在数学学习中，如果我们能够在问题中善于观察，发现新奇，探索规律，就有利于培养我们的创新意识和解题能力.比如数字“1”，在不同章节的知识里它常有多种不同的表示结果，若对它进行挖掘及灵活运用，可以使很多问题巧妙、快速地得到解决.现举例说明如下：
　　一、 三角函数求值问题.
　　例1 计算1+tan75°1-tan75°的值.
　　分析：因为“tan45°=1” ，所以原式可看成是tan45°+tan75°1-tan45°tan75°，这样我们就可以运用两角和的正切公式，把原式化为tan(45°+75°),从而求出原式的值.
　　解：∵tan45°=1，
　　∴1+tan75°1-tan75°=tan45°+tan75°1-tan45°tan75°=
　　 tan(45°+75°)=
　　tan120°=－3.
　　例２ 已知tan=2,求4sin2α-3sinαcosα-5cos2α的值.
　　分析：注意到式子是二次齐次式，不妨把其看成分式，分母为1，将1变为sin2α+cos2α,便顺利求解.
　　解：原式=4sin2α-3sinαcosα-5cos2αsin2α+cos2α=
　　4tan2α-3tanα-5tan2α-1
　　=4×4-3×2-54+1=1.
　　二、 三角等式的证明或化简问题.
　　例３ 求证：1+secα+tanα1+secα-tanα=1+sinαcosα.
　　分析：注意左边式子出现的函数名称，联想到“1=sec2α-tan2α”，将分子和分母中的“1”用“sec2-tan2α”代换就很容易证得结论.
　　证：左边=sec2α-tan2α+secα+tanα1+secα-tanα
　　=(secα+tanα)(secα-tanα)+secα+tanα1+secα-tanα
　　=(secα+tanα)(secα-tanα+1)1+secα-tanα
　　=secα+tanα
　　=1+sinαcosα=右边. ∴原等式成立.
　　例4 化简：1-cos4α-sin4α1-cos6α-sin6α.
　　分析：根据式子特点，将分子和分母中的“1”换成“sin2α+cos2α”,便能顺利求解了.
　　解：原式=(cos2α+sin2α)2-cos4α-sin4α
　　(cos2α+sin2α)3-cos6α-sin6α=
　　2cos2αsin2α3cos2αsin2α(cos2α+sin2α)=23.
　　三、 求最值问题.
　　例5 已知a,b∈R+且2a+b=1. 求1a+1b的最小值.
　　分析：题中已知条件有“2a+b=1” ,可将所求式子“1a+1b”中的“1”用“2a+b”
　　代换，再使用均值不等式即可求解.
　　解：∵2a+b=1，且a,b∈R+. ∴1a+1b=2a+ba+2a+bb=3+ba+2ab≧3+22. 当且仅当ba=2ab且2a+b=1时，即a=1-22,b=2-1时，等号成立.
　　因此1a+1b的最小值为3+22.
　　四、 不等式的证明问题.
　　例6 已知a,b∈(0,+∞)且a+b=1, 求证：a+12+b+12 ≦2.
　　分析：利用性质“1乘以任何数得它本身” ，便可巧妙得证.
　　解：∵a+12=a+12·1≤
　　a+12+12=a+322.
　　同理b+12≤b+322.
　　∴a+12+b+12≤a+b+32=2.
　　五、 其他方面.
　　例7 复数2i的平方根为（ ）
　　A. 1+i
　　B. 1- i
　　C. 1±iD. ±(1+i )
　　分析：由2i=1+2i-1=1+2i+i2=（1+i）2.得2i的平方根为±(1+i ).故选D.
　　例8 化简：C23+C24+C25+C26+…+C22003.
　　分析：观察式子特点联想到组合数公式Ckn+Ck+1n=Ck+1n+1.由此想到添加一项C33,再减去“1”即可.
　　解：原式=C33+C23+C24+C25+Cc26+…+C22003-1
　　=C34+C24+C25+C26+…+C22003-1
　　=…=C32003+C22003-1
　　=C32004-1
　　从以上各例不难看出，巧妙代换是有一定技巧和创造性的，渗透着猜想、探索等重要的数学方法.在有些题中利用巧妙代换解题可从中欣赏数学之美，感受解题的乐趣，有一种“春雨断桥人不渡，小舟撑出柳荫来”之美妙感觉.更重要的是可开拓思维，启迪智慧，并对培养创新精神大有裨益.