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“图形中的规律”是北师大版综合与实践活动课的一个内容，第三版数学教材将其安排在四年级下册，第四版则安排在五年级上册。在该课内容的教学时，教师一般采用两种形式，一种是探究型——先出示图1，布置小组合作的探究任务：从摆第一个三角形开始，一边摆一边记录，寻找三角形的个数与小棒根数之间的关系，再放手让学生探索、交流。另一种是自学型——先让学生看书，再是教师追问。无论是哪一类，所得到的规律几乎是书中有什么，学生汇报时就有什么，如书中没有“2n 1”的类型，学生汇报时就没有。究其原因在于，学生不知道可从哪些角度数小棒，更不知道要寻找规律，首先要探索自变量与因变量的关系。这样的教学看似符合新理念，其实并没有遵循学习规律，学生的数学思维没有得到应有的培养。在2014年5月22日我市举行的教研员丰采展示活动中，笔者以遵循学习规律、关注学生数学思维发展为出发点，作了教学探索。现剖析几个片段，与同行们商榷。
图1
片段一：由图想数，发展形象思维
师：图形中的规律你们见过吗？
生：学习用字母表示时，见过摆三角形的规律。
师：说得非常好！我们在学习用字母表示数时，学过摆三角形，请看大屏幕。
屏幕逐步呈现（见表1）：
表1
师：像这样摆三角形，得到了什么规律呢？
小结：得到的一列数是3的倍数;所需小棒的根数是三角形个数的3倍。
师：所需小棒的根数是三角形个数的3倍，这一规律你能不能用一个式子来表示？
生：3×1， 3×2，3×3。
师：在这些式子中，你能看出三角形的个数吗？
生：1个、2个、3个。（学生说的同时，课件上把1，2，3变为红色）
（评析：借助学生在“用字母表示数”中学过的摆三角形为对象，思考可得到的规律——一列数的规律、所需小棒的根数与三角形个数之间的关系，既符合奥苏伯尔的有意义学习理论——激活学生头脑中与新学习的材料存在着逻辑关系的知识，又丰富了学生对所摆三角形——一个一个独立摆的认识，可以从所摆三角形中研究出数的规律，从而达到发展学生的具体形象思维——具体形象思维是个体思维发展的必经阶段，这种思维借助于具体事物的形象及表象进行之目的。另外，让学生说说关系式中与三角形的个数有关系的数，旨在初步渗透朴素的“自变量”与“因变量”的关系，为探索新知奠基。）
片段二：数形结合，顺畅抽象思维
师：前面用3，6，9根小棒，分别摆出了1，2，3个三角形，现在老师想用3 ，5，7根小棒分别摆出1，2，3个三角形，你认为应该怎样摆？请你一边摆、一边在表格里画一画。
学生自主探索、合作交流后全班汇报，教师板书（见表2左边1～3列）：
师：像这样摆，三角形个数与所需小棒根数之间有什么关系呢？下面请同学们像前面一样用一个式子来表示。
提示：可以从图形入手，想一想怎样数可以得到三角形个数与所需小棒根数有关系的式子。先独立思考，再小组交流。
学生自主探索、合作交流后全班汇报：
生1：我们组所得到的关系式是：1 2×1，1 2×2，1 2×3。
师：从图形的角度着手，应怎样数小棒，才能得到这列数1 2×1，1 2×2，1 2×3。
生1：第1根小棒可以看成不动，每多摆一个三角形只需要两根小棒（课件演示学生的思维过程）。
（此时的板书增加了表2中的第4列）
生2：我们组所得到的关系式是：3，3 2×1，3 2×2。摆第一个三角形需要3根小棒，以后多摆一个三角形只需要2根小棒（课件演示）。
（此时的板书增加了表2中的第5列）
生3：我们组所得到的关系式是：3×1，3×2-1，3×3-2。先算独立摆三角形所需小棒的根数，再减去每两个三角形之间重复的小棒根数（课件演示）。
（此时的板书增加了表2中的第6列）
（评析：如果直接让学生从所需小棒的根数3、5、7中，探索三角形个数与所需小棒根数的关系式，学生定会觉得困难重重。高年级的学生虽然抽象逻辑思维获得较大的发展，但他们还不能完全依靠抽象的数学进行思考，往往需要具体的形象思维作支持。所以，教学中先让学生根据三角形的个数和对应的所需小棒根数画或摆出图形，为学生抽象关系式提供直接的经验。在此基础上，再让学生从图形入手，想一想怎样数可以把所需的小棒根数写成与三角形个数有关的关系式，从而顺畅地将学生的思维引向抽象的关系式。）
片段三：验证归纳，培养思维品质
师：根据上面的关系式，请写出三角形个数是4个时所需小棒根数与三角形个数之间的关系式，并算出相应的小棒根数，然后通过摆一摆或画一画验证。
学生汇报相应的关系式分别是：1 2×4，3 2×3，3×4-3，并通过计算与画图加以验证。
（学生汇报时，在表2相应的列与行中板书）
师：在这一列（1 2×1 ，1 2×2 ，1 2×3，1 2
×4）关系式中，哪些数与三角形的个数有关系？
（学生说后，把这些数的颜色改为红色。其他两列关系式的分析同上）
师：如果摆30个这样的三角形，需要小棒根数的关系是：1 30×2，3 29×2，30×3-29（学生分别指出）。
师：如果用n表示三角形的个数，那么小棒的根数可以用怎样的关系式表示呢？
学生分别写出：1 n×2，3 （n-1）×2，n×3-（n-1）
（评析：上述教学分三个环节：一是让学生写出三角形个数是4个时所需小棒根数与三角形个数的关系式，并算出相应的小棒根数，然后通过摆一摆或画一画验证，其目的是让学生经历“不完全归纳法”的推理方法——通过观察某类事物中部分对象存在某些相同的性质，推出该类事物具有这种性质的一般性结论的推理方法。依据该方法得到的结论可能为真也可能为假，需要进一步证明结论的可靠性。二是让学生经历分析关系式——哪些数与三角形的个数有关系？其用意是渗透与函数思想有关的自变量和因变量，为学生抽象规律提供所需要的“梯子”。三是用字母表示所摆三角形的个数与所需要小棒根数间的规律。三个环节看似独立，其实密不可分。如果学生没有前两个环节的经历，就不可能探索用字母表示数的规律，尤其是3 （n-1）×2与n×3-（n-1）这两个关系式。总的说来，此片段的教学让学生经历归纳、类比与验证等数学活动，使学生根据已有的事实进行数学推测、论断，养成“推理有据”的好习惯，从而达到培养学生良好的思维品质之目的。）
（浙江省衢州市衢江区教研室 324000
浙江省衢州市衢江区后溪小学 324000）
图1
片段一：由图想数，发展形象思维
师：图形中的规律你们见过吗？
生：学习用字母表示时，见过摆三角形的规律。
师：说得非常好！我们在学习用字母表示数时，学过摆三角形，请看大屏幕。
屏幕逐步呈现（见表1）：
表1
师：像这样摆三角形，得到了什么规律呢？
小结：得到的一列数是3的倍数;所需小棒的根数是三角形个数的3倍。
师：所需小棒的根数是三角形个数的3倍，这一规律你能不能用一个式子来表示？
生：3×1， 3×2，3×3。
师：在这些式子中，你能看出三角形的个数吗？
生：1个、2个、3个。（学生说的同时，课件上把1，2，3变为红色）
（评析：借助学生在“用字母表示数”中学过的摆三角形为对象，思考可得到的规律——一列数的规律、所需小棒的根数与三角形个数之间的关系，既符合奥苏伯尔的有意义学习理论——激活学生头脑中与新学习的材料存在着逻辑关系的知识，又丰富了学生对所摆三角形——一个一个独立摆的认识，可以从所摆三角形中研究出数的规律，从而达到发展学生的具体形象思维——具体形象思维是个体思维发展的必经阶段，这种思维借助于具体事物的形象及表象进行之目的。另外，让学生说说关系式中与三角形的个数有关系的数，旨在初步渗透朴素的“自变量”与“因变量”的关系，为探索新知奠基。）
片段二：数形结合，顺畅抽象思维
师：前面用3，6，9根小棒，分别摆出了1，2，3个三角形，现在老师想用3 ，5，7根小棒分别摆出1，2，3个三角形，你认为应该怎样摆？请你一边摆、一边在表格里画一画。
学生自主探索、合作交流后全班汇报，教师板书（见表2左边1～3列）：
师：像这样摆，三角形个数与所需小棒根数之间有什么关系呢？下面请同学们像前面一样用一个式子来表示。
提示：可以从图形入手，想一想怎样数可以得到三角形个数与所需小棒根数有关系的式子。先独立思考，再小组交流。
学生自主探索、合作交流后全班汇报：
生1：我们组所得到的关系式是：1 2×1，1 2×2，1 2×3。
师：从图形的角度着手，应怎样数小棒，才能得到这列数1 2×1，1 2×2，1 2×3。
生1：第1根小棒可以看成不动，每多摆一个三角形只需要两根小棒（课件演示学生的思维过程）。
（此时的板书增加了表2中的第4列）
生2：我们组所得到的关系式是：3，3 2×1，3 2×2。摆第一个三角形需要3根小棒，以后多摆一个三角形只需要2根小棒（课件演示）。
（此时的板书增加了表2中的第5列）
生3：我们组所得到的关系式是：3×1，3×2-1，3×3-2。先算独立摆三角形所需小棒的根数，再减去每两个三角形之间重复的小棒根数（课件演示）。
（此时的板书增加了表2中的第6列）
（评析：如果直接让学生从所需小棒的根数3、5、7中，探索三角形个数与所需小棒根数的关系式，学生定会觉得困难重重。高年级的学生虽然抽象逻辑思维获得较大的发展，但他们还不能完全依靠抽象的数学进行思考，往往需要具体的形象思维作支持。所以，教学中先让学生根据三角形的个数和对应的所需小棒根数画或摆出图形，为学生抽象关系式提供直接的经验。在此基础上，再让学生从图形入手，想一想怎样数可以把所需的小棒根数写成与三角形个数有关的关系式，从而顺畅地将学生的思维引向抽象的关系式。）
片段三：验证归纳，培养思维品质
师：根据上面的关系式，请写出三角形个数是4个时所需小棒根数与三角形个数之间的关系式，并算出相应的小棒根数，然后通过摆一摆或画一画验证。
学生汇报相应的关系式分别是：1 2×4，3 2×3，3×4-3，并通过计算与画图加以验证。
（学生汇报时，在表2相应的列与行中板书）
师：在这一列（1 2×1 ，1 2×2 ，1 2×3，1 2
×4）关系式中，哪些数与三角形的个数有关系？
（学生说后，把这些数的颜色改为红色。其他两列关系式的分析同上）
师：如果摆30个这样的三角形，需要小棒根数的关系是：1 30×2，3 29×2，30×3-29（学生分别指出）。
师：如果用n表示三角形的个数，那么小棒的根数可以用怎样的关系式表示呢？
学生分别写出：1 n×2，3 （n-1）×2，n×3-（n-1）
（评析：上述教学分三个环节：一是让学生写出三角形个数是4个时所需小棒根数与三角形个数的关系式，并算出相应的小棒根数，然后通过摆一摆或画一画验证，其目的是让学生经历“不完全归纳法”的推理方法——通过观察某类事物中部分对象存在某些相同的性质，推出该类事物具有这种性质的一般性结论的推理方法。依据该方法得到的结论可能为真也可能为假，需要进一步证明结论的可靠性。二是让学生经历分析关系式——哪些数与三角形的个数有关系？其用意是渗透与函数思想有关的自变量和因变量，为学生抽象规律提供所需要的“梯子”。三是用字母表示所摆三角形的个数与所需要小棒根数间的规律。三个环节看似独立，其实密不可分。如果学生没有前两个环节的经历，就不可能探索用字母表示数的规律，尤其是3 （n-1）×2与n×3-（n-1）这两个关系式。总的说来，此片段的教学让学生经历归纳、类比与验证等数学活动，使学生根据已有的事实进行数学推测、论断，养成“推理有据”的好习惯，从而达到培养学生良好的思维品质之目的。）
（浙江省衢州市衢江区教研室 324000
浙江省衢州市衢江区后溪小学 324000）