摘 要：人口问题一直是我国最大的社会问题之一，人口基数大、增长快，严重影响了我国经济和社会的发展，因此要通过控制人口数量来促进经济和社会的和谐发展，这就需要我们对人口数量和发展趋势进行预测。做中期预测时考虑到人口增长到一定的数量增长率下降的主要原因之一是自然资源和环境条件等因素对人口的增长起着阻滞作用，随着人口的增长阻滞作用变得越来越大，因此运用灰色Logistic模型预测。对于长期的人口预测，我们从Leslie模型中得到启发，用Leslie矩阵原理进行长期的预测。
　　关键词：中国人口；灰色Logistic模型；Leslie矩阵模型
　　一 模型假设
　　1）假設中国人口没有迁移，处在一个封闭的系统中，不受外界条件的影响；
　　2）假设样本的数据可以充分反映人口总体的情况；
　　3）假设在预测中不会出现异常突发情况（如疾病、战争等）；
　　4）长期预测中假设生育率和存活是稳定的；
　　5）长期预测中男女比例是不变的；
　　6）假设没有人能活到超过m组的年龄；
　　二 模型的建立与求解
　　中短期人口趋势预测模型，整体思想是运用Logistic模型和多元线性回归模型分别进行预测比较，综合多种因素，采用最优组合模型，使得问题反映的更全面，得到人口趋势的预测。具体求解过程如下：
　　在求解模型之前，首先考虑人口增长峰值问题，来确定中短期预测的时间。在Matlab中进行非线性拟合，发现出生率、死亡率和时间序列间存在着很好的指数关系，而性别比率、出生性别比随时间没有明显的规律性。我们考虑到当出生率和死亡率相等时，人口趋于稳定，人口数量到达峰值，随后下降或稳定，是长期预测的问题。
　　在Matlab7.0[1]中用非线性拟合得到出生率和时间序列的关系如下：
　　f（x）= 2.647e+279*exp（-（（x+3.248e+004）/1283）^2）
　　死亡率和时间序列的关系如下：
　　f（x）= 6.272 *exp（-（（x +1.029）/10.68）^2）+ 11.05 *exp（-（（x-15.02）/ 8.102）^2）-4.501*exp（-（（x-13.07）/ 5.412）^2）
　　当出生率等于死亡率时，预测出现峰值的时间，通过Matlab得到
　　z =22.1595 即大概22.1595年（2017年）后人口出现峰值，因此我们的中短期预测就预测2017年。
　　模型一
　　Logistic模型[2]是19世纪中叶由荷兰生物数学家Verhulst提出的阻滞增长模型，它不仅能够大体上描述人口及许多物种数量（如森林中的树木等）的变化规律，而且在社会经济领域也有广泛的应用。
　　人口增长到一定的数量增长率下降的主要原因之一是自然资源和环境条件等因素对人口的增长起着阻滞作用，随着人口的增长阻滞作用变得越来越大.在此设 表示 时刻的种群数量，Logistic模型可用如下的微分方程描述：
　　其中 称固有增长率，表示人口很少时的增长率， 称人口容量，表示自然资源和环境条件能容纳的最大的人口数量.利用分离变量的方法求解得到：
　　由于此模型类似于 模型 ，因此令 ，则：
　　模型二
　　不同的年龄个体具有不同的生育能力和死亡率，因此我们需要考虑年龄结构因素的影响，建立Leslie矩阵模型[1]对人口进行长期预测.
　　由于男女通常有一定的比例，为了简化模型，我们只考虑女性的人数，人口总量可以按照比例折算出来。假设样本可以充分反映总体，我们只依据样本中的数据对人口进行预测，而总人数只需要根据比例折算就可得到。将表中2005年数据女性按照年龄划分为9个组，即0，1，2，...，8组，将时间也离散成间隔10年的一个个时段，记j时段年龄在i组的人数为N（i，j），bi为i组妇女的生育率，Pi为i组女性存活的人数占i组总人数的比率，即Pi=1-di，di为死亡率，又因为活到超过m组的妇女人数很少，可以忽略不计，她们早已超过了生育期，对人口总数的影响是微小的。同时当时间跨度相当大时，并且人们的生活水平，整个社会的医疗条件没有发生巨大的变化，则可以假设生育率和死亡率是稳定不变的。
　　根据以上假设，可以得到j+1个时段各组人数与j时段各组人数之间的转换关系：Nj+1=A*Nj
　　A为Leslie矩阵，第一行为各年龄段的生育率，其他行的非零元素为各年龄段的存活率，根据所给的数据得到：
　　A=
　　代入上式依次迭代可以预测未来人口的数量。
　　参考文献
　　[1]苏金明 张莲花 刘波等《MATLAB与工具箱应用》 北京.电子工业出版社2004
　　[2]扬启帆 方道元《数学建模》杭州 浙江大学出版社 1999
　　[3]林杰斌 刘明德《SPSS10.0与统计模式建构》北京 科学出版社 2002
　　（作者单位：石家庄铁道大学本科）