论文部分内容阅读
摘要数学教育的实质是数学思维活动的教学,学习数学离不开思维,在数学思维中层次最高的是创新性思维品质。而根据现代心理学家的见解,数学家创造能力的大小和他的发散思维能力成正比。因此加强学生发散思维的训练方法,是培养学生创造性思维的重要组成部分。本文从四个方面对训练学生的发散思维,促进创新能力的形成和发展作了些探索。
关键词数学教学发散思维创新能力
中图分类号:G633.6文献标识码:A
发散思维也叫求异思维,是一种多向思维方式,也是一种创造性思维。具体地说:它们是从同一个来源,沿着多种不同的方向去思考,产生各种各样为数不多的输出,很可能产生转换作用。它具有多向性、变通性和创造性。在高中数学教学中,进行发散思维的训练,可以使学生掌握知识的内在联系,理解所学知识,创造出新的思路和解题方法,在发展学生的智力上起到潜移默化的作用。
1 对数学问题解法的发散训练
数学教学中的一题多解是属于发散思维的范畴。它是指对数学问题多种方法,从各个不同的角度和不同途径去寻求问题的解答,能起到拓宽思路,寻求灵活的解题方法的目的。
例1已知函数f(x)=sin2+acos2的一条对称轴是直线x=。求a的值。
解法一:先化为一个角的一种三角函数y= sin(2+)(其中tg=a,所在象限由点(1,a) 决定)
由条件得当x=时y有最大值()或最小值(-)
∴+a=(或) ∴ a=1
解法二:由解法一利用辅助角2+=+k€%i(k∈Z)
∴ =+k€%i
∴a=tag=tag(+k€%i)=1
解法三:由对称轴x=得f(-x)=f(+x)对任意的x∈R成立。代入函数表达式并化简得(a-1)sinx=0 所以a=1
解法四:在f(-x)=f(+x)中令x=得f(0)=()所以a=1
例2 有9支足球队平均分成在三组,求有两支“冤家”队分到同一组的概率。
解法一:平均分成三组的总基本事件数是=280种,“冤家”队在同一组的基本事件数是=70 种。 所以概率为p==
解法二:先把其中一个队分在某一组,然后另一支队有8种分法,其中两队在同一组的有2种分法,所求概率为P=
数学教学离不开解题教学,也不乏其例,因此在平时教学中,不失时机地通过一题多解的发散训练,会使勤思考的学生,会别出心裁地提出一些新的解题方法,有利于培养学生思维的多向性,激发他们的创造力。同时,可以拓宽学生的解题思路,增强知识间的内在联系。
2 对数学问题的同一条件的结论发散训练
对结论的发散是指:确定已知条件后没有现成的结论让学生尽可能多去挖掘、寻找未知结论,并去求解这些未知结论。
例3 已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点F,过焦点F的直线L交抛物线于两点A(x1、y1),B(x2、y2)。问由此得出哪些结论:让学生进行讨论、探索,可以得出如下的一些结论。
结论一、由抛物线的定义可得lABl =x1+x2+p。若x1+x2则可得弦AB的长及直线AB的斜线。
结论二、y1y2=-P2
结论三、以AB为直径的圆与准线x=-相切。
结论四、分别过A、B两点作准线x=-的垂线,垂足分别为C、D,则以CD为直径的圆与直线L相切于F。
结论五、A、O、D(或B、O、C)三点共线。
结论六、若直线的倾斜角为,则lABl=。
通过这样的训练,能够提高学生思维的广度和深度,沟通数学知识间的联系。利用条件探索结论有利于学生综合发散的能力的培养,也利于刻苦钻研精神和创新性思维的培养。
3 对数学问题的同一结论条件发散训练
对问题的条件发散是指:问题的结论确定以后,尽可能变化已知条件,进而有不同的角度,用不同的的知识点来解决。
例4 已知椭圆的方程为+=1(a>b>0),半焦距为c。
试给出适当的条件确定椭圆方程+=1。
对于这样的训练,不同层次的学生都可以尝试。自己出题目自己解答,学生有一种愉悦感,能体验到成功的喜悦,从而激发学生学习兴趣。
4 对数学问题的结论引申的发散训练
对问题的结论引发散是指:在问题解决后引导学生反思能否适当挖掘、推广,找出特殊与一般的关系,提示问题的一般性。
例5已知椭圆+=1的左右焦点分别分F1F2,P是椭圆上的一点,若∠F1PF2=90o。求三角形F1PF2的面积。
本问题解决以后引导学生改变角的度数,同样求三角形F1PF2的面积。学生做了一些尝试,有如下变式(1)∠F1PF2=600、450等。
变式(2)当∠F1PF2为最大时求三角形F1PF2的面积。
在这基础上引导学生探索出一般结论。已知椭圆+=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1、F2、P是椭圆上的一点,若∠F1PF2=a。则三角形F1PF2的面积为b2tg。再引导学生类比发散到双曲线上有相应的结论:已知双曲线-=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1、F2、P是椭圆上的一点,若∠F1PF2=a。则三角形F1PF2的面积为b2ctg。
通过这样的一题多变,探究一般性问题的训练,可以起到举一反三、触类旁通、以点带面的效果,可以开拓学生的视野,拓宽学生思维,培养学生的创新能力。
爱因斯坦说过:“从新的角度去思考同一个问题。却需有创新性的想象力。”重视从不同角度、多侧面、多层次去探索一个问题的发散思维的训练,能促进学生的创新能力的形成和发展。
关键词数学教学发散思维创新能力
中图分类号:G633.6文献标识码:A
发散思维也叫求异思维,是一种多向思维方式,也是一种创造性思维。具体地说:它们是从同一个来源,沿着多种不同的方向去思考,产生各种各样为数不多的输出,很可能产生转换作用。它具有多向性、变通性和创造性。在高中数学教学中,进行发散思维的训练,可以使学生掌握知识的内在联系,理解所学知识,创造出新的思路和解题方法,在发展学生的智力上起到潜移默化的作用。
1 对数学问题解法的发散训练
数学教学中的一题多解是属于发散思维的范畴。它是指对数学问题多种方法,从各个不同的角度和不同途径去寻求问题的解答,能起到拓宽思路,寻求灵活的解题方法的目的。
例1已知函数f(x)=sin2+acos2的一条对称轴是直线x=。求a的值。
解法一:先化为一个角的一种三角函数y= sin(2+)(其中tg=a,所在象限由点(1,a) 决定)
由条件得当x=时y有最大值()或最小值(-)
∴+a=(或) ∴ a=1
解法二:由解法一利用辅助角2+=+k€%i(k∈Z)
∴ =+k€%i
∴a=tag=tag(+k€%i)=1
解法三:由对称轴x=得f(-x)=f(+x)对任意的x∈R成立。代入函数表达式并化简得(a-1)sinx=0 所以a=1
解法四:在f(-x)=f(+x)中令x=得f(0)=()所以a=1
例2 有9支足球队平均分成在三组,求有两支“冤家”队分到同一组的概率。
解法一:平均分成三组的总基本事件数是=280种,“冤家”队在同一组的基本事件数是=70 种。 所以概率为p==
解法二:先把其中一个队分在某一组,然后另一支队有8种分法,其中两队在同一组的有2种分法,所求概率为P=
数学教学离不开解题教学,也不乏其例,因此在平时教学中,不失时机地通过一题多解的发散训练,会使勤思考的学生,会别出心裁地提出一些新的解题方法,有利于培养学生思维的多向性,激发他们的创造力。同时,可以拓宽学生的解题思路,增强知识间的内在联系。
2 对数学问题的同一条件的结论发散训练
对结论的发散是指:确定已知条件后没有现成的结论让学生尽可能多去挖掘、寻找未知结论,并去求解这些未知结论。
例3 已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点F,过焦点F的直线L交抛物线于两点A(x1、y1),B(x2、y2)。问由此得出哪些结论:让学生进行讨论、探索,可以得出如下的一些结论。
结论一、由抛物线的定义可得lABl =x1+x2+p。若x1+x2则可得弦AB的长及直线AB的斜线。
结论二、y1y2=-P2
结论三、以AB为直径的圆与准线x=-相切。
结论四、分别过A、B两点作准线x=-的垂线,垂足分别为C、D,则以CD为直径的圆与直线L相切于F。
结论五、A、O、D(或B、O、C)三点共线。
结论六、若直线的倾斜角为,则lABl=。
通过这样的训练,能够提高学生思维的广度和深度,沟通数学知识间的联系。利用条件探索结论有利于学生综合发散的能力的培养,也利于刻苦钻研精神和创新性思维的培养。
3 对数学问题的同一结论条件发散训练
对问题的条件发散是指:问题的结论确定以后,尽可能变化已知条件,进而有不同的角度,用不同的的知识点来解决。
例4 已知椭圆的方程为+=1(a>b>0),半焦距为c。
试给出适当的条件确定椭圆方程+=1。
对于这样的训练,不同层次的学生都可以尝试。自己出题目自己解答,学生有一种愉悦感,能体验到成功的喜悦,从而激发学生学习兴趣。
4 对数学问题的结论引申的发散训练
对问题的结论引发散是指:在问题解决后引导学生反思能否适当挖掘、推广,找出特殊与一般的关系,提示问题的一般性。
例5已知椭圆+=1的左右焦点分别分F1F2,P是椭圆上的一点,若∠F1PF2=90o。求三角形F1PF2的面积。
本问题解决以后引导学生改变角的度数,同样求三角形F1PF2的面积。学生做了一些尝试,有如下变式(1)∠F1PF2=600、450等。
变式(2)当∠F1PF2为最大时求三角形F1PF2的面积。
在这基础上引导学生探索出一般结论。已知椭圆+=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1、F2、P是椭圆上的一点,若∠F1PF2=a。则三角形F1PF2的面积为b2tg。再引导学生类比发散到双曲线上有相应的结论:已知双曲线-=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1、F2、P是椭圆上的一点,若∠F1PF2=a。则三角形F1PF2的面积为b2ctg。
通过这样的一题多变,探究一般性问题的训练,可以起到举一反三、触类旁通、以点带面的效果,可以开拓学生的视野,拓宽学生思维,培养学生的创新能力。
爱因斯坦说过:“从新的角度去思考同一个问题。却需有创新性的想象力。”重视从不同角度、多侧面、多层次去探索一个问题的发散思维的训练,能促进学生的创新能力的形成和发展。