;若a=1,此时f x=lg 2x+1,不合题意
②当a2-1≠0时,要使 a2-1x2+ a+1x+1>0,对于一切实数恒成立的,
4只需 a2-1>0Δ= a+12-4 a2-1<0 ,即a<-1或a>53
综上,实数a的取值范围是a≤-1或a>53
点评:函数的定义域是是函数有意义的自变量的取值范围,函数定义域是R,即对一切实数x∈R函数均有意义因此,结合对数函数性质,将原问题转化成 a2-1x2+ a+1x+1>0恒成立的问题,解题时注意对二次项系数的讨论
(2)对数函数型值域是R,求参数a的范围
例 2已知函数f x=lg\ a2-1x2+ a+1x+1,若函数f x值域是R,求实数a的取值范围
分析:本题从形式上与上题非常相似,但本质却是截然不同的由对数函数性质知,对数函数的定义域是 0,+00,值域是R,且在定义域内是单调函数因此,要使f x=lg\ a2-1x2+ a+1x+1的值域是R,则真数应该能取到大于0的所有的数
解析:依题意,函数f x值域是R,只需y= a2-1x2+ a+1x+1能取到 0,+00上的任何值
①当a2-1=0时,若a=1,则f x=lg 2x+1,此时2x+1能取到 0,+00上任何值,所以函数f x值域是R;若a=-1,则 a2-1x2+ a+1x+1=1,此时f x=0,不合题意
②当a2-1≠0时,要使y= a2-1x2+ a+1x+1能取到 0,+00上的任何值,
只需 a2-1>0Δ= a+12-4 a2-1≥0 ,即1
点评:本题借助对数函数模型,以对数函数性质为背景,考查含参数一元二次函数的性质注意判别究竟是“Δ<0”还是“Δ≥0”,同时应注意对二次项系数的讨论
(作者:吴定业,江苏省海头高级中学)