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“认识面积”是苏教版数学教材三年级下册的教学内容。这部分内容是在学生已经初步认识了一些几何图形，并掌握了周长概念以及长方形和正方形周长计算方法的基础上进行教学的。面积概念对学生来说是一个全新的几何概念，也是一次概念认识难点的突破。本课教学的主要任务是帮助学生建立面、面积的概念，并让学生主动探究平面图形面积比较的几种基本方法，为后续的面积单位认识、长正方形面积计算做好准备。
【案例】
在一次校本教研活动中，一位教师呈现了如下认识面积概念的教学过程：
1.摸物体的表面，感知面。
2.摸物体的表面，比较面的大小。
3.揭示面积的定义：物体表面的大小就是物体表面的面积。
4.回归现实，说说身边物体表面的面积。
5.引申到所学平面图形，感受平面图形的大小。
6.揭示平面图形面积的定义。
7.引导学生探究比较平面图形面积大小的几种方法。
【思考】
这其中，看似让学生经历了由对现实世界的感知转向对数学概念的逐步抽象的过程。但细细体味，学生对面积概念的认识过程显得不够精致，尤其是对“面的大小”的认识仍然比较模糊。从课末回顾反思“哪些留在了脑子里”的学生回答中，均未提到认识了“什么是面？”“什么是面积？”等概念，只是说到了一些平面图形面积比较的方法。可见学生并没有很好地在头脑中建立起面积概念，没有使自己的几何概念认知结构得到有效拓展。究其原因主要是：
1.概念本质的把握不够全面
小学阶段所学的点、线、面、体都是基于欧几里得几何的，它们是学生最早接触到的几何概念。事实上，越是最基本的概念就越是难以说清楚，因为在描述的过程中无法借用其他的概念。在日常生活中，学生看到的物体都是立体的，而“面”则是一个平面概念，是从日常生活中的立体图形中抽象出来的概念。这种抽象不仅舍去了物体的颜色、材质等物体本质要素，还忽略了其所占的空间：面不分厚薄。也就是说，这种抽象了的概念本身只是存在于人们的头脑中，正如欧几里得在《几何原本》中所写的：面只有长度和宽度；平面是它上面的线一样的平放着的面。这样一种抽象的、又带有点物理化倾向的描述，揭示了“面”的概念本质。
此外，教师还忽视了“面的大小是面本身固有属性”这一基本事实，单纯借助于对不同物体表面大小的比较来得出“物体表面是有大有小”的这一结论，并直接据此下定义：物体表面的大小就是物体表面的面积。这里，需要澄清的认识是：“物体表面有大小”并非是单纯由比较而得出的一种相对结果，而是面本身所固有的本质属性。词典中“大小”有一种意思是表示程度，因而“面的大小”应是指“面”自身的大小程度。“物体表面的大小”是物体表面自身存在的一个客观属性，指的是不同物体表面都有其各自确定的大小。由于对面积概念理解不够全面到位，也就难以真正地让学生准确建立起面以及面积的概念。
2.概念建构的过程显得粗糙
现代小学数学教学倡导“有过程”地教学，要让学生充分经历数学知识的产生、形成过程。这样的过程需要教师精心设计，也需要在课堂互动中精彩生成。结合上述对面与面积概念的本质解析，再对照上述教学过程，不由让人觉得概念建构的过程显得粗糙，尤其是缺乏让学生充分调动各种感官，通过多样化的实践活动来真正拨动思维之弦，因而也就不能真正让学生对概念的本质属性加以深刻体悟和准确把握。
【改进教学】
结合上例的反思，我们觉得教学中应尽可能准确地把握概念本质，使概念建构过程精致化。这其中，对“面”的感知活动要充分、到位，抽象过程要精致、自然，在此基础上水到渠成地建立起面积概念，让学生充分经历一个精致的概念建构过程。基于这样的认识，我们对“面”的认识过程进行了再设计与再实践：
1.精致地感知“面”，把握面的特征。
（1）在摸“物体表面”中具体感知面的形象。
①摸摸课本的封面。（方法指导：用手掌认真地、慢慢地摸课本封面的全部。要求：在摸时要静静地感受它。）
②按同样的方法和要求继续摸摸课桌的面。
（2）在议“物体表面”中初步形成面的表象时，让学生说说自己刚才摸物体表面的感觉。
生：它们的面都是平平的。
生：还很光滑的。
（3）在比划“物体表面”中不断丰富面的表象。
师：找一找身边物体的表面继续摸摸，感受一下它有多大，用手比划一下。
生：我摸的是橡皮这一个面，只有这么大的。
生：我摸的是文具盒盖子的面，有这么大。
2.精致地抽象“面”，建立面积概念。
（1）想象物体表面的大小。
师：接下来我们不摸了，想象一下老师说的这些物体的表面有多大，也可以用手比划一下。比如我们常见的一张试卷的面、一张光盘的面有多大？
学生一一用手比划着大小。
（2）指出黑板面，揭示面积概念。
师：黑板面在哪儿？请上台指一指。
学生上台在黑板上指了一下。
教师在他指的那里画了个小圈，问：哦，这一块就是黑板面吗？
学生又重新指了指，教师顺势又画了一个大一点的圈，问：是这里吗？大家都不认同。
师：到底哪里是黑板面？
另有学生跑上前来用手绕着黑板一周，指出：这一周边线围成的面，就是黑板面。
师：对啊，黑板四周一圈边线围起来的面才是黑板面。如果让你上来摸黑板面，要摸多久？
生：要摸好久了。因为黑板面很大。
师小结：从刚才的活动中，我们可以知道，物体都有自己的表面，而且都有各自的大小，有的大，有的小。物体表面的大小就是物体表面的面积。 让学生照样子说说数学书封面、课桌面等的面积。（略）
（3）描下物体表面，认识平面图形面积。
让一位学生到讲台前，蒙上眼睛，摸一个皮鞋盒的上面和侧面，并说说哪个面积大。
师：我们刚才所认识的“面“都是在物体上的，大家能想个办法把这两个面“请”到黑板上来吗？
生：把它们描在黑板上。（教师按照学生意思描下来）师：这两个都是我们以前所学过的平面图形。刚才摸的皮鞋盒两个面的大小就是这两个平面图形的大小。平面图形的大小也就是平面图形的面积。
师：大家会用粉笔来表示出这两个平面图形的面积吗？（学生上台涂出平面图形的大小。）
师小结：平面图形的大小就是平面图形的面积。
3.精致地巩固“面”，完善面积认识。
（1）在线与面的对比中直观巩固面的特征。
师（课件出示一条线段）：大家能上来指出这个图形的面积吗？
生：不行，它是一条线段，只有长度。
师（课件出示一个封闭平面图形）：这个图形有面积吗？上台指指。（学生上台用手掌比划着指出。）
（2）在线向面的变形中抽象、巩固面的概念。
师：老师想来变个魔术，让这条线变出面积来。（课件展示线围成封闭图形的过程）现在这条线段变成什么图形了？
生：封闭平面图形。
师：现在这个图形有面积了吗？大家比划一下这个图形面积的大小。（学生比划）
师（课件继续围成一个不封闭的图形）：这个图形有它的面积吗？
生：没有，因为它没有封闭起来，摸的时候可以向外面摸出去，不能确定面的大小。
师小结：是啊，只有一条线围成一个封闭图形时，它才可以确定面的大小，也才有它的面积。
【反思】
图形与几何领域的基本概念源自于日常生活，它是生活中具体实物的几何抽象物。小学生所学习的几何图形概念都是最基础的概念，比如线、面等，他们头脑中尚无相关的前知识系统进行合理迁移、扩充，学生建构这些基本概念主要是依靠几何抽象而实现的。我们需要从小学生数学学习与发展的实际情况出发，精心设计几何概念建构的过程，并努力使其精致化，让学生自然地实现由生活经验向数学概念的顺利过渡。
1.精致化的前提是精确把握概念本质
理解和掌握概念的过程实际上是掌握同类事物的共同、本质属性的过程。就面积概念的建构而言，其重要的基础是“面”的认识和建构。教材中并没有直接呈现“面”的概念，只是让学生摸摸有关物体的表面。在此，教师应该进一步发掘、精确把握“面”概念的本质内涵，先让学生准确形成对“面”的认识。上述改进教学中，教师丰满并精致了面的认识过程，在学生动手操作感悟的基础上，自由表达对物体面的感性认识，突出面是平平的、光滑的这些共同特征，进而通过比划、想象活动，认识到每个物体面都是有自身大小的。如前文所说，面的大小是面本身固有的属性，体会面的大小并不是单纯通过不同面的比较而得出的，而是通过让学生在感受体验的基础上，用自己的方式表达出面的大小。在这样的活动中学生能比较全面地把握面的特征。面积概念的核心就是“面的大小”，因而准确建立面的概念之后，面积概念的理解也就水到渠成、瓜熟蒂落了。此外，面积与长度这两个基本的几何概念具有本质上的不同，教学中应该适度地让学生在矛盾冲突中得到较为深刻的体验和感悟。
2.精致化的重点是精细设计、建构层次
与原先案例相比，改进后的案例突出了对概念建构过程的精细设计。这种精致化主要体现在教师结合儿童概念学习的认知心理特征，对概念建构过程作出了清晰的层次设计。一是在动手操作中感悟。先让学生在实物的触摸中感受面的特点，然后要求学生表达出触摸的感受，在说、议的过程中初步领悟面的特征，学生对面的感悟呈现出多样化的表述，在此基础上，继续加强操作感悟，让学生比划出面的大小，逐步形成面的表象。这样的操作过程层层深入，学生的体验感悟逐步深入，接近本质。二是在想象再现中抽象。空间想象能力是空间观念的核心，想象是培养空间观念的重要手段。直接想象并比划出所说物体面的大小，这是对学生头脑中已有面的表象积累的再现考验，也是学生对面概念的深层次体验。在指出黑板面大小的过程中，有意地引导学生的空间思维逐步向整个黑板面过渡，“逼迫”学生感受、抽象出面的大小是指周围一圈边线围出来的内部平面大小，可以说此时学生对面概念的认识基本到位了。在这个过程中，注重发挥空间想象能力，让学生实现从概念表象到概念本质的逐步抽象。三是在对比沟通中深化。改进教学中及时地让学生对比一维图形和二维图形的不同，其实质是进一步加强对二维空间面积概念的深化认识。通过对比，让学生认识到线是以长短而论的，面是以大小而论的，进而在变化过程中直观地感受到“面是有边界的”“面是由线围起来的”，有了边界才使“面有了确定的大小”，每个面的大小是这个面的面积。因而深化了对面积概念本质的理解。
3.精致化的关键是精心打磨活动细节
教学细节能使数学学习活动更具有效性。教学细节是指教学过程中富有教育、教学价值的细小环节和情节。每一处自然而真实的教学细节都会让课堂教学变得更加丰满、更富魅力。学生在这些细节中往往能够得到比较充分的体验和感悟。在上述教学改进中，教师针对学生对面和面积概念建构的关键之处，精心设计和打磨若干个教学细节活动，帮助学生精致化地建构数学概念。教师设计了比划“面”的活动细节：让学生摸摸身边实物上的面，然后用手比划出“面有多大”，接着让学生想象生活中其他物体的面，继续进行比划，旨在通过动手实践活动来进一步丰富、积累学生头脑中面的表象，初步把握面的本质。教师通过多次追问，“逼迫”学生自主地清晰和完善面的概念，领悟到一圈边线围出来的部分才是“面”，在这样一种朴素的认识中进一步把握概念的本质内涵。在引导学生体会线与面的不同时，教师还精心设计了由线变面的动态变化细节，首先让学生对线、面进行直接对比，体会一维图形和二维图形的不同之处，接着通过“变魔术”的动态呈现，让学生直观地感受到线与面的密切关联，认识到线是以长短而论的，面是以大小而论的，进而体会到“面是有边界的”“面是由线围起来的”，有了边界才使“面有了确定的大小”，每个面的大小就是这个面的面积。在这些细节活动中，进一步抽象了面积的本质特征，加深了学生的数学理解。
【责任编辑：陈国庆】
【案例】
在一次校本教研活动中，一位教师呈现了如下认识面积概念的教学过程：
1.摸物体的表面，感知面。
2.摸物体的表面，比较面的大小。
3.揭示面积的定义：物体表面的大小就是物体表面的面积。
4.回归现实，说说身边物体表面的面积。
5.引申到所学平面图形，感受平面图形的大小。
6.揭示平面图形面积的定义。
7.引导学生探究比较平面图形面积大小的几种方法。
【思考】
这其中，看似让学生经历了由对现实世界的感知转向对数学概念的逐步抽象的过程。但细细体味，学生对面积概念的认识过程显得不够精致，尤其是对“面的大小”的认识仍然比较模糊。从课末回顾反思“哪些留在了脑子里”的学生回答中，均未提到认识了“什么是面？”“什么是面积？”等概念，只是说到了一些平面图形面积比较的方法。可见学生并没有很好地在头脑中建立起面积概念，没有使自己的几何概念认知结构得到有效拓展。究其原因主要是：
1.概念本质的把握不够全面
小学阶段所学的点、线、面、体都是基于欧几里得几何的，它们是学生最早接触到的几何概念。事实上，越是最基本的概念就越是难以说清楚，因为在描述的过程中无法借用其他的概念。在日常生活中，学生看到的物体都是立体的，而“面”则是一个平面概念，是从日常生活中的立体图形中抽象出来的概念。这种抽象不仅舍去了物体的颜色、材质等物体本质要素，还忽略了其所占的空间：面不分厚薄。也就是说，这种抽象了的概念本身只是存在于人们的头脑中，正如欧几里得在《几何原本》中所写的：面只有长度和宽度；平面是它上面的线一样的平放着的面。这样一种抽象的、又带有点物理化倾向的描述，揭示了“面”的概念本质。
此外，教师还忽视了“面的大小是面本身固有属性”这一基本事实，单纯借助于对不同物体表面大小的比较来得出“物体表面是有大有小”的这一结论，并直接据此下定义：物体表面的大小就是物体表面的面积。这里，需要澄清的认识是：“物体表面有大小”并非是单纯由比较而得出的一种相对结果，而是面本身所固有的本质属性。词典中“大小”有一种意思是表示程度，因而“面的大小”应是指“面”自身的大小程度。“物体表面的大小”是物体表面自身存在的一个客观属性，指的是不同物体表面都有其各自确定的大小。由于对面积概念理解不够全面到位，也就难以真正地让学生准确建立起面以及面积的概念。
2.概念建构的过程显得粗糙
现代小学数学教学倡导“有过程”地教学，要让学生充分经历数学知识的产生、形成过程。这样的过程需要教师精心设计，也需要在课堂互动中精彩生成。结合上述对面与面积概念的本质解析，再对照上述教学过程，不由让人觉得概念建构的过程显得粗糙，尤其是缺乏让学生充分调动各种感官，通过多样化的实践活动来真正拨动思维之弦，因而也就不能真正让学生对概念的本质属性加以深刻体悟和准确把握。
【改进教学】
结合上例的反思，我们觉得教学中应尽可能准确地把握概念本质，使概念建构过程精致化。这其中，对“面”的感知活动要充分、到位，抽象过程要精致、自然，在此基础上水到渠成地建立起面积概念，让学生充分经历一个精致的概念建构过程。基于这样的认识，我们对“面”的认识过程进行了再设计与再实践：
1.精致地感知“面”，把握面的特征。
（1）在摸“物体表面”中具体感知面的形象。
①摸摸课本的封面。（方法指导：用手掌认真地、慢慢地摸课本封面的全部。要求：在摸时要静静地感受它。）
②按同样的方法和要求继续摸摸课桌的面。
（2）在议“物体表面”中初步形成面的表象时，让学生说说自己刚才摸物体表面的感觉。
生：它们的面都是平平的。
生：还很光滑的。
（3）在比划“物体表面”中不断丰富面的表象。
师：找一找身边物体的表面继续摸摸，感受一下它有多大，用手比划一下。
生：我摸的是橡皮这一个面，只有这么大的。
生：我摸的是文具盒盖子的面，有这么大。
2.精致地抽象“面”，建立面积概念。
（1）想象物体表面的大小。
师：接下来我们不摸了，想象一下老师说的这些物体的表面有多大，也可以用手比划一下。比如我们常见的一张试卷的面、一张光盘的面有多大？
学生一一用手比划着大小。
（2）指出黑板面，揭示面积概念。
师：黑板面在哪儿？请上台指一指。
学生上台在黑板上指了一下。
教师在他指的那里画了个小圈，问：哦，这一块就是黑板面吗？
学生又重新指了指，教师顺势又画了一个大一点的圈，问：是这里吗？大家都不认同。
师：到底哪里是黑板面？
另有学生跑上前来用手绕着黑板一周，指出：这一周边线围成的面，就是黑板面。
师：对啊，黑板四周一圈边线围起来的面才是黑板面。如果让你上来摸黑板面，要摸多久？
生：要摸好久了。因为黑板面很大。
师小结：从刚才的活动中，我们可以知道，物体都有自己的表面，而且都有各自的大小，有的大，有的小。物体表面的大小就是物体表面的面积。 让学生照样子说说数学书封面、课桌面等的面积。（略）
（3）描下物体表面，认识平面图形面积。
让一位学生到讲台前，蒙上眼睛，摸一个皮鞋盒的上面和侧面，并说说哪个面积大。
师：我们刚才所认识的“面“都是在物体上的，大家能想个办法把这两个面“请”到黑板上来吗？
生：把它们描在黑板上。（教师按照学生意思描下来）师：这两个都是我们以前所学过的平面图形。刚才摸的皮鞋盒两个面的大小就是这两个平面图形的大小。平面图形的大小也就是平面图形的面积。
师：大家会用粉笔来表示出这两个平面图形的面积吗？（学生上台涂出平面图形的大小。）
师小结：平面图形的大小就是平面图形的面积。
3.精致地巩固“面”，完善面积认识。
（1）在线与面的对比中直观巩固面的特征。
师（课件出示一条线段）：大家能上来指出这个图形的面积吗？
生：不行，它是一条线段，只有长度。
师（课件出示一个封闭平面图形）：这个图形有面积吗？上台指指。（学生上台用手掌比划着指出。）
（2）在线向面的变形中抽象、巩固面的概念。
师：老师想来变个魔术，让这条线变出面积来。（课件展示线围成封闭图形的过程）现在这条线段变成什么图形了？
生：封闭平面图形。
师：现在这个图形有面积了吗？大家比划一下这个图形面积的大小。（学生比划）
师（课件继续围成一个不封闭的图形）：这个图形有它的面积吗？
生：没有，因为它没有封闭起来，摸的时候可以向外面摸出去，不能确定面的大小。
师小结：是啊，只有一条线围成一个封闭图形时，它才可以确定面的大小，也才有它的面积。
【反思】
图形与几何领域的基本概念源自于日常生活，它是生活中具体实物的几何抽象物。小学生所学习的几何图形概念都是最基础的概念，比如线、面等，他们头脑中尚无相关的前知识系统进行合理迁移、扩充，学生建构这些基本概念主要是依靠几何抽象而实现的。我们需要从小学生数学学习与发展的实际情况出发，精心设计几何概念建构的过程，并努力使其精致化，让学生自然地实现由生活经验向数学概念的顺利过渡。
1.精致化的前提是精确把握概念本质
理解和掌握概念的过程实际上是掌握同类事物的共同、本质属性的过程。就面积概念的建构而言，其重要的基础是“面”的认识和建构。教材中并没有直接呈现“面”的概念，只是让学生摸摸有关物体的表面。在此，教师应该进一步发掘、精确把握“面”概念的本质内涵，先让学生准确形成对“面”的认识。上述改进教学中，教师丰满并精致了面的认识过程，在学生动手操作感悟的基础上，自由表达对物体面的感性认识，突出面是平平的、光滑的这些共同特征，进而通过比划、想象活动，认识到每个物体面都是有自身大小的。如前文所说，面的大小是面本身固有的属性，体会面的大小并不是单纯通过不同面的比较而得出的，而是通过让学生在感受体验的基础上，用自己的方式表达出面的大小。在这样的活动中学生能比较全面地把握面的特征。面积概念的核心就是“面的大小”，因而准确建立面的概念之后，面积概念的理解也就水到渠成、瓜熟蒂落了。此外，面积与长度这两个基本的几何概念具有本质上的不同，教学中应该适度地让学生在矛盾冲突中得到较为深刻的体验和感悟。
2.精致化的重点是精细设计、建构层次
与原先案例相比，改进后的案例突出了对概念建构过程的精细设计。这种精致化主要体现在教师结合儿童概念学习的认知心理特征，对概念建构过程作出了清晰的层次设计。一是在动手操作中感悟。先让学生在实物的触摸中感受面的特点，然后要求学生表达出触摸的感受，在说、议的过程中初步领悟面的特征，学生对面的感悟呈现出多样化的表述，在此基础上，继续加强操作感悟，让学生比划出面的大小，逐步形成面的表象。这样的操作过程层层深入，学生的体验感悟逐步深入，接近本质。二是在想象再现中抽象。空间想象能力是空间观念的核心，想象是培养空间观念的重要手段。直接想象并比划出所说物体面的大小，这是对学生头脑中已有面的表象积累的再现考验，也是学生对面概念的深层次体验。在指出黑板面大小的过程中，有意地引导学生的空间思维逐步向整个黑板面过渡，“逼迫”学生感受、抽象出面的大小是指周围一圈边线围出来的内部平面大小，可以说此时学生对面概念的认识基本到位了。在这个过程中，注重发挥空间想象能力，让学生实现从概念表象到概念本质的逐步抽象。三是在对比沟通中深化。改进教学中及时地让学生对比一维图形和二维图形的不同，其实质是进一步加强对二维空间面积概念的深化认识。通过对比，让学生认识到线是以长短而论的，面是以大小而论的，进而在变化过程中直观地感受到“面是有边界的”“面是由线围起来的”，有了边界才使“面有了确定的大小”，每个面的大小是这个面的面积。因而深化了对面积概念本质的理解。
3.精致化的关键是精心打磨活动细节
教学细节能使数学学习活动更具有效性。教学细节是指教学过程中富有教育、教学价值的细小环节和情节。每一处自然而真实的教学细节都会让课堂教学变得更加丰满、更富魅力。学生在这些细节中往往能够得到比较充分的体验和感悟。在上述教学改进中，教师针对学生对面和面积概念建构的关键之处，精心设计和打磨若干个教学细节活动，帮助学生精致化地建构数学概念。教师设计了比划“面”的活动细节：让学生摸摸身边实物上的面，然后用手比划出“面有多大”，接着让学生想象生活中其他物体的面，继续进行比划，旨在通过动手实践活动来进一步丰富、积累学生头脑中面的表象，初步把握面的本质。教师通过多次追问，“逼迫”学生自主地清晰和完善面的概念，领悟到一圈边线围出来的部分才是“面”，在这样一种朴素的认识中进一步把握概念的本质内涵。在引导学生体会线与面的不同时，教师还精心设计了由线变面的动态变化细节，首先让学生对线、面进行直接对比，体会一维图形和二维图形的不同之处，接着通过“变魔术”的动态呈现，让学生直观地感受到线与面的密切关联，认识到线是以长短而论的，面是以大小而论的，进而体会到“面是有边界的”“面是由线围起来的”，有了边界才使“面有了确定的大小”，每个面的大小就是这个面的面积。在这些细节活动中，进一步抽象了面积的本质特征，加深了学生的数学理解。
【责任编辑：陈国庆】