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《数学教学大纲》指出：练习式数学教学的有机组成部分，对于学生掌握基础知识和基本技能，培养能力是必不可少的. 一节数学课只有40~45分钟，所以在课堂上提高教学的质量是大家非常关注的问题.
所谓变式是指变换问题的条件和结论，变换问题的形式，即变换同类问题的非本质特征，而问题的实质不变，从不同角度、不同方面来加以说明，使本质的东西能更全面、更突出地显露出来. 学生平时的练习各种各样，而其中的变式练习，在优化数学教学中起着不可低估的作用. 从心理学上来说，变换问题的条件意味着给学生的思维活动创造有利的前提. 问题的变化会促进对问题进行比较、分析，从中找出最本质的东西，即不变的成分，并对它们进行概括. 这样使学生完成从一个习题向另一个本质上类似的习题迁移.
一、变式练习能有效的克服思维定势的影响
由于学生受初中的学习方法影响，到了高中，还是一成不变，牵强附会，看见有形就乱用公式，根本不理会公式应用的前提. 针对这种情况，我们可以在学生掌握定理的情况下，把例题引申，变式，把容易错的地方加以改变，以达到我们所预期的结果. 例如：在新授的均值不等式定理：ａ，ｂ∈R+， ＞ (当且仅当a=b时取“=”号)的应用时，给出下面的例题：
1. 已知x > 0，求y = x +的最小值.
2. 已知x < 0，求y = x +的最值.
3. 已知x∈R且x≠ 0，求y = x +的最值.
4. 已知x > 0，求y = x +的最小值.
5. 函数y = 的最小值为2吗？
通过这些例子，可以使学生加深对定理成立的三个条件“一正、二定、三相等”的理解与掌握，为定理的使用打下坚实的基础.
二、变式练习能培养学生举一反三的能力
在原例题的基础上，自然流畅、恰当地、合理地变式，开阔学生的视野，激活学生的情趣，有助于培养学生探索精神和创新意识，并能使学生举一反三，取得事半功倍功效.
例 过点P（1，2）作直线l，与坐标轴围成的面积为 ,求此值线l的方程.
解设l的方程为＋ ＝ １（ａ≠０，ｂ≠０）.
∵ 直线过点P（1，2），解得+ = 1,
∴ a =，则
S△ABC =|ab| ==,解得a = -1，b = 1或a = ，b = -2. ∴所求直线方程为：x - y + 1 = 0或4x - y - 2 = 0.
为了巩固这一类型的题目，给学生以下题组（只改变面积的大小）：
1. 若过点P（1，2）的直线与坐标轴围成的面积为4，求直线方程.
2. 若过点P（1，2）的直线与坐标轴围成的面积为，那么这样的直线有多少条？
由于上述面积值的改变，不仅直线方程发生了改变，更重要的是直线的条数也发生了改变. 当S = 时，对应的直线有两条；当S = 4时，对应的直线有三条；当S = 时，对应的直线有四条. 引导学生想在什么范围内，这样的直线有两条、3条、4条，于是又有了下面的题组：
3. 若过点P（1，2）与坐标轴围成的面积为S的直线有两条，求面积的范围.
4. 若过点P（1，2）与坐标轴围成的面积为S的直线有3条，求面积的范围.
5. 若过点P（1，2）与坐标轴围成的面积为S的直线有4条，求面积的范围.
解 设l的方程为 + = 1(a≠0,b≠0)，则有 += 1,所以a = ,则S△ABC =|ab| =,由题意，得b ≠2. 当b ＞ 2时，S =，即b2 - 2Sb + 4S = 0,Δ = 4S2 - 16S.
可以知道当b ＞ 2时，有两个不同的值.
因此当Δ =4S2 - 16S ＜ 0，即0 ＜ S ＜ 4时，这样的直线有两条.
当Δ = 4S2 - 16S = 0，即S = 4时，这样的直线有3条；
当Δ = 4S2 - 16S ＜ 0，即S ＞ 4时，这样的直线有4条. 有了以上一组题目，学生不仅对不同的面积值. 求直线方程的问题进行了巩固，同时对面积为何值时，对应的直线方程有两条、3条、4条的问题也有了全面的掌握. 从方程到方程有几个解，从不同的面积值的解题结果到逆向思维，使学生既巩固了知识，又拓宽了视野，更重要的是训练了思维，达到了举一反三，融会贯通的目的，达到了事半功倍的教学效果.
三、变式练习能发展学生的创造性思维
练习题的变式方法有多种，有的是变换问题的形式和内容、有的是改变条件，结论不变、也有的是条件不变，深化结论，等等. 变式题目的解决要完成的教学内容、目的和要求，使得学生对本节内容得到了巩固，并提高了解题能力. 例如：教直线方程时，课后练习：
求过点P(2，3)，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.
接着将题目变形，给出以下题组：
（１）求过点P（２，３），并且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程.
（２）求与点P（２，３）的距离为２，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.
（３）求过点P（２，３），且在ｘ轴上的截距比在ｙ轴上的截距大１的直线方程.
（４）求与点P（２，３）的距离为２，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程.
（５）求过点P（２，３），且与两坐标轴所围成的三角形的面积是２的直线方程．
（６）过点P（２，３）作直线ｌ，使ｌ在两坐标轴上的截距都为正值且它们的和最小，求直线ｌ的方程．
（７）过点P（２，３）作直线，分别交ｘ，ｙ轴的正半轴于点Ａ，Ｂ，求：
（Ⅰ） △ＡＯＢ的面积为Ｓ取最小值时的直线方程；
（Ⅱ） ｜ＰＡ｜•｜ＰＢ｜为最小值时的直线方程．
此类题组都是关于直线与坐标轴围成面积的问题，从中还涉及了面积的最值问题，对巩固直线问题具有一定的作用. 由浅入深，循序渐进，对学生提高学习数学能力起到一定的作用，还发展了学生的创造性思维.
四、变式练习能以少取胜，减轻学生的负担
有的教师为提高学生的解题能力，提倡学生搞题海战术，学生被繁重的作业压得喘不过气来，这种以多取胜的方法是不可取的. 毕竟学生除了学数学，还要学英语、物理、化学等多门学科，不能把全部精力都投入在一门学科上，从而影响学生的全面发展. 加强变式练习，则可以以少取胜，减轻学生的负担，大大提高学习效率. 如下面一题：
如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，（１）从图中找出５对异面直线；（２）求异面直线ＣＢ和ＡＡ1的距离；（３）求直线ＢＡ1和ＣＣ1所成的角的大小；（４）求A1B到面ＣＣ１Ｄ１Ｄ的距离；（５）若已知条件改为正四棱柱，底面是边长为２的正方形，高为４，求Ｂ１到面Ａ１ＢＤ的距离．
本题虽说难度不大，但涉及异面直线的距离，异面直线所成角的求法，点到面的距离的求法，它串联了立体几何求边求角的所有问题. 像这样的一题多问，可使学生“解一题，练一串，懂一片”，起到以少取胜的作用.
又如，在高中数学新教材第二册135页例2：在一段线路中并联着3个自动控制的开关，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作. 假定在某段时间内每个开关闭合的概率都是0．7，计算在这段时间内正常工作的概率.
变式研究：
变题1 若三个开关全部串联，在其余条件不变的情况下，求线路正常工作的概率.
解 设三个开关不全闭合为事件A，B，C，则所求概率为P（A）•P（B）•P（C）= 0.73= 0.343.
变题2 若其中两个开关串联后与另一个并联，在其余条件不变的情况下，求线路正常工作的概率.
略解线路正常工作的概率为：
1-［1-P（A）•P（B）］［1-P（C）］=
1-（1-0.72）(1-0.7)=0.847.
变题3 若其中两个开关并联后与另一个开关串联，在其余条件不变的情况下，求线路正常工作的概率.
略解 线路正常工作的概率为：
［1-（1-P（A）)•（1－Ｐ（Ｂ））］•Ｐ（Ｃ）=
［1-（1 - 0.72］ × 0.7 = 0.637.
从中我们可以看出，对于电路中的“串联”、“并联”问题，“串联”常需要正面思考，用“直接法”，“并联”问题常逆向思考，用“间接法”，对于较复杂的“串并联”问题，要审清楚题目，从里往外，逐个突破，把复杂问题转化为简单问题.
变式很重要的一条，是万变不离其宗. 这里的“宗”，就是概括性很高的，包含很多的概念、公式、定义、法则以及一些数学思想方法. 变来变去就是要让学生概括到这个“宗”，也就是说，题目情境的变换，其目的是使对一般的原理有进一步的概括的认识，否则变式是无意义的. 我们要根据教材的内容和学生的实际情况，合理安排，因材施教，恰当合理地安排变式，帮助学生触类旁通. 同时作为教师要掌握好变式题目的数量，并不是多多益善，变式过多，不但会造成题海，增加无效的劳动和加重学生的负担，还会使学生产生逆反心理，产生厌倦情绪，而起到适得其反的效果. 我们相信，只要我们重视课本的例、习题，充分挖掘学生潜在的数学功能，通过类似的问题和解答，扩大解题的“武器库”，一定能达到我们预期的效果.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
所谓变式是指变换问题的条件和结论，变换问题的形式，即变换同类问题的非本质特征，而问题的实质不变，从不同角度、不同方面来加以说明，使本质的东西能更全面、更突出地显露出来. 学生平时的练习各种各样，而其中的变式练习，在优化数学教学中起着不可低估的作用. 从心理学上来说，变换问题的条件意味着给学生的思维活动创造有利的前提. 问题的变化会促进对问题进行比较、分析，从中找出最本质的东西，即不变的成分，并对它们进行概括. 这样使学生完成从一个习题向另一个本质上类似的习题迁移.
一、变式练习能有效的克服思维定势的影响
由于学生受初中的学习方法影响，到了高中，还是一成不变，牵强附会，看见有形就乱用公式，根本不理会公式应用的前提. 针对这种情况，我们可以在学生掌握定理的情况下，把例题引申，变式，把容易错的地方加以改变，以达到我们所预期的结果. 例如：在新授的均值不等式定理：ａ，ｂ∈R+， ＞ (当且仅当a=b时取“=”号)的应用时，给出下面的例题：
1. 已知x > 0，求y = x +的最小值.
2. 已知x < 0，求y = x +的最值.
3. 已知x∈R且x≠ 0，求y = x +的最值.
4. 已知x > 0，求y = x +的最小值.
5. 函数y = 的最小值为2吗？
通过这些例子，可以使学生加深对定理成立的三个条件“一正、二定、三相等”的理解与掌握，为定理的使用打下坚实的基础.
二、变式练习能培养学生举一反三的能力
在原例题的基础上，自然流畅、恰当地、合理地变式，开阔学生的视野，激活学生的情趣，有助于培养学生探索精神和创新意识，并能使学生举一反三，取得事半功倍功效.
例 过点P（1，2）作直线l，与坐标轴围成的面积为 ,求此值线l的方程.
解设l的方程为＋ ＝ １（ａ≠０，ｂ≠０）.
∵ 直线过点P（1，2），解得+ = 1,
∴ a =，则
S△ABC =|ab| ==,解得a = -1，b = 1或a = ，b = -2. ∴所求直线方程为：x - y + 1 = 0或4x - y - 2 = 0.
为了巩固这一类型的题目，给学生以下题组（只改变面积的大小）：
1. 若过点P（1，2）的直线与坐标轴围成的面积为4，求直线方程.
2. 若过点P（1，2）的直线与坐标轴围成的面积为，那么这样的直线有多少条？
由于上述面积值的改变，不仅直线方程发生了改变，更重要的是直线的条数也发生了改变. 当S = 时，对应的直线有两条；当S = 4时，对应的直线有三条；当S = 时，对应的直线有四条. 引导学生想在什么范围内，这样的直线有两条、3条、4条，于是又有了下面的题组：
3. 若过点P（1，2）与坐标轴围成的面积为S的直线有两条，求面积的范围.
4. 若过点P（1，2）与坐标轴围成的面积为S的直线有3条，求面积的范围.
5. 若过点P（1，2）与坐标轴围成的面积为S的直线有4条，求面积的范围.
解 设l的方程为 + = 1(a≠0,b≠0)，则有 += 1,所以a = ,则S△ABC =|ab| =,由题意，得b ≠2. 当b ＞ 2时，S =，即b2 - 2Sb + 4S = 0,Δ = 4S2 - 16S.
可以知道当b ＞ 2时，有两个不同的值.
因此当Δ =4S2 - 16S ＜ 0，即0 ＜ S ＜ 4时，这样的直线有两条.
当Δ = 4S2 - 16S = 0，即S = 4时，这样的直线有3条；
当Δ = 4S2 - 16S ＜ 0，即S ＞ 4时，这样的直线有4条. 有了以上一组题目，学生不仅对不同的面积值. 求直线方程的问题进行了巩固，同时对面积为何值时，对应的直线方程有两条、3条、4条的问题也有了全面的掌握. 从方程到方程有几个解，从不同的面积值的解题结果到逆向思维，使学生既巩固了知识，又拓宽了视野，更重要的是训练了思维，达到了举一反三，融会贯通的目的，达到了事半功倍的教学效果.
三、变式练习能发展学生的创造性思维
练习题的变式方法有多种，有的是变换问题的形式和内容、有的是改变条件，结论不变、也有的是条件不变，深化结论，等等. 变式题目的解决要完成的教学内容、目的和要求，使得学生对本节内容得到了巩固，并提高了解题能力. 例如：教直线方程时，课后练习：
求过点P(2，3)，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.
接着将题目变形，给出以下题组：
（１）求过点P（２，３），并且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程.
（２）求与点P（２，３）的距离为２，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.
（３）求过点P（２，３），且在ｘ轴上的截距比在ｙ轴上的截距大１的直线方程.
（４）求与点P（２，３）的距离为２，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程.
（５）求过点P（２，３），且与两坐标轴所围成的三角形的面积是２的直线方程．
（６）过点P（２，３）作直线ｌ，使ｌ在两坐标轴上的截距都为正值且它们的和最小，求直线ｌ的方程．
（７）过点P（２，３）作直线，分别交ｘ，ｙ轴的正半轴于点Ａ，Ｂ，求：
（Ⅰ） △ＡＯＢ的面积为Ｓ取最小值时的直线方程；
（Ⅱ） ｜ＰＡ｜•｜ＰＢ｜为最小值时的直线方程．
此类题组都是关于直线与坐标轴围成面积的问题，从中还涉及了面积的最值问题，对巩固直线问题具有一定的作用. 由浅入深，循序渐进，对学生提高学习数学能力起到一定的作用，还发展了学生的创造性思维.
四、变式练习能以少取胜，减轻学生的负担
有的教师为提高学生的解题能力，提倡学生搞题海战术，学生被繁重的作业压得喘不过气来，这种以多取胜的方法是不可取的. 毕竟学生除了学数学，还要学英语、物理、化学等多门学科，不能把全部精力都投入在一门学科上，从而影响学生的全面发展. 加强变式练习，则可以以少取胜，减轻学生的负担，大大提高学习效率. 如下面一题：
如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，（１）从图中找出５对异面直线；（２）求异面直线ＣＢ和ＡＡ1的距离；（３）求直线ＢＡ1和ＣＣ1所成的角的大小；（４）求A1B到面ＣＣ１Ｄ１Ｄ的距离；（５）若已知条件改为正四棱柱，底面是边长为２的正方形，高为４，求Ｂ１到面Ａ１ＢＤ的距离．
本题虽说难度不大，但涉及异面直线的距离，异面直线所成角的求法，点到面的距离的求法，它串联了立体几何求边求角的所有问题. 像这样的一题多问，可使学生“解一题，练一串，懂一片”，起到以少取胜的作用.
又如，在高中数学新教材第二册135页例2：在一段线路中并联着3个自动控制的开关，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作. 假定在某段时间内每个开关闭合的概率都是0．7，计算在这段时间内正常工作的概率.
变式研究：
变题1 若三个开关全部串联，在其余条件不变的情况下，求线路正常工作的概率.
解 设三个开关不全闭合为事件A，B，C，则所求概率为P（A）•P（B）•P（C）= 0.73= 0.343.
变题2 若其中两个开关串联后与另一个并联，在其余条件不变的情况下，求线路正常工作的概率.
略解线路正常工作的概率为：
1-［1-P（A）•P（B）］［1-P（C）］=
1-（1-0.72）(1-0.7)=0.847.
变题3 若其中两个开关并联后与另一个开关串联，在其余条件不变的情况下，求线路正常工作的概率.
略解 线路正常工作的概率为：
［1-（1-P（A）)•（1－Ｐ（Ｂ））］•Ｐ（Ｃ）=
［1-（1 - 0.72］ × 0.7 = 0.637.
从中我们可以看出，对于电路中的“串联”、“并联”问题，“串联”常需要正面思考，用“直接法”，“并联”问题常逆向思考，用“间接法”，对于较复杂的“串并联”问题，要审清楚题目，从里往外，逐个突破，把复杂问题转化为简单问题.
变式很重要的一条，是万变不离其宗. 这里的“宗”，就是概括性很高的，包含很多的概念、公式、定义、法则以及一些数学思想方法. 变来变去就是要让学生概括到这个“宗”，也就是说，题目情境的变换，其目的是使对一般的原理有进一步的概括的认识，否则变式是无意义的. 我们要根据教材的内容和学生的实际情况，合理安排，因材施教，恰当合理地安排变式，帮助学生触类旁通. 同时作为教师要掌握好变式题目的数量，并不是多多益善，变式过多，不但会造成题海，增加无效的劳动和加重学生的负担，还会使学生产生逆反心理，产生厌倦情绪，而起到适得其反的效果. 我们相信，只要我们重视课本的例、习题，充分挖掘学生潜在的数学功能，通过类似的问题和解答，扩大解题的“武器库”，一定能达到我们预期的效果.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”