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数学课程标准指出：有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式.数学课堂不失时机为学生提供实践、探索、交流的机会.同学们根据已有的知识、方法进行建构，既培养学生自主学习的能力，又张扬着思维的个性.在思维的碰撞中，学生的思维得到提升和发展.下面是我的一个探究教学片断，以飨读者.
问题 如图1在△Rt△ABC中，∠A=
90°，AB=AC，点D在BC边上，试探索线段
AD、BD、DC的数量关系，并说明理由.
解析：本题是苏科版数学课课练中的一道探究题，有一定的难度，我直接出示，放手让学生自主探索，五分钟后进行交流.[ P<1 26
.tif>,BP#][ S（][5”SS][JZ]图1图2
[ S）]
学生甲：我探索出DC2+BD2=2AD2，△ABC是一个等腰直角三角形，等腰三角形底边上的高是经常添加的一条辅助线.作 边上的高 （如图2），易知
BE=EC=AE=BC2
，
DE=DC-BD2
，根据勾股定理得到
AD2=AE2+DE2=
（BC2）2+（DC-BD2）2
=(DC+BD)24
+(DC-BD)24
=DC2+BD22.
于是DC2+BD2=2AD2.
我的解题体会是：遇到等腰三角形，常作底边上的高.
学生乙：我的方法有点繁，但也不繁.（众笑）
我昨天做了这样一道题（如图3）在矩形ABCD内的一点P，求证
PA2+PC2=PB2+PD2，这道题我是过点P作两组对边的垂线，然后用勾股定理证出的，这里有的繁.
[ P<1 27
.tif>,BP#][ S（][5”SS][JZ]图3图4
[ S）]
接着，我将等腰直角三角形补成正方形（如图4），连结DE，直接运用此结论就有
DA2+DE2=DB2+DC2
，由AD＝DE，进而得到
DC2+BD2=2AD2
.
我的体会是等腰直角三角形是正方形的一个部分，它们之间可以转化.噢，另外把研究的问题转化为已经学过的问题，这一点很重要.[ P<1 28
.tif>,Y#][ S（][5”SS][JZ]图5
[ S）]
学生丙：我也是用勾股定理证的.过点D作
DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，把△ABC分割成两个等腰三角形和一个矩形，易得
BD2＝
2DE2，DC2＝2DF2，又知
DE2+DF2=AD2，于是
BD2+DC2=2DE2+2DF2=2AD2.
学生丁：我想到一个简单的解法——旋转.就是将ABD绕点A逆时针旋转
90°，则
AB与AC重合，点D落在点D′处（如图6），连结DD′，易知∠
DCD′=90°，△
ADD′是等腰直角三角形，所以
DC2+BD2=
DC2+D′C2=DD′2=AD2+AD′2=2AD2.
.(同学们给予了热烈的掌声).
此时学生甲再次举起了手，我让他走上了讲台.
[ P<1 29
.tif>,BP#][ S（][5”SS][JZ]图6图7
[ S）]
学生甲：我不是讲此题的解法.老师说过，解题时不仅要思考多角度解题，还要注意变换图形思考.刚才我把点D移到了BC边的延长线上（如图7），发现上述关系仍然成立.我还是作底边上的高，把刚才的证明过程只是改动了两个符号.过程如下：
AD2=AE2+DE2=
（BC2)2+
(BD+DC2)2
=(BD-DC)24
+(BD+DC)24
=DC2+BD22.
整理得
DC2+BD2=2AD2.
太棒了！太精彩了！这一变式，我课前并未预设，没想到他会做这样的变化.我带头鼓起掌来.本来我在其后还准备了两道例题，现在灵机一动：请同学们思考原题的其他三种证法是否也能证明这一变式?同学们积极探索，一会儿他们脸上都纷纷洋溢着喜悦的表情.
教学感悟
一、信任——学生发展的动力
苏霍姆林斯基说过：在学生的心灵深处无不存在着使自己成为一个发现者、研究者、探索者的愿望.而在儿童的精神世界中，这种需要更加强烈.相信学生，把课堂交给学生，让学生们的思维自由驰骋.没有思维定势，只有创新意识.只要我们坚持以生为本，坚定不移地依靠学生，他们就会“像芨芨草一样拔节成长.”
二、探究式课堂——学生思维发展平台
在素质教育的平台上，数学教学担负起人才培养的重要职责.学生的数学学习不仅是数学知识的学习，更重要的是数学思想和方法的学习.“数学是思维的体操！”“问题是数学的心脏.” “探索是数学的生命线.”我们始终坚持探究式教学，让学生经历和体验数学的形成过程，不断丰富数学活动的经验.
三、交流合作——学生成长的有效手段
“思维需要碰撞，火花方能魅力四射！” 数学课堂为学生提供交换思想、交流方法的舞台.彼此相互帮助、相互促进，共同成长.在这和谐课堂气氛里，生命之花定会尽情绽放，生成更加精彩.
问题 如图1在△Rt△ABC中，∠A=
90°，AB=AC，点D在BC边上，试探索线段
AD、BD、DC的数量关系，并说明理由.
解析：本题是苏科版数学课课练中的一道探究题，有一定的难度，我直接出示，放手让学生自主探索，五分钟后进行交流.[ P<1 26
.tif>,BP#][ S（][5”SS][JZ]图1图2
[ S）]
学生甲：我探索出DC2+BD2=2AD2，△ABC是一个等腰直角三角形，等腰三角形底边上的高是经常添加的一条辅助线.作 边上的高 （如图2），易知
BE=EC=AE=BC2
，
DE=DC-BD2
，根据勾股定理得到
AD2=AE2+DE2=
（BC2）2+（DC-BD2）2
=(DC+BD)24
+(DC-BD)24
=DC2+BD22.
于是DC2+BD2=2AD2.
我的解题体会是：遇到等腰三角形，常作底边上的高.
学生乙：我的方法有点繁，但也不繁.（众笑）
我昨天做了这样一道题（如图3）在矩形ABCD内的一点P，求证
PA2+PC2=PB2+PD2，这道题我是过点P作两组对边的垂线，然后用勾股定理证出的，这里有的繁.
[ P<1 27
.tif>,BP#][ S（][5”SS][JZ]图3图4
[ S）]
接着，我将等腰直角三角形补成正方形（如图4），连结DE，直接运用此结论就有
DA2+DE2=DB2+DC2
，由AD＝DE，进而得到
DC2+BD2=2AD2
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我的体会是等腰直角三角形是正方形的一个部分，它们之间可以转化.噢，另外把研究的问题转化为已经学过的问题，这一点很重要.[ P<1 28
.tif>,Y#][ S（][5”SS][JZ]图5
[ S）]
学生丙：我也是用勾股定理证的.过点D作
DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，把△ABC分割成两个等腰三角形和一个矩形，易得
BD2＝
2DE2，DC2＝2DF2，又知
DE2+DF2=AD2，于是
BD2+DC2=2DE2+2DF2=2AD2.
学生丁：我想到一个简单的解法——旋转.就是将ABD绕点A逆时针旋转
90°，则
AB与AC重合，点D落在点D′处（如图6），连结DD′，易知∠
DCD′=90°，△
ADD′是等腰直角三角形，所以
DC2+BD2=
DC2+D′C2=DD′2=AD2+AD′2=2AD2.
.(同学们给予了热烈的掌声).
此时学生甲再次举起了手，我让他走上了讲台.
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.tif>,BP#][ S（][5”SS][JZ]图6图7
[ S）]
学生甲：我不是讲此题的解法.老师说过，解题时不仅要思考多角度解题，还要注意变换图形思考.刚才我把点D移到了BC边的延长线上（如图7），发现上述关系仍然成立.我还是作底边上的高，把刚才的证明过程只是改动了两个符号.过程如下：
AD2=AE2+DE2=
（BC2)2+
(BD+DC2)2
=(BD-DC)24
+(BD+DC)24
=DC2+BD22.
整理得
DC2+BD2=2AD2.
太棒了！太精彩了！这一变式，我课前并未预设，没想到他会做这样的变化.我带头鼓起掌来.本来我在其后还准备了两道例题，现在灵机一动：请同学们思考原题的其他三种证法是否也能证明这一变式?同学们积极探索，一会儿他们脸上都纷纷洋溢着喜悦的表情.
教学感悟
一、信任——学生发展的动力
苏霍姆林斯基说过：在学生的心灵深处无不存在着使自己成为一个发现者、研究者、探索者的愿望.而在儿童的精神世界中，这种需要更加强烈.相信学生，把课堂交给学生，让学生们的思维自由驰骋.没有思维定势，只有创新意识.只要我们坚持以生为本，坚定不移地依靠学生，他们就会“像芨芨草一样拔节成长.”
二、探究式课堂——学生思维发展平台
在素质教育的平台上，数学教学担负起人才培养的重要职责.学生的数学学习不仅是数学知识的学习，更重要的是数学思想和方法的学习.“数学是思维的体操！”“问题是数学的心脏.” “探索是数学的生命线.”我们始终坚持探究式教学，让学生经历和体验数学的形成过程，不断丰富数学活动的经验.
三、交流合作——学生成长的有效手段
“思维需要碰撞，火花方能魅力四射！” 数学课堂为学生提供交换思想、交流方法的舞台.彼此相互帮助、相互促进，共同成长.在这和谐课堂气氛里，生命之花定会尽情绽放，生成更加精彩.