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1 引言
数学教学在改革与反思中确立了以数学知识为资源和手段来“育”人的教育学立场但目前课堂教学普遍存在“过程”短暂甚至缺失的问题，这不利于学生在“过程”中理解知识、体会和运用数学思想与方法及发展能力和个性．基于教育学立场的数学教学怎样操作？笔者以浙教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》七年级下册“2.4旋转变换”为载体，并采用研究性变革实践的方式进行了探索以表明，探索中形成的教学操作方法对贯彻数学教学的教育学立场有积极的作用．
2 教学过程简录及点评
第1阶段：旨在“资源生成”的“有向开放”——预习基础上的交互反馈
第1步：课前预习——自主探索
课前，教师设计如下的“先行组织者”，供学生课前预习．
１、先观察物体的运动过程，再回答问题．
（１）如图１，这些物体的运动有何共同特点？
（２）它们在转动过程中，其形状、大小、位置是否发生改变？
２、你是怎样发现上述物体运动具有这样的特点？能否用数学的思维方法来加以说明？如果回答这个问题有困难，请你先思考下列问题：
（１）数学地看物体运动应该先把物体看成什么？
（２）图形是由点组成的，图形运动能否看成是图形上点的运动？
（３）考察图形上点运动特征的策略是什么？
３、通过观察物体旋转运动的特征，你对图形旋转运动有何感触？
第2步：汇报交流——交互反馈
上课一开始，教师出示课前布置的问题，并要求学生汇报预习成果．同时教师倾听学生的汇报、交流，必要时，教师进行追问、激励、评析．在此基础上教师进行总结：
（１）几何研究的对象是图形，数学地看物体运动应将物体抽象成图形；图形是由点组成的，图形运动实际上就是图形上点的运动，而考察点运动的特征可从考察特殊点运动的特征着手．
（２）这样我们用抽象方法、一般到特殊思想和一般问题特殊化的认知策略，发现了物体旋转运动的特征：各部分绕定点按同一个方向旋转相同的角度．其实，我们用抽象问题具体化的认知策略，还可以发现物体对应的图形旋转运动也具有这样的特征：图形上所有点绕定点按同一个方向旋转相同的角度．
（３）生活中旋转现象具有广泛的存在性；图形旋转是物体旋转运动的数学抽象；图形旋转能使局部的图形变成整体的图形，能使分散的图形集中起来，能使分散的条件相互沟通．
解析 这个“先行组织者”引导下的导入性学习活动具有典型性和定向指导性．
第２阶段：旨在“提升思维”的“互动生成”——研讨基础上生成数学方法和理论
第３步：引导探究——合作研讨
正因为这样的图形改变（旋转）有丰富的现实情景和广泛的应用价值，就决定了从数学角度研究这样的图形改变的必要性．这节课的研究对象就是这样的图形改变（旋转）．（揭示课题）
接着，教师依次提出以下２个挑战性的问题，要求学生合作研讨并发表自己的观点．
问题１：怎样确定图形改变后的新图形？如图２，O是△ABC外的一点．怎样作△ABC绕定点O按逆时针方向旋转60°后的图形？
学生独立学习，教师巡视指导，约３分钟后进行交流、示范．
问题２：①指出图３改变前后两个图形的对应点、对应边、对应角？②问：改变前后两个图形有哪些不变关系？
学生独立学习，教师巡视指导，约３分钟后进行交流、评析．
第４步：建构理论——综合概括
在此基础上，教师引导学生概括得出旋转变换的概念、确定旋转变换后像的方法、旋转变换的性质、旋转变换蕴涵的思维方法和思想方法及“三种几何变换”的异同．
（１）旋转变换的概念：由一个图形改变为另一个图形，在改变的过程中，原图形上的所有点都绕一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形改变叫做图形的旋转变换，简称旋转．这个固定点叫做旋转中心，旋转的角度叫做旋转角，经变换所得的新图形叫做原图形的像．
（２）确定旋转变换后像的方法：①操作法——图形整体旋转．这种方法的优点是：直观；缺点是：操作不方便．②作图法——图形旋转化归为点旋转．这种方法的优点是：操作方便；缺点是：抽象．
（３）旋转变换的性质：旋转变换不改变图形的形状和大小——旋转前后的两个图形的对应边相等、对应角相等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度．
（４）旋转变换蕴涵的思维方法：一般到特殊和特殊到一般；旋转变换蕴涵的思想方法：通过图形旋转运动将局部的图形变成整体的图形，将分散的图形集中起来，将分散的条件相互沟通．
（５）“三种几何变换”的异同：轴对称变换、平移变换、旋转变换的相同点：①它们都是过程性概念，描述的是图形运动；②它们变换前后的两个图形的形狀、大小都不变；③它们蕴涵的思维方法和思想方法都相同．轴对称变换、平移变换、旋转变换的不同点：①它们图形运动的特点不同——轴对称变换的运动特点是翻折，平移变换的运动特点是定向移动，旋转变换的运动特点是绕定点旋转；②它们运动前后两个图形的方向不同——轴对称变换改变图形方向，平移变换不改变图形方向，旋转变换改变图形方向；③它们改变前后两个图形的部分不变关系不同、应用范围不同等．
解析 这个挑战性问题引导下的探究性学习活动关注了四性：必要性、目的性、可操作性、有效性，有机联系和对两种确定像的方法进行辨证分析．
第３阶段：旨在“发展技能”的“尝试运用”——解答基础上的反思拓展
第５步：尝试运用——解答问题
教师在综合概括的基础上，依次提出下列4个有代表性问题，要求学生独立学习基础上交流合作．
问题１（辨别）：如图４，正确表示将正方形X绕点O按顺时针方向旋转60°的是哪一个？为什么？
学生选择与分析，必要时，教师进行追问、评析．
问题２（概念识别）：①如图５，经过怎样的旋转变换，可由射线OP得到射线OQ？②图６是一双手的图片．能否经过一定的旋转变换，使左手的图形与右手的图形重合？经过轴对称变换呢？从中可以得到什么结论？ 学生口述，必要时，教师进行追问、评析．
问题３（方法演示）：如图７，以点O为旋转中心，将线段AB按顺时针方向旋转60°，作出经过旋转变换后所得的像．请你提供尽可能多的方法，并求出像与线段AB所成的锐角度数．
学生作图操作，教师巡视指导，约２分钟后进行交流、评析．
问题4（问题解决）：图８是一个直角三角形的苗圃，由正方形花坛和两块直角三角形的草皮组成，如果两个直角三角形的两条斜边长分别为3米和6米，你能求出草皮的面积是多少吗？
学生独立学习（允许合作研讨），教师巡视指导，约２分钟后进
行交流、评析．
第６步：做后思考——反思拓展
教师在学生用数学方法和理论解答有代表性问题的基础上，依次提出以下2个反思性问题，要求学生合作研讨并发表自己的观点．
问题１：上述问题３，作图的策略是什么？用的是什么方法？具体使用了哪些技巧？一般地，旋转变换前后两个图形对应边所在直线的夹角与旋转角有何关系？
问题２：上述问题４，解题的策略是什么？用的是什么方法？具体使用了哪些技巧？一般地，用旋转变换的思想方法解题的条件是什么？
教师在学生充分发表意见的基础上给出问题的答案：
（１）上述问题３作图的策略是用图形旋转的特征，用的是用作图工具作图的方法，使用的技巧是：①先将点A、B绕定点O按顺时针方向旋转60°得A′、B′，再连结A′、B′；②先过点O作线段AB所在直线的垂线，设垂足为N，然后将点N绕定点O按顺时针方向旋转60°得N′，再过点N′作O N′的垂线，并在垂线上取N′A′=NA,N′B′=NB．一般地，旋转变换前后两个图形对应边所在直线的夹角等于旋转角或等于周角减去旋转角．
（２）上述问题４解题的策略是用图形旋转的思想，用的方法是将△BEC绕点B按逆时针方向旋转90°，使用的技巧是：先将△BEC绕点B按逆时针方向旋转90°，使分散的两个三角形变成一个大的直角三角形，再用三角形面积公式求此三角形的面积．
解析 这个有代表性问题引导下的应用性学习活动，能加深学生对旋转变换的认识，能丰富学生数学活动的经验—般到特殊：图形旋转可以转化为点旋转；特殊到一般：点旋转可以转化为图形旋转；局部到整体：分散的图形通过旋转变换可以集中起来．
第４阶段：旨在“拓展生成”的“开放延伸”——学习后的回顾与反思
第７步：内容回顾——交流合作
教师在解题后反思的基础上，列下“问题清单”，鼓励学生围绕问题进行交流合作．
（１）学习旋转变换有何意义？旋转变換有何特征？旋转变换有何特性？
（２）描述旋转变换有几种方法？确定旋转变换后所得的像有几种方法？
（３）旋转变换与轴对称变换、平移变换的相同点是什么？不同点是什么？
（４）你在学习过程中，感受到了哪些思维方法？获得了哪些数学活动的经验？
（５）你在学习过程中，感受到了哪些思想方法？碰到了哪些困难？有何感触？
第８步：课堂总结——课后欣赏
教师在倾听学生交互反馈后，让学生欣赏旋转变换的自述：
Hi！我是旋转变换．我运动的特点是图形上所有点绕定点按同一个方向转动同一个角度．我有许多性质：变换不改变图形的形状和大小——旋转前后的两个图形的对应边相等、对应角相等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度；变换前后两个图形对应边所在直线的夹角等于旋转角或等于周角减去旋转角．我能将局部的图形变成整体的图形，将分散的图形集中起来，将分散的条件相互沟通．
解析 这个“问题清单”引导下的总结性学习活动，能驱动学生回顾与思考，能起到跨越性的作用
3 随感随想
“平面几何理论是在对物质世界进行了抽象的基础上借助一些概念、公理和法则经演绎推理而来的．本节课，遵循了几何发展规律——物体旋转运动→图形旋转运动→研究旋转前后两个图形的不变关系及其反映的思想方法→用旋转思想方法解决具体问题；对教学的价值定位比较准确——认识旋转变换的特征与特性，在“过程”中体会思维方法和思想方法以及发展能力和个性；教学过程体现了和谐教学理念——旨在“资源生成”的“有向开放”→旨在“提升思维”的“互动生成”→旨在“发展技能”的尝试运用→旨在“拓展生成”的“开放延伸”；教学方式能满足学生经历“过程”的需要——课内外结合和价值引导与自主建构相结合；教学方法能促进学生有效思维——思维跨度大时的问题暗示、困惑或认识模糊时的点拨、思维受阻时的“元认知提示语”发问、思维混乱时的辨析、思维偏离方向时的干预、观念碰撞时的评价、方法多样化时的价值分析、回答不完善时的追问、回答有创意时的激励等；行为过程能满足学生理解与练习的和谐——经历“四练”，并且课内“过程”与“结果”的时间分配比较和谐——将支点放在靠近“过程”的三分点上．
参考文献
［1］ 中华人民共和国教育部．全日制义务教育《数学课程标准》（实验稿）［S］．北京：北京师范大学出版社，2001．
［2］范良火．义务教育课程标准实验教科书《数学》七年级（下）［M］．杭州：浙江教育出版社，2004．
数学教学在改革与反思中确立了以数学知识为资源和手段来“育”人的教育学立场但目前课堂教学普遍存在“过程”短暂甚至缺失的问题，这不利于学生在“过程”中理解知识、体会和运用数学思想与方法及发展能力和个性．基于教育学立场的数学教学怎样操作？笔者以浙教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》七年级下册“2.4旋转变换”为载体，并采用研究性变革实践的方式进行了探索以表明，探索中形成的教学操作方法对贯彻数学教学的教育学立场有积极的作用．
2 教学过程简录及点评
第1阶段：旨在“资源生成”的“有向开放”——预习基础上的交互反馈
第1步：课前预习——自主探索
课前，教师设计如下的“先行组织者”，供学生课前预习．
１、先观察物体的运动过程，再回答问题．
（１）如图１，这些物体的运动有何共同特点？
（２）它们在转动过程中，其形状、大小、位置是否发生改变？
２、你是怎样发现上述物体运动具有这样的特点？能否用数学的思维方法来加以说明？如果回答这个问题有困难，请你先思考下列问题：
（１）数学地看物体运动应该先把物体看成什么？
（２）图形是由点组成的，图形运动能否看成是图形上点的运动？
（３）考察图形上点运动特征的策略是什么？
３、通过观察物体旋转运动的特征，你对图形旋转运动有何感触？
第2步：汇报交流——交互反馈
上课一开始，教师出示课前布置的问题，并要求学生汇报预习成果．同时教师倾听学生的汇报、交流，必要时，教师进行追问、激励、评析．在此基础上教师进行总结：
（１）几何研究的对象是图形，数学地看物体运动应将物体抽象成图形；图形是由点组成的，图形运动实际上就是图形上点的运动，而考察点运动的特征可从考察特殊点运动的特征着手．
（２）这样我们用抽象方法、一般到特殊思想和一般问题特殊化的认知策略，发现了物体旋转运动的特征：各部分绕定点按同一个方向旋转相同的角度．其实，我们用抽象问题具体化的认知策略，还可以发现物体对应的图形旋转运动也具有这样的特征：图形上所有点绕定点按同一个方向旋转相同的角度．
（３）生活中旋转现象具有广泛的存在性；图形旋转是物体旋转运动的数学抽象；图形旋转能使局部的图形变成整体的图形，能使分散的图形集中起来，能使分散的条件相互沟通．
解析 这个“先行组织者”引导下的导入性学习活动具有典型性和定向指导性．
第２阶段：旨在“提升思维”的“互动生成”——研讨基础上生成数学方法和理论
第３步：引导探究——合作研讨
正因为这样的图形改变（旋转）有丰富的现实情景和广泛的应用价值，就决定了从数学角度研究这样的图形改变的必要性．这节课的研究对象就是这样的图形改变（旋转）．（揭示课题）
接着，教师依次提出以下２个挑战性的问题，要求学生合作研讨并发表自己的观点．
问题１：怎样确定图形改变后的新图形？如图２，O是△ABC外的一点．怎样作△ABC绕定点O按逆时针方向旋转60°后的图形？
学生独立学习，教师巡视指导，约３分钟后进行交流、示范．
问题２：①指出图３改变前后两个图形的对应点、对应边、对应角？②问：改变前后两个图形有哪些不变关系？
学生独立学习，教师巡视指导，约３分钟后进行交流、评析．
第４步：建构理论——综合概括
在此基础上，教师引导学生概括得出旋转变换的概念、确定旋转变换后像的方法、旋转变换的性质、旋转变换蕴涵的思维方法和思想方法及“三种几何变换”的异同．
（１）旋转变换的概念：由一个图形改变为另一个图形，在改变的过程中，原图形上的所有点都绕一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形改变叫做图形的旋转变换，简称旋转．这个固定点叫做旋转中心，旋转的角度叫做旋转角，经变换所得的新图形叫做原图形的像．
（２）确定旋转变换后像的方法：①操作法——图形整体旋转．这种方法的优点是：直观；缺点是：操作不方便．②作图法——图形旋转化归为点旋转．这种方法的优点是：操作方便；缺点是：抽象．
（３）旋转变换的性质：旋转变换不改变图形的形状和大小——旋转前后的两个图形的对应边相等、对应角相等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度．
（４）旋转变换蕴涵的思维方法：一般到特殊和特殊到一般；旋转变换蕴涵的思想方法：通过图形旋转运动将局部的图形变成整体的图形，将分散的图形集中起来，将分散的条件相互沟通．
（５）“三种几何变换”的异同：轴对称变换、平移变换、旋转变换的相同点：①它们都是过程性概念，描述的是图形运动；②它们变换前后的两个图形的形狀、大小都不变；③它们蕴涵的思维方法和思想方法都相同．轴对称变换、平移变换、旋转变换的不同点：①它们图形运动的特点不同——轴对称变换的运动特点是翻折，平移变换的运动特点是定向移动，旋转变换的运动特点是绕定点旋转；②它们运动前后两个图形的方向不同——轴对称变换改变图形方向，平移变换不改变图形方向，旋转变换改变图形方向；③它们改变前后两个图形的部分不变关系不同、应用范围不同等．
解析 这个挑战性问题引导下的探究性学习活动关注了四性：必要性、目的性、可操作性、有效性，有机联系和对两种确定像的方法进行辨证分析．
第３阶段：旨在“发展技能”的“尝试运用”——解答基础上的反思拓展
第５步：尝试运用——解答问题
教师在综合概括的基础上，依次提出下列4个有代表性问题，要求学生独立学习基础上交流合作．
问题１（辨别）：如图４，正确表示将正方形X绕点O按顺时针方向旋转60°的是哪一个？为什么？
学生选择与分析，必要时，教师进行追问、评析．
问题２（概念识别）：①如图５，经过怎样的旋转变换，可由射线OP得到射线OQ？②图６是一双手的图片．能否经过一定的旋转变换，使左手的图形与右手的图形重合？经过轴对称变换呢？从中可以得到什么结论？ 学生口述，必要时，教师进行追问、评析．
问题３（方法演示）：如图７，以点O为旋转中心，将线段AB按顺时针方向旋转60°，作出经过旋转变换后所得的像．请你提供尽可能多的方法，并求出像与线段AB所成的锐角度数．
学生作图操作，教师巡视指导，约２分钟后进行交流、评析．
问题4（问题解决）：图８是一个直角三角形的苗圃，由正方形花坛和两块直角三角形的草皮组成，如果两个直角三角形的两条斜边长分别为3米和6米，你能求出草皮的面积是多少吗？
学生独立学习（允许合作研讨），教师巡视指导，约２分钟后进
行交流、评析．
第６步：做后思考——反思拓展
教师在学生用数学方法和理论解答有代表性问题的基础上，依次提出以下2个反思性问题，要求学生合作研讨并发表自己的观点．
问题１：上述问题３，作图的策略是什么？用的是什么方法？具体使用了哪些技巧？一般地，旋转变换前后两个图形对应边所在直线的夹角与旋转角有何关系？
问题２：上述问题４，解题的策略是什么？用的是什么方法？具体使用了哪些技巧？一般地，用旋转变换的思想方法解题的条件是什么？
教师在学生充分发表意见的基础上给出问题的答案：
（１）上述问题３作图的策略是用图形旋转的特征，用的是用作图工具作图的方法，使用的技巧是：①先将点A、B绕定点O按顺时针方向旋转60°得A′、B′，再连结A′、B′；②先过点O作线段AB所在直线的垂线，设垂足为N，然后将点N绕定点O按顺时针方向旋转60°得N′，再过点N′作O N′的垂线，并在垂线上取N′A′=NA,N′B′=NB．一般地，旋转变换前后两个图形对应边所在直线的夹角等于旋转角或等于周角减去旋转角．
（２）上述问题４解题的策略是用图形旋转的思想，用的方法是将△BEC绕点B按逆时针方向旋转90°，使用的技巧是：先将△BEC绕点B按逆时针方向旋转90°，使分散的两个三角形变成一个大的直角三角形，再用三角形面积公式求此三角形的面积．
解析 这个有代表性问题引导下的应用性学习活动，能加深学生对旋转变换的认识，能丰富学生数学活动的经验—般到特殊：图形旋转可以转化为点旋转；特殊到一般：点旋转可以转化为图形旋转；局部到整体：分散的图形通过旋转变换可以集中起来．
第４阶段：旨在“拓展生成”的“开放延伸”——学习后的回顾与反思
第７步：内容回顾——交流合作
教师在解题后反思的基础上，列下“问题清单”，鼓励学生围绕问题进行交流合作．
（１）学习旋转变换有何意义？旋转变換有何特征？旋转变换有何特性？
（２）描述旋转变换有几种方法？确定旋转变换后所得的像有几种方法？
（３）旋转变换与轴对称变换、平移变换的相同点是什么？不同点是什么？
（４）你在学习过程中，感受到了哪些思维方法？获得了哪些数学活动的经验？
（５）你在学习过程中，感受到了哪些思想方法？碰到了哪些困难？有何感触？
第８步：课堂总结——课后欣赏
教师在倾听学生交互反馈后，让学生欣赏旋转变换的自述：
Hi！我是旋转变换．我运动的特点是图形上所有点绕定点按同一个方向转动同一个角度．我有许多性质：变换不改变图形的形状和大小——旋转前后的两个图形的对应边相等、对应角相等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度；变换前后两个图形对应边所在直线的夹角等于旋转角或等于周角减去旋转角．我能将局部的图形变成整体的图形，将分散的图形集中起来，将分散的条件相互沟通．
解析 这个“问题清单”引导下的总结性学习活动，能驱动学生回顾与思考，能起到跨越性的作用
3 随感随想
“平面几何理论是在对物质世界进行了抽象的基础上借助一些概念、公理和法则经演绎推理而来的．本节课，遵循了几何发展规律——物体旋转运动→图形旋转运动→研究旋转前后两个图形的不变关系及其反映的思想方法→用旋转思想方法解决具体问题；对教学的价值定位比较准确——认识旋转变换的特征与特性，在“过程”中体会思维方法和思想方法以及发展能力和个性；教学过程体现了和谐教学理念——旨在“资源生成”的“有向开放”→旨在“提升思维”的“互动生成”→旨在“发展技能”的尝试运用→旨在“拓展生成”的“开放延伸”；教学方式能满足学生经历“过程”的需要——课内外结合和价值引导与自主建构相结合；教学方法能促进学生有效思维——思维跨度大时的问题暗示、困惑或认识模糊时的点拨、思维受阻时的“元认知提示语”发问、思维混乱时的辨析、思维偏离方向时的干预、观念碰撞时的评价、方法多样化时的价值分析、回答不完善时的追问、回答有创意时的激励等；行为过程能满足学生理解与练习的和谐——经历“四练”，并且课内“过程”与“结果”的时间分配比较和谐——将支点放在靠近“过程”的三分点上．
参考文献
［1］ 中华人民共和国教育部．全日制义务教育《数学课程标准》（实验稿）［S］．北京：北京师范大学出版社，2001．
［2］范良火．义务教育课程标准实验教科书《数学》七年级（下）［M］．杭州：浙江教育出版社，2004．