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在中等师范学校数学教科书《小学数学教材教法》第一册第二章“数的整除特征”这一部分，有这样一道习题：“任意给定12个不同的自然数，证明其中必有两个数的和或差是20的倍数”。
首先必须弄清楚，一个数是20的倍数，它必具有什么样的特征。
20可以看成4×5，一个数只要既是4的倍数，又是5的倍数，那么它一定是20的倍数。
4的倍数的特征是：这个数的末两位数是4的倍数。
5的倍数的特征是：这个数的末位数字是0或5。
既要是4的倍数，又要是5的倍数，末位数字只能是0，且十位数字只能是偶数。
所以，20的倍数的特征是：这个数的末位数字是0，十位数字是偶数。
或者把20看成2×10，一个数只要既是2的倍数，又是10的倍数，那么它一定是20的倍数。如果一个数的个位数字是0，那么它是10的倍数，它除以10的商，就是个位数字前面的数字组成的数，只要这个商的末位数字是偶数，即原数的十位数字是偶数，那么它又是2的倍数，所以它就是20的倍数。
总之，只要一个数的个位数字是0，十位数字是偶数，这个数就是20的倍数。
在任意给定的12个不同的自然数中，其中至少有两个数的个位数字相同，因为阿拉伯数字只有10个（0、1、2、3、4、5、6、7、8、9），所以至少有两个数的个位数字相同。
如果有3个或3个以上的数的个位数字相同，则在这些数中，至少有两个数的十位数字都是奇数或都是偶数，这样的两个数的差，个位数字是0，十位数字是偶数（两个奇数的差或两个偶数的差都是偶数，证明略），所以这两个数的差是20的倍数，问题得证。
如果最多只有两个数的个位数字相同，则这样的数有两组，如图：
0；1；2；3；4；5；6；7；8；9；X；Y。
最后两个数的个位数字X、Y分别与前面10个数中的两个数的个位数字相同，下面讨论个位数字相同的各种情况。
先看两种特殊情况：
1、如果X、Y中有一个是5，则有两个个位数字都是5的数，这两个数的十位数字有三种情况：（1）都是奇数；（2）都是偶数；（3）一个是奇数，另一个是偶数。在（1）或（2）两种情况下，这两个数的差是20的倍数，如果是第三种情况，则这两个数的和是20的倍数，问题得证。如图：
2、如果X、Y中没有5，有一个是0，则有两个个位数字都是0的数，这两个数的十位数字也有三种情况：（1）都是奇数；（2）都是偶数；（3）一个是奇数，另一个是偶数。在（1）或（2）两种情况下，这两个数的和或差都是20的倍数，问题得证；如果是第三种情况，则这两个数的和或差都不是20的倍数，如图：
在第三种情况下，考虑个位数字相同的数的另一种情况，即还有两个数的个位数字相同，它们的个位数字都是1、2、3、4、6、7、8、9这八个数字中的一个，不妨设是1，则还有两个个位数字都是1的数，这两个数的十位数字也有三种情况：（1）都是奇数；（2）都是偶数；（3）一个是奇数，另一个是偶数。在（1）或（2）两种情况下，这两个数的差都是20的倍数，问题得证；如果是第三种情况，则这两个数的差不是20的倍数，如图：
在第三种情况下，要与数 9结合起来考虑，此时，数 9的十位数字有两种情况：（1）奇9；（2）偶9；
如果是（1），则“奇9+偶1”是20的倍数；
如果是（2），则“偶9+奇1”是20的倍数；
于是问题得证。
如图：
3、如果X、Y中没有5，也没有0，而是1、2、3、4、6、7、8、9中的一个，类似于上面证明有两个个位数字都是1的情况，同理可证其他情况。
综上所述，任意给定12个不同的自然数，其中必有两个数的和或差是20的倍数。
（作者单位：561200贵州省安顺市民族师范学校）
首先必须弄清楚，一个数是20的倍数，它必具有什么样的特征。
20可以看成4×5，一个数只要既是4的倍数，又是5的倍数，那么它一定是20的倍数。
4的倍数的特征是：这个数的末两位数是4的倍数。
5的倍数的特征是：这个数的末位数字是0或5。
既要是4的倍数，又要是5的倍数，末位数字只能是0，且十位数字只能是偶数。
所以，20的倍数的特征是：这个数的末位数字是0，十位数字是偶数。
或者把20看成2×10，一个数只要既是2的倍数，又是10的倍数，那么它一定是20的倍数。如果一个数的个位数字是0，那么它是10的倍数，它除以10的商，就是个位数字前面的数字组成的数，只要这个商的末位数字是偶数，即原数的十位数字是偶数，那么它又是2的倍数，所以它就是20的倍数。
总之，只要一个数的个位数字是0，十位数字是偶数，这个数就是20的倍数。
在任意给定的12个不同的自然数中，其中至少有两个数的个位数字相同，因为阿拉伯数字只有10个（0、1、2、3、4、5、6、7、8、9），所以至少有两个数的个位数字相同。
如果有3个或3个以上的数的个位数字相同，则在这些数中，至少有两个数的十位数字都是奇数或都是偶数，这样的两个数的差，个位数字是0，十位数字是偶数（两个奇数的差或两个偶数的差都是偶数，证明略），所以这两个数的差是20的倍数，问题得证。
如果最多只有两个数的个位数字相同，则这样的数有两组，如图：
0；1；2；3；4；5；6；7；8；9；X；Y。
最后两个数的个位数字X、Y分别与前面10个数中的两个数的个位数字相同，下面讨论个位数字相同的各种情况。
先看两种特殊情况：
1、如果X、Y中有一个是5，则有两个个位数字都是5的数，这两个数的十位数字有三种情况：（1）都是奇数；（2）都是偶数；（3）一个是奇数，另一个是偶数。在（1）或（2）两种情况下，这两个数的差是20的倍数，如果是第三种情况，则这两个数的和是20的倍数，问题得证。如图：
2、如果X、Y中没有5，有一个是0，则有两个个位数字都是0的数，这两个数的十位数字也有三种情况：（1）都是奇数；（2）都是偶数；（3）一个是奇数，另一个是偶数。在（1）或（2）两种情况下，这两个数的和或差都是20的倍数，问题得证；如果是第三种情况，则这两个数的和或差都不是20的倍数，如图：
在第三种情况下，考虑个位数字相同的数的另一种情况，即还有两个数的个位数字相同，它们的个位数字都是1、2、3、4、6、7、8、9这八个数字中的一个，不妨设是1，则还有两个个位数字都是1的数，这两个数的十位数字也有三种情况：（1）都是奇数；（2）都是偶数；（3）一个是奇数，另一个是偶数。在（1）或（2）两种情况下，这两个数的差都是20的倍数，问题得证；如果是第三种情况，则这两个数的差不是20的倍数，如图：
在第三种情况下，要与数 9结合起来考虑，此时，数 9的十位数字有两种情况：（1）奇9；（2）偶9；
如果是（1），则“奇9+偶1”是20的倍数；
如果是（2），则“偶9+奇1”是20的倍数；
于是问题得证。
如图：
3、如果X、Y中没有5，也没有0，而是1、2、3、4、6、7、8、9中的一个，类似于上面证明有两个个位数字都是1的情况，同理可证其他情况。
综上所述，任意给定12个不同的自然数，其中必有两个数的和或差是20的倍数。
（作者单位：561200贵州省安顺市民族师范学校）