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二次函数是初中学习的重点与难点，也是高中进一步学习的重要基础。以二次函数为背景命制压轴题，突出了利用函数思想进行科学探究的“过程”考查，强调了代数与几何的有机联系，几何中考查函数，函数中考查几何，使函数与几何融为一体。试题既关注了知识间的纵向联系（在知识块层面和知识链层面上合理设计），又关注了知识间的横向联系（加强核心观念和数学思想方法的考查），在考查学生思维的灵活性、广阔性方面具有较高的效度，因此受命题者青睐。
中考压轴题希望遏制“题海战术”，注重试题公平性与原创性，注重试题的过程立意与能力立意。福建省莆田市2011年中考数学试卷第24题，是经过命题者精心编制的以二次函数为背景的压轴题，具有典型性、示范性、拓展性、研究性并有多种不同的解法。只有教师认真钻研，学会拓展延伸、类比迁移，才能让自己从一个单纯的执行者转变为开发者，从而能够更好地训练学生思维的创造性，教学也必将更加有效。现分析如下；
一、试题展示
已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=2，且与轴交于点A、B两点，与轴交于点C，其中A（1，0），C（0，-3）
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P在抛物线上运动（点P异于点A）
①如图1，当△PBC的面积和△ABC面积相等时，求点P的坐标；
②如图2，当∠PCB=∠BCA时，求直线CP的解析式（图略）
二、试题功能分析
本题作为试卷的压轴题之一，试题以二次函数为载体，条件简洁、内涵丰富；在代数与几何的核心知识交汇，融几何性质与代数运算为一体。试题通过面积相等与角度相等两个条件，通过点的运动带来的面积变化以及图形变化，考查的知识代数中有函数的解析式、图象与性质等，几何中有相似、全等、面积等内容。突出了对待定系数法、配方法、数形结合、归纳概括、化归转化、分类讨论、函数与方程、演绎推理、函数建模等主要数学思想方法的考查。试题重视方法，思维的考查，重视一题多解、重视用运动的观点来分析问题，解决问题的能力考查。试题呈现科学性、思想性和导向性。本题结论开放、方法开放、思路开放，因而能有效地反映高层次思维，能给予优秀学生充分施展才能的空间。同时该试题的考核也与过程性的目标相一致，体现出一定的数学思考和解决问题能力方面的要求，因而能更好地培养学生的独立思考能力和探索精神，培养学生的创造意识与创新能力。
三、试题解法荟萃（例试解法略）
四、试题解答情况
1、得分情况
本题难度0.16、区分度0.38，各个分数段分布如下： （图略）因统计含缺考等所以零分的人较多，若不考虑零分，显然试题能让不同水平的学生充分展示自己不同的探究深度， 较好地考查了学生运用数学思想方法探索规律、获取新知以及运用知识解决问题的能力。试题在注意控制难度的同时，又有恰当的区分度，不仅有利于高一级学校选拔合格的新生，而且对初中数学教学和减轻学生的课业负担有良好的导向作用。
2、典型错误：
（1）设y=a（x-2）2-3错把a（x-h）2+k与函数上点（10，3）等同起来
（2） ①学生直接利用面积相等，计算量很大，不能正确运算或只求出 P1 （2，1） ，漏掉P2、P3。对同底等高的三角形面积相等性质不清，在方法上还不够灵活，思维不够全面。
②中学生直接解答由∠PCB=∠BCA △ABC≌△PBC，然后得出点P的坐标。
连接PB认为PB与AD分别为△ABC和△PBC的高，因为S△ABC=S△PBC所以AD=PB，忽视了PB是否是 △PBC的高，即PB是否一定垂直于CB。主要原因：学生对知识理解存在错误认识，思维存在偏差。评卷中发现学生大都只想求出点P的坐标，未能把握知识和方法的迁移与应用、等价与转化，从而没有思路或思维单一，无法入手。
五、试题教学启示
研究以二次函数为背景的解答题，可以发现试题的设计大都由简单到复杂的两到三个问题组成，由浅入深，逐层递进，涵盖了图形与坐标、图形与变换、函数图像与性质等核心知识，突出了对待定系数法、配方法、数形结合、归纳概括、转化化归、分类讨论、函数与方程、演绎推理、函数建模等主要数学思想方法的考查。试题一般不会以纯函数的形式出现，而是结合几何图形或点的运动，使几何图形发生变化，从而让函数与几何有机结合起来。试题所运用的知识类型主要有两种。一是以建立函数模型为主的代数综合性问题、二是代数与几何有机结合的综合性问题。其中运动型问题居多，常见的有：（1）设置动点。通过点的运动对图形产生的影响，探求有关图形形状问题、最值问题、存在性问题等。（2）设置图形的平移、翻折与旋转。在图形的运动变化过程中，寻找规律，用函数研究变化的图形中的数量关系。
二次函数是中考的重点与热点，复习二次函数应掌握二次函数的基本概念、图像与性质的相互联系和相互转化，掌握二次函数与方程、不等式等知识的交汇与综合。注重教材的内涵、注重过程和联系、注重构建二次函数有关的知识网络。利用数形结合法，抓住图象特征掌握二次函数的性质是解决问题的主要方法。复习中应强化数形结合意识，掌握函数的基本技能和方法，注意观察、归纳、分析、比较，总结基本的方法、规律。其中常见的有：利用函数图像比较函数值的大小；利用函数图像求方程的近似解；利用函数图像求实际问题中的最大值与最小值等。要求学生会观察图像，利用数形结合的思想解决一些实际问题。
在复习的过程中可以通过挑选一些具有代表性的例题，反复让学生进行练习，让学生在练习中总结解题的规律。选题的基本思路有两个，一是以二次函数的知识点和考点为主线，着眼于基础知识和基本方法，围绕“三基”和提高解题技能进行策划选题。二是以数学思想方法为主线，把知识与方法有机的结合起来，促进能力的形成。函数的最值问题、函数的图象与性质的应用、利用函数解决实际问题等更多地渗透着数学思想方法，如配方法、数形结合法、方程函数思想、迁移化归思想等，这些思想方法的掌握与否体现考生处理各类数学问题的能力层次。因此以掌握基础知识、基本技能为前提；以思想方法为主线选题训练，可以达到巩固双基，举一反三、培养能力的目的。在精心选材的基础上，课堂教学还应抓好知识方法的落实，有针对性、有重点的进行训练，评讲，让学生有足够的时间思考、训练，提高复习效率、效果。
中考压轴题希望遏制“题海战术”，注重试题公平性与原创性，注重试题的过程立意与能力立意。福建省莆田市2011年中考数学试卷第24题，是经过命题者精心编制的以二次函数为背景的压轴题，具有典型性、示范性、拓展性、研究性并有多种不同的解法。只有教师认真钻研，学会拓展延伸、类比迁移，才能让自己从一个单纯的执行者转变为开发者，从而能够更好地训练学生思维的创造性，教学也必将更加有效。现分析如下；
一、试题展示
已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=2，且与轴交于点A、B两点，与轴交于点C，其中A（1，0），C（0，-3）
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P在抛物线上运动（点P异于点A）
①如图1，当△PBC的面积和△ABC面积相等时，求点P的坐标；
②如图2，当∠PCB=∠BCA时，求直线CP的解析式（图略）
二、试题功能分析
本题作为试卷的压轴题之一，试题以二次函数为载体，条件简洁、内涵丰富；在代数与几何的核心知识交汇，融几何性质与代数运算为一体。试题通过面积相等与角度相等两个条件，通过点的运动带来的面积变化以及图形变化，考查的知识代数中有函数的解析式、图象与性质等，几何中有相似、全等、面积等内容。突出了对待定系数法、配方法、数形结合、归纳概括、化归转化、分类讨论、函数与方程、演绎推理、函数建模等主要数学思想方法的考查。试题重视方法，思维的考查，重视一题多解、重视用运动的观点来分析问题，解决问题的能力考查。试题呈现科学性、思想性和导向性。本题结论开放、方法开放、思路开放，因而能有效地反映高层次思维，能给予优秀学生充分施展才能的空间。同时该试题的考核也与过程性的目标相一致，体现出一定的数学思考和解决问题能力方面的要求，因而能更好地培养学生的独立思考能力和探索精神，培养学生的创造意识与创新能力。
三、试题解法荟萃（例试解法略）
四、试题解答情况
1、得分情况
本题难度0.16、区分度0.38，各个分数段分布如下： （图略）因统计含缺考等所以零分的人较多，若不考虑零分，显然试题能让不同水平的学生充分展示自己不同的探究深度， 较好地考查了学生运用数学思想方法探索规律、获取新知以及运用知识解决问题的能力。试题在注意控制难度的同时，又有恰当的区分度，不仅有利于高一级学校选拔合格的新生，而且对初中数学教学和减轻学生的课业负担有良好的导向作用。
2、典型错误：
（1）设y=a（x-2）2-3错把a（x-h）2+k与函数上点（10，3）等同起来
（2） ①学生直接利用面积相等，计算量很大，不能正确运算或只求出 P1 （2，1） ，漏掉P2、P3。对同底等高的三角形面积相等性质不清，在方法上还不够灵活，思维不够全面。
②中学生直接解答由∠PCB=∠BCA △ABC≌△PBC，然后得出点P的坐标。
连接PB认为PB与AD分别为△ABC和△PBC的高，因为S△ABC=S△PBC所以AD=PB，忽视了PB是否是 △PBC的高，即PB是否一定垂直于CB。主要原因：学生对知识理解存在错误认识，思维存在偏差。评卷中发现学生大都只想求出点P的坐标，未能把握知识和方法的迁移与应用、等价与转化，从而没有思路或思维单一，无法入手。
五、试题教学启示
研究以二次函数为背景的解答题，可以发现试题的设计大都由简单到复杂的两到三个问题组成，由浅入深，逐层递进，涵盖了图形与坐标、图形与变换、函数图像与性质等核心知识，突出了对待定系数法、配方法、数形结合、归纳概括、转化化归、分类讨论、函数与方程、演绎推理、函数建模等主要数学思想方法的考查。试题一般不会以纯函数的形式出现，而是结合几何图形或点的运动，使几何图形发生变化，从而让函数与几何有机结合起来。试题所运用的知识类型主要有两种。一是以建立函数模型为主的代数综合性问题、二是代数与几何有机结合的综合性问题。其中运动型问题居多，常见的有：（1）设置动点。通过点的运动对图形产生的影响，探求有关图形形状问题、最值问题、存在性问题等。（2）设置图形的平移、翻折与旋转。在图形的运动变化过程中，寻找规律，用函数研究变化的图形中的数量关系。
二次函数是中考的重点与热点，复习二次函数应掌握二次函数的基本概念、图像与性质的相互联系和相互转化，掌握二次函数与方程、不等式等知识的交汇与综合。注重教材的内涵、注重过程和联系、注重构建二次函数有关的知识网络。利用数形结合法，抓住图象特征掌握二次函数的性质是解决问题的主要方法。复习中应强化数形结合意识，掌握函数的基本技能和方法，注意观察、归纳、分析、比较，总结基本的方法、规律。其中常见的有：利用函数图像比较函数值的大小；利用函数图像求方程的近似解；利用函数图像求实际问题中的最大值与最小值等。要求学生会观察图像，利用数形结合的思想解决一些实际问题。
在复习的过程中可以通过挑选一些具有代表性的例题，反复让学生进行练习，让学生在练习中总结解题的规律。选题的基本思路有两个，一是以二次函数的知识点和考点为主线，着眼于基础知识和基本方法，围绕“三基”和提高解题技能进行策划选题。二是以数学思想方法为主线，把知识与方法有机的结合起来，促进能力的形成。函数的最值问题、函数的图象与性质的应用、利用函数解决实际问题等更多地渗透着数学思想方法，如配方法、数形结合法、方程函数思想、迁移化归思想等，这些思想方法的掌握与否体现考生处理各类数学问题的能力层次。因此以掌握基础知识、基本技能为前提；以思想方法为主线选题训练，可以达到巩固双基，举一反三、培养能力的目的。在精心选材的基础上，课堂教学还应抓好知识方法的落实，有针对性、有重点的进行训练，评讲，让学生有足够的时间思考、训练，提高复习效率、效果。