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【摘 要】数形结合是众多数学解题方法中的一种，可以使数学问题更加直观、形象地展示在学生面前，有助于学生理解、分析和解决问题，是初中数学教学中一种重要的解题思想。本文就数形结合思想在初中数学中的应用进行详细探究。
【关键词】初中数学;数形结合;应用
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】1671-8437（2021）10-0166-04
在初中教学中，数学是一个比较重要的学科，且学生学习起来比较难。相比小学数学知识，初中数学知识更难，且知识量更大。数学知识具有显著的特征，即片面、抽象等，大部分学生不是很容易学会。数学这门学科主要研究两个方面，即数量关系与空间形态，任何理论性的数学知识都是从数与形这两个角度展开的。在分析与解决数学问题的时候，也可以从数与形这两个角度开始，将问题转化。下面针对初中数学中数形结合思想的应用进行阐述。
1 初中数学教学中应用数形结合思想的优势
1.1 帮助学生形成完整的数学概念
数学概念是对数学知识的高度概括，比较抽象，一些学生看到数学概念觉得很枯燥，没有兴趣学习。為了使学生更好地把握数学概念的来龙去脉，教师可以把数与形结合起来使用[1]。以教学“数轴”为例，教师在讲解的时候，可以充分利用各种工具，如温度计上的各种刻度、收音机调台上的标尺以及弹簧测力器上的标尺等，这样学生学习起来比较直观、形象。
1.2 优化学生的数学认知结构
数形结合思想在数学教学中具有重要的作用，它能够把几何知识与代数知识相联系，使学生更好地认识数学知识结构，极大提高学习效率。数形结合思想的使用也能促进学生顺利解决问题。数学问题往往抽象且复杂，使用数形结合这个思想，解决数学问题将会变得直观、简单。现如今，该方式在初中数学教学中逐渐普及，为了进一步提高学生的学习兴趣，教师在展示问题的时候应充分使用图形，使问题变得直观，使学生集中精力进行学习。利用这种方式不但能够使乏味的数学理论知识变得富有趣味性，调动学生的学习积极性，同时能极为有效地锻炼学生的空间思维能力，使学生的分析能力不断提升。所以该方法在初中数学教学中具有显著作用。不仅如此，数形结合还能为函数相关问题的求解提供便利，包括求解数学方程式、函数不等式，教师可利用非常直观的图形为学生解决函数问题提供帮助[2]。
2 初中数学教学中运用数形结合思想的教学策略
2.1 培育数形结合相关思想
对学生而言，学习数学知识时需要积极主动地进行探索。为了达到此目标，学生需要发挥自己的主观能动性，除了听教师讲解外，还要自己进一步挖掘知识。数学这门课程的各种定理均基于前人的不断总结与归纳获得。要想把定理的形成过程呈现出来，教师可以使用数形结合这个思想，也就是凭借数和形这两种方式来实现。这样一来，该定理与其他知识之间的联系性能够被学生更加清晰把握，同时学生能够领悟其中的数学思想。以上海版教材中两个公式的推导为例，即
（a+b）（a?b）=a2?b2与（a±b）2=a2±2ab+b2，从教材的设计来看，其推导依次从两个方面进行，其一，从数的形式开始推导，以多项式的乘法法则为依据;其二，从形的形式开始推导，以等积变化为依据。之所以这样设计是为了让学生真正领会使用何种思想探究公式。
作为教师，在讲授的时候不要一味地告诉学生习题的答案，为使学生真正把握同类题型的解题方法，教师需要告诉学生解此类题型的数学思想方法。教师在引导学生解题时需要注意学生的思路，即引导学生分析题中给出的条件，思考如何从数变为形或从形变为数，达到解题的目的。在解题过程中，使用数形结合这个思想，能够更加有效地发挥出数的两性，即严谨性、逻辑性等。为了提高学生的解题速度，教师需指导学生选择适宜的方法。从教材设计的数学习题来看，任何一章节的习题均有相似的解题方法，而一些学生会在解题时出现同样的错误。之所以出现这种情况是因为学生没有真正理解、掌握解答该类型问题的思想方法。以“一元一次不等式”为例，已知 y1=k1x+a ，y2=k2x+b ，求解 y1>y2 ，该类题型都是通过确定图象交点坐标求解，只要理解函数图象交点坐标会影响不等式的解集，再次遇到相同的习题便会如鱼得水[3]。
2.2 掌握数形结合解题技巧
作为教师，为了让学生更深刻地理解本章节知识的内在联系，需要抓住章末复习这个环节，且把数形结合这种思想方法运用在这个环节。在教学设计这个环节，教师要对数形结合这种思想方法及时归纳与概括，同时积极采取措施调动学生的学习积极性。在引导学生进行章末复习时，教师除了要把知识连成串，还要讲明白重点习题与解决方法，不遗漏任何一个知识点。进行新授课和复习课时需要采取相应的方法，把数形结合思想方法渗透其中，同时用精炼的语言表达清楚。
反思在整个教学环节有着举足轻重的地位。课后反思要求教师在每次上完课时，对本堂课的知识讲解做反思总结，根据学生的课堂知识掌握情况和时间把控情况，不断修改自己的教学计划。在数形结合思想方法的应用中，因为涉及以数助形和以形析数两种转化形式，所以选择正确的转化方式尤为重要[4]。如在讲述“圆与直线的位置”关系时，笔者在第一个班级的教学中没有采用课件，而用圆规画图，这既浪费了时间，又出现了图形画得不精确的问题，最终没有在课堂的有限时间内完成教学任务。基于此，在第二个班级讲解时，笔者借助了多媒体课件，既节省了时间，又通过动态演示将三种位置关系一目了然地呈现了在学生面前。只有不断反思、更正，才能不断进步。数学教学的目的是让学生有意识、有目的地揭示和运用各种数学思想，不是向学生教授知识的结果，由此教师应注重引导学生探索知识的形成过程。 3 初中数学教学中数形结合思想的应用
对于初中生而言，中考数学压轴题作为学生之间拉开分差的重要试题，相较于普通题型来说，综合性更强，覆盖知识面更广。从近年来我国各省市中考数学压轴题出题情况来看，几何综合题与函数形式试题最常見，解这类题数形结合思想十分重要。此外试题中的各种隐蔽知识点考查较多，这要求学生必须具备良好的理解问题、分析问题、解决问题的能力，有效驾驭各种数学知识、方法，并且要有良好的创新思维。笔者结合自身多年工作经验，通过以下内容详细论述数形结合思想在初中数学教学中的运用。
3.1 坐标轴与函数结合问题中数形结合思想的应用
在初中数学学习中，坐标轴与函数结合问题是中考压轴题的常见类型之一，只有把这部分内容学好，学生才能与其他学生拉开距离，顺利学习后期的数学理论知识。教师在教学有理数这部分内容的时候，可以渗透数形结合的思想，同时给予学生正确引导，使学生能科学适宜地使用此思想，对所学的数学知识进行合理分析与理解。基于此，学生的数学思维会变得越来越灵活，对坐标轴与函数结合问题更加准确地进行分析。在坐标轴与函数结合类问题的解题教学活动中，教师在渗透数形结合思想时，要使学生掌握一次函数、反比例函数、二次函数等，引导学生运用待定系数法求出坐标轴中的点，此过程会涉及解析法或者图象法。
3.2 几何图形变换问题中数形结合思想的运用
近些年来，中考数学中运动结合问题备受青睐，在解答此类问题时，通常情况下会涉及图形旋转、平移、反比例函数、方程等。此类考题一般蕴含选拔意味，解题情况能反映学生之间的差距，因此掌握此类题相当于掌握了中考胜利的关键点。在这里特别需要强调的是，此类题的解题起点通常较低，第一问往往十分简单，大多数学生可以拿到分数，接下来的问题便是从一般数学思想过渡到特殊数学思想，数形结合思想也由此凸显作用。教师在向学生讲述几何变换题时，一定要注意此类题的解题思路与方法。具体案例如下所示。
例1：如图1、图2所示，在某个梯形ABCD中，AD边与BC边平行，现已知AD长3，DC长5，求出的距离为
，∠B为45°，M点从梯形的B点出发，沿着梯形的BC边逐渐向点C移动，平均每秒移动两个单位长度。另一个动点N由C点出发，沿着梯形的CD边逐渐向点D移动，平均每秒移动一个单位长度。设运行时间为t秒。
（1）求出梯形BC边的长度;
（2）当梯形MN边与AB边平行时，t的值为多少;
（3）想要三角形MNC为等腰三角形，那么t应该为何值。
解：（1）根据题意可知，如图1所示，经过梯形A、D两点作垂直与BC边的直线，与BC边的交点为K、H，因此AK⊥BC，DH⊥BC，此时四边形ADHK为矩形。
∴ AD与KH相等，都为3，那么三角形ABK为直角形三角形，AK=AB·sin 45°=·=4，
BK=AB·cos 45°=·=4。
通过勾股定理可知，HC=3，
∴ BC等于BK、KH、HC三边的总和，等于4+3+3
=10。
（2）先要求出梯形中MN与AB平行时的 t 值，如图2所示，过D点作与AB平行的线DG，此时，四边形ADGB为平行四边形。
∵ MN∥AB
∴ MN与DG也平行
∴ BG=AD=3
∴ GC=BC?BG=10?7=3
当图2中的M、N点运动到 t 秒时，t=GN，CM=10-2t。
∵ DG∥MN
∴ ∠NMC=∠DGC
最终得出三角形MNC与三角形GDC相似。
∴
∴ ，解得t=。
（3）想要求出三角形MNC为等腰三角形时t的值，需要分三种情况进行讨论。三种情况分别为NC=MC、NM=NC以及NM=MC。
第一种情况：当NC=MC时，如图3所示，t=10?2t，
∴ t=
第二种情况：当NM=NC时，如图4所示，需要过N点作垂直于MC的NE，NE与MC交于E，
通过等腰三角形的性质可得，EC=MC=（10?2t）
=5?t
在直角三角形CEN中，cosC==，
∴ cos C==，最终可得t=，
∵ ∠DHC=∠NEC=90°，
∴ 三角形DHC与三角形NEC相似，
∴ =，
∴ =，
∴ t=。
第三种情况：当NM=MC时，
如图5所示，过M点作垂直于CN的MF，此时FC=
NC=t，
cos C===，
∴ t=
3.3 综合题型中数形结合思想的应用
在解答综合类题型的过程中，可以将动点问题与图形、函数结合，运用数形结合思想。图形问题是初中数学课程中的重要题型，教师在引导学生解答此类题时，需要利用条件做变形，综合多个知识点，运用等价转化等思想，将数形有效结合起来。一定要注意，中考的后面几道应用题，题目中所有条件都不是孤立的，是对考生综合能力的考查。综合题型中数形结合思想的应用，具体情况如下所示。
例2：如图6所示，在梯形ABCD当中，已知∠A=90°，AB与CD平行，CD=4 cm，BC坡度为i，i=3：4。此时一个动点P从A点出发，以每秒2 cm的速度沿着AB向着B点逐渐靠近。动点Q从B点出发，以每秒3 cm的速度沿着BCD向D点运动。在两个动点同时出发的情况下，只要其中一个动点到达终点，另外一个动点也会随之停止，设动点运动时间为t秒。 （1）求梯形中BC边的长;
（2）当PC、BQ平分时，t为何值;
（3）将P点与Q点相连，求出三角形PBQ的面积;设该三角形面积为 y，求 y与t的函数关系式;当t值为什么時， y有最大值，最大值为多少？
解：（1）如图6所示，做CE垂直于AB，相交于点E，那么可以得到四边形AECD为矩形。
根据题意可知，AE与CD相等，等于4;CE与DA相等，等于6，
∵ i=3：4，
∴ =，
∴ EB=8AB=12，
在直角三角形CEB中，可以通过勾股定理求出BC=10。
（2）想要求出PC与PQ平分时的t值，先设PC与BQ平分，
∵ DC与AB平分，因此四边形PBCQ为平行四边形，此时Q点在CD边上，
因此CQ=BP，
∴ 3t?10=12=2t，t=，
∴ 当t=时，PC与BQ平分。
（3）求P点与Q点相连，最大面积Y以及Y与t之间的函数时，分为两种情况。
第一种情况：当Q处于BC边上时，此时0 ≤ t ≤，
作QF垂直于AB，与AB相交于F，CE与QF平行，
∴ =，
∴ =，
∴ QF=，
由此可知三角形PBQ的面积=PB·QF=
（12?2t）·，
当t=3秒时，三角形PBQ的面积最大，为 cm2。
第二种情况：当Q点处于CD边，且≤ t ≤时，
三角形PBQ的面积=PB·CE=（12?2t）·6
=36?6t
已知三角形PBQ的面积会随着t的增大而减少，因此，当t=秒时，三角形PBQ的面积最大，为36?·6=
16 cm2。
因此 y=
综上所述，当t=3时，三角形PBQ面积的最大值为 cm2。
总之，数形结合这种思想比较重要在学习数学的时候。这种思想的使用，便于学生掌握数学知识，同时提高解题速度。要运用数形结合这种思想，需要把数与形的契合点找准，同时巧妙地结合形与数，更加有效地转化各种问题，最终使抽象问题越来越具体，复杂问题越来越简单。这说明教师引导学生利用数形结合思想解决遇到的问题尤为重要。对数形结合这种思想方法，学生不能很快掌握，需要经历一个过程。为了培养学生利用数形结合思想方法解题的能力，教师需要采取适宜的措施。
一是根据学生的年龄特点、学习不同阶段的认识水平和知识特点，采取循序渐进的方式，由易到难，逐步不断提高学生的认识水平和解题能力。
二是教师为学生选择一些比较典型的例题进行分析与指导，同时为学生设计针对性的习题进行训练。通过这样的训练，学生能学会用数形结合这种思想解决遇到的问题，同时明白通过此方法不论是运算过程还是推理过程将变得越来越简单。这样一来，便能极大提高学生的解题能力，使学生越来越有信心解决数学难题，最终学生将更加有兴趣地学习数学知识。
三是在数学教学中不断强化数形结合思想，同时把生活中的实际问题与探索规律引入其中，给学生多次讲解，最终使学生真正掌握此种思想方法，养成用这种思想方法进行数学学习的习惯。教师要让学生在运用数形思想解题时清楚是解决有数思形还是有形思数的问题，加深其对问题的理解，在探索规律的过程中让学生明白应该遵循由特殊到一般的思路得出一般性的结论。
四是在解决具体问题时，教师应积极引导学生利用数形结合这种思想，使学生真正懂得什么是数形结合，能够把对象的属性找准，以问题特点为依据，将数融入形中，对其进行转化。
五是在解决任何一种问题的时候，人们使用的思想方法均有相似点。在教学中，教师的首要任务是具体问题具体分析，选出适宜的方法，同时将学生的主观能动性充分发挥出来，最终提高教学质量。
【参考文献】
[1]仝妍云.初中数学教学中数形结合思想的运用实践[J].数理化解题研究：高中版，2015（18）.
[2]王珏钰，顾超，朱德通.一种非单调滤子信赖域算法解线性不等式约束优化[J].数学报，2020（6）.
[3]唐佳颖.探究初中数学教学中数形结合思想的应用策略[J].速读（上旬），2019（12）.
[4]左占飞.空间几何常数与集值非扩张映射的不动点[J].数学学报（中文版），2021（2）.
【作者简介】
李雪（1980～），女，汉族，吉林四平人，本科。研究方向：初中数学。
【关键词】初中数学;数形结合;应用
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】1671-8437（2021）10-0166-04
在初中教学中，数学是一个比较重要的学科，且学生学习起来比较难。相比小学数学知识，初中数学知识更难，且知识量更大。数学知识具有显著的特征，即片面、抽象等，大部分学生不是很容易学会。数学这门学科主要研究两个方面，即数量关系与空间形态，任何理论性的数学知识都是从数与形这两个角度展开的。在分析与解决数学问题的时候，也可以从数与形这两个角度开始，将问题转化。下面针对初中数学中数形结合思想的应用进行阐述。
1 初中数学教学中应用数形结合思想的优势
1.1 帮助学生形成完整的数学概念
数学概念是对数学知识的高度概括，比较抽象，一些学生看到数学概念觉得很枯燥，没有兴趣学习。為了使学生更好地把握数学概念的来龙去脉，教师可以把数与形结合起来使用[1]。以教学“数轴”为例，教师在讲解的时候，可以充分利用各种工具，如温度计上的各种刻度、收音机调台上的标尺以及弹簧测力器上的标尺等，这样学生学习起来比较直观、形象。
1.2 优化学生的数学认知结构
数形结合思想在数学教学中具有重要的作用，它能够把几何知识与代数知识相联系，使学生更好地认识数学知识结构，极大提高学习效率。数形结合思想的使用也能促进学生顺利解决问题。数学问题往往抽象且复杂，使用数形结合这个思想，解决数学问题将会变得直观、简单。现如今，该方式在初中数学教学中逐渐普及，为了进一步提高学生的学习兴趣，教师在展示问题的时候应充分使用图形，使问题变得直观，使学生集中精力进行学习。利用这种方式不但能够使乏味的数学理论知识变得富有趣味性，调动学生的学习积极性，同时能极为有效地锻炼学生的空间思维能力，使学生的分析能力不断提升。所以该方法在初中数学教学中具有显著作用。不仅如此，数形结合还能为函数相关问题的求解提供便利，包括求解数学方程式、函数不等式，教师可利用非常直观的图形为学生解决函数问题提供帮助[2]。
2 初中数学教学中运用数形结合思想的教学策略
2.1 培育数形结合相关思想
对学生而言，学习数学知识时需要积极主动地进行探索。为了达到此目标，学生需要发挥自己的主观能动性，除了听教师讲解外，还要自己进一步挖掘知识。数学这门课程的各种定理均基于前人的不断总结与归纳获得。要想把定理的形成过程呈现出来，教师可以使用数形结合这个思想，也就是凭借数和形这两种方式来实现。这样一来，该定理与其他知识之间的联系性能够被学生更加清晰把握，同时学生能够领悟其中的数学思想。以上海版教材中两个公式的推导为例，即
（a+b）（a?b）=a2?b2与（a±b）2=a2±2ab+b2，从教材的设计来看，其推导依次从两个方面进行，其一，从数的形式开始推导，以多项式的乘法法则为依据;其二，从形的形式开始推导，以等积变化为依据。之所以这样设计是为了让学生真正领会使用何种思想探究公式。
作为教师，在讲授的时候不要一味地告诉学生习题的答案，为使学生真正把握同类题型的解题方法，教师需要告诉学生解此类题型的数学思想方法。教师在引导学生解题时需要注意学生的思路，即引导学生分析题中给出的条件，思考如何从数变为形或从形变为数，达到解题的目的。在解题过程中，使用数形结合这个思想，能够更加有效地发挥出数的两性，即严谨性、逻辑性等。为了提高学生的解题速度，教师需指导学生选择适宜的方法。从教材设计的数学习题来看，任何一章节的习题均有相似的解题方法，而一些学生会在解题时出现同样的错误。之所以出现这种情况是因为学生没有真正理解、掌握解答该类型问题的思想方法。以“一元一次不等式”为例，已知 y1=k1x+a ，y2=k2x+b ，求解 y1>y2 ，该类题型都是通过确定图象交点坐标求解，只要理解函数图象交点坐标会影响不等式的解集，再次遇到相同的习题便会如鱼得水[3]。
2.2 掌握数形结合解题技巧
作为教师，为了让学生更深刻地理解本章节知识的内在联系，需要抓住章末复习这个环节，且把数形结合这种思想方法运用在这个环节。在教学设计这个环节，教师要对数形结合这种思想方法及时归纳与概括，同时积极采取措施调动学生的学习积极性。在引导学生进行章末复习时，教师除了要把知识连成串，还要讲明白重点习题与解决方法，不遗漏任何一个知识点。进行新授课和复习课时需要采取相应的方法，把数形结合思想方法渗透其中，同时用精炼的语言表达清楚。
反思在整个教学环节有着举足轻重的地位。课后反思要求教师在每次上完课时，对本堂课的知识讲解做反思总结，根据学生的课堂知识掌握情况和时间把控情况，不断修改自己的教学计划。在数形结合思想方法的应用中，因为涉及以数助形和以形析数两种转化形式，所以选择正确的转化方式尤为重要[4]。如在讲述“圆与直线的位置”关系时，笔者在第一个班级的教学中没有采用课件，而用圆规画图，这既浪费了时间，又出现了图形画得不精确的问题，最终没有在课堂的有限时间内完成教学任务。基于此，在第二个班级讲解时，笔者借助了多媒体课件，既节省了时间，又通过动态演示将三种位置关系一目了然地呈现了在学生面前。只有不断反思、更正，才能不断进步。数学教学的目的是让学生有意识、有目的地揭示和运用各种数学思想，不是向学生教授知识的结果，由此教师应注重引导学生探索知识的形成过程。 3 初中数学教学中数形结合思想的应用
对于初中生而言，中考数学压轴题作为学生之间拉开分差的重要试题，相较于普通题型来说，综合性更强，覆盖知识面更广。从近年来我国各省市中考数学压轴题出题情况来看，几何综合题与函数形式试题最常見，解这类题数形结合思想十分重要。此外试题中的各种隐蔽知识点考查较多，这要求学生必须具备良好的理解问题、分析问题、解决问题的能力，有效驾驭各种数学知识、方法，并且要有良好的创新思维。笔者结合自身多年工作经验，通过以下内容详细论述数形结合思想在初中数学教学中的运用。
3.1 坐标轴与函数结合问题中数形结合思想的应用
在初中数学学习中，坐标轴与函数结合问题是中考压轴题的常见类型之一，只有把这部分内容学好，学生才能与其他学生拉开距离，顺利学习后期的数学理论知识。教师在教学有理数这部分内容的时候，可以渗透数形结合的思想，同时给予学生正确引导，使学生能科学适宜地使用此思想，对所学的数学知识进行合理分析与理解。基于此，学生的数学思维会变得越来越灵活，对坐标轴与函数结合问题更加准确地进行分析。在坐标轴与函数结合类问题的解题教学活动中，教师在渗透数形结合思想时，要使学生掌握一次函数、反比例函数、二次函数等，引导学生运用待定系数法求出坐标轴中的点，此过程会涉及解析法或者图象法。
3.2 几何图形变换问题中数形结合思想的运用
近些年来，中考数学中运动结合问题备受青睐，在解答此类问题时，通常情况下会涉及图形旋转、平移、反比例函数、方程等。此类考题一般蕴含选拔意味，解题情况能反映学生之间的差距，因此掌握此类题相当于掌握了中考胜利的关键点。在这里特别需要强调的是，此类题的解题起点通常较低，第一问往往十分简单，大多数学生可以拿到分数，接下来的问题便是从一般数学思想过渡到特殊数学思想，数形结合思想也由此凸显作用。教师在向学生讲述几何变换题时，一定要注意此类题的解题思路与方法。具体案例如下所示。
例1：如图1、图2所示，在某个梯形ABCD中，AD边与BC边平行，现已知AD长3，DC长5，求出的距离为
，∠B为45°，M点从梯形的B点出发，沿着梯形的BC边逐渐向点C移动，平均每秒移动两个单位长度。另一个动点N由C点出发，沿着梯形的CD边逐渐向点D移动，平均每秒移动一个单位长度。设运行时间为t秒。
（1）求出梯形BC边的长度;
（2）当梯形MN边与AB边平行时，t的值为多少;
（3）想要三角形MNC为等腰三角形，那么t应该为何值。
解：（1）根据题意可知，如图1所示，经过梯形A、D两点作垂直与BC边的直线，与BC边的交点为K、H，因此AK⊥BC，DH⊥BC，此时四边形ADHK为矩形。
∴ AD与KH相等，都为3，那么三角形ABK为直角形三角形，AK=AB·sin 45°=·=4，
BK=AB·cos 45°=·=4。
通过勾股定理可知，HC=3，
∴ BC等于BK、KH、HC三边的总和，等于4+3+3
=10。
（2）先要求出梯形中MN与AB平行时的 t 值，如图2所示，过D点作与AB平行的线DG，此时，四边形ADGB为平行四边形。
∵ MN∥AB
∴ MN与DG也平行
∴ BG=AD=3
∴ GC=BC?BG=10?7=3
当图2中的M、N点运动到 t 秒时，t=GN，CM=10-2t。
∵ DG∥MN
∴ ∠NMC=∠DGC
最终得出三角形MNC与三角形GDC相似。
∴
∴ ，解得t=。
（3）想要求出三角形MNC为等腰三角形时t的值，需要分三种情况进行讨论。三种情况分别为NC=MC、NM=NC以及NM=MC。
第一种情况：当NC=MC时，如图3所示，t=10?2t，
∴ t=
第二种情况：当NM=NC时，如图4所示，需要过N点作垂直于MC的NE，NE与MC交于E，
通过等腰三角形的性质可得，EC=MC=（10?2t）
=5?t
在直角三角形CEN中，cosC==，
∴ cos C==，最终可得t=，
∵ ∠DHC=∠NEC=90°，
∴ 三角形DHC与三角形NEC相似，
∴ =，
∴ =，
∴ t=。
第三种情况：当NM=MC时，
如图5所示，过M点作垂直于CN的MF，此时FC=
NC=t，
cos C===，
∴ t=
3.3 综合题型中数形结合思想的应用
在解答综合类题型的过程中，可以将动点问题与图形、函数结合，运用数形结合思想。图形问题是初中数学课程中的重要题型，教师在引导学生解答此类题时，需要利用条件做变形，综合多个知识点，运用等价转化等思想，将数形有效结合起来。一定要注意，中考的后面几道应用题，题目中所有条件都不是孤立的，是对考生综合能力的考查。综合题型中数形结合思想的应用，具体情况如下所示。
例2：如图6所示，在梯形ABCD当中，已知∠A=90°，AB与CD平行，CD=4 cm，BC坡度为i，i=3：4。此时一个动点P从A点出发，以每秒2 cm的速度沿着AB向着B点逐渐靠近。动点Q从B点出发，以每秒3 cm的速度沿着BCD向D点运动。在两个动点同时出发的情况下，只要其中一个动点到达终点，另外一个动点也会随之停止，设动点运动时间为t秒。 （1）求梯形中BC边的长;
（2）当PC、BQ平分时，t为何值;
（3）将P点与Q点相连，求出三角形PBQ的面积;设该三角形面积为 y，求 y与t的函数关系式;当t值为什么時， y有最大值，最大值为多少？
解：（1）如图6所示，做CE垂直于AB，相交于点E，那么可以得到四边形AECD为矩形。
根据题意可知，AE与CD相等，等于4;CE与DA相等，等于6，
∵ i=3：4，
∴ =，
∴ EB=8AB=12，
在直角三角形CEB中，可以通过勾股定理求出BC=10。
（2）想要求出PC与PQ平分时的t值，先设PC与BQ平分，
∵ DC与AB平分，因此四边形PBCQ为平行四边形，此时Q点在CD边上，
因此CQ=BP，
∴ 3t?10=12=2t，t=，
∴ 当t=时，PC与BQ平分。
（3）求P点与Q点相连，最大面积Y以及Y与t之间的函数时，分为两种情况。
第一种情况：当Q处于BC边上时，此时0 ≤ t ≤，
作QF垂直于AB，与AB相交于F，CE与QF平行，
∴ =，
∴ =，
∴ QF=，
由此可知三角形PBQ的面积=PB·QF=
（12?2t）·，
当t=3秒时，三角形PBQ的面积最大，为 cm2。
第二种情况：当Q点处于CD边，且≤ t ≤时，
三角形PBQ的面积=PB·CE=（12?2t）·6
=36?6t
已知三角形PBQ的面积会随着t的增大而减少，因此，当t=秒时，三角形PBQ的面积最大，为36?·6=
16 cm2。
因此 y=
综上所述，当t=3时，三角形PBQ面积的最大值为 cm2。
总之，数形结合这种思想比较重要在学习数学的时候。这种思想的使用，便于学生掌握数学知识，同时提高解题速度。要运用数形结合这种思想，需要把数与形的契合点找准，同时巧妙地结合形与数，更加有效地转化各种问题，最终使抽象问题越来越具体，复杂问题越来越简单。这说明教师引导学生利用数形结合思想解决遇到的问题尤为重要。对数形结合这种思想方法，学生不能很快掌握，需要经历一个过程。为了培养学生利用数形结合思想方法解题的能力，教师需要采取适宜的措施。
一是根据学生的年龄特点、学习不同阶段的认识水平和知识特点，采取循序渐进的方式，由易到难，逐步不断提高学生的认识水平和解题能力。
二是教师为学生选择一些比较典型的例题进行分析与指导，同时为学生设计针对性的习题进行训练。通过这样的训练，学生能学会用数形结合这种思想解决遇到的问题，同时明白通过此方法不论是运算过程还是推理过程将变得越来越简单。这样一来，便能极大提高学生的解题能力，使学生越来越有信心解决数学难题，最终学生将更加有兴趣地学习数学知识。
三是在数学教学中不断强化数形结合思想，同时把生活中的实际问题与探索规律引入其中，给学生多次讲解，最终使学生真正掌握此种思想方法，养成用这种思想方法进行数学学习的习惯。教师要让学生在运用数形思想解题时清楚是解决有数思形还是有形思数的问题，加深其对问题的理解，在探索规律的过程中让学生明白应该遵循由特殊到一般的思路得出一般性的结论。
四是在解决具体问题时，教师应积极引导学生利用数形结合这种思想，使学生真正懂得什么是数形结合，能够把对象的属性找准，以问题特点为依据，将数融入形中，对其进行转化。
五是在解决任何一种问题的时候，人们使用的思想方法均有相似点。在教学中，教师的首要任务是具体问题具体分析，选出适宜的方法，同时将学生的主观能动性充分发挥出来，最终提高教学质量。
【参考文献】
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【作者简介】
李雪（1980～），女，汉族，吉林四平人，本科。研究方向：初中数学。