当直线倾斜角不为90°时,它的正切值叫做直线的斜率,斜率在求直线方程、直线的倾斜角、多点共线等方面问题时有着十分重要的作用,下面介绍斜率的其他五大妙用.
　　1.利用斜率求函数值域
　　例1.求函数 的最大值与最小值.
　　分析:认真观察 的结构特征,与斜率公式非常相似,故可用斜率来解决问题,走数形结合之路.
　　解: 设 ,则求 的最值,就是求 的范围.因为点A的轨迹是单位圆,如图1所示.设 方程为 ,由点到直线距离公式得 = ,解得 或 .所以 的最大值为 ,最小值为0.
　　评注:此题解法很多,同学们还可利用三角函数的有界性、换元法等方法求解.
　　2.利用斜率求变量范围
　　例2.已知 满足方程 ,求 范围.
　　分析:方程 所表示的图形是以（2,0）为圆心,半径为 的圆,求 的范围,可变为求 的范围,而 表示点 与 连线的斜率.
　　解:因为点 是圆 上任一点,所以求 的范围,就是求(0,0)与点A 连线的斜率的范围.如图2所示,当OA与圆C相切时,取最大值 ,同理可求得 取最小大值- ,即 的取值范围是 .
　　评注: (1)将问题转化为圆 上任一点与原点连线的斜率问题是解决本题的关键,特别是z的几何意义,其中 的几何意义是点(x,y)与点(a,b) 连线的斜率.
　　(2)本题也可用 与圆方程联立成方程组,转化为二次方程问题.
　　3.利用斜率证明不等式
　　例3. 已知正数 满足 ,求证: .
　　分析:观察所证不等式左边 ,其结构特征与 十分相似,故此式可看作点( )与点( )连线的斜率.
　　解:如图3所示,由 ,知( )在第一象限且在直线 的下方,又因为 ,所以( )在第三象限且在直线 上,连接OP,MP.
　　则 ,因为直线MP的倾斜角大于直线OP的倾斜角,所以 ,即 成立.
　　评注:本题也可以去分母,转化成整式,再比较大小.
　　4.利用斜率比较大小
　　例4.已知函数 且 ,则 的大小关系为()
　　A. B.
　　C. D.
　　分析:本题从特殊值和常规方法都不易找到解题的捷径,但仔细分析其结构特征有 的特点,由此可联想到利用斜率求解.
　　解:作出函数 的草图,由图4可知,曲线上各点与原点的连线的斜率随 增大而减少,又因为 ,所以
　　故选B.
　　
　　评注:本题是以对数函数为背景比较大小的选择题,好像与直线的斜率毫不相干,但是仔细观察并大胆联想,便发现其结构特征与斜率公式有“惊人相似的一幕”,于是利用数形结合思想,使问题迎刃而解.
　　5. 利用斜率求数列的项
　　例5.已知等差数列 ，其中 求 .
　　分析:等差数列 ,它的通项公式在坐标系内的对应点是共线的,则可用解析几何知识求解.
　　解: 因为 对应点为(p,q),(q,p),(p+q,)且共线,
　　所以
　　解之得:=0.
　　评注:本题也可以直接应用数列的通项公式求解.